辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点关于z轴的对称点为点B，则( )
A.B.2C.D.6
2．小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有( )
A.5种B.10种C.20种D.25种
3．已知双曲线的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
4．已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为( )
A.36B.28C.252D.324
5．将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有( )
A.120B.300C.180D.150
6．已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则( )
A.2B.4C.5D.6
7．已知直线与圆相离，过直线l上的点H作圆C的两条切线，切点为A，B若四边形的面积的最小值为9，则( )
A.-7或-5B.-5或7C.-7或5D.5或7
8．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中m，若，则的最小值为( )
A.B.C.14D.16
二、多项选择题
9．已知，则( )
A.
B.
C.
D.
10．已知在四棱台中，平面，底面为菱形，则下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.平面
C.平面平面
D.若向量与在向量上的投影向量分别为，，则
11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是( )
A.曲线E关于原点对称，且关于直线对称
B.曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2
C.若是曲线E上的任意一点，则的最大值为
D.已知，直线与曲线E交于A，B两点，则为定值
三、填空题
12．已知直线与直线平行，则直线的倾斜角为__________.
13．已知平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则直线l与平面所成角的正弦值的最大值为__________.
14．由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有__________个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意）
四、解答题
15．已知圆，直线.
(1)证明直线l恒过定点，并求定点的坐标；
(2)当时，求直线l被圆C所截得的弦长.
16．如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，.
(1)证明：；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
17．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
(2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
(3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.
18．已知双曲线经过点，直线l与双曲线C相交于A，B两点.
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若线段的中点坐标为，求直线l的斜率；
(3)直线l经过双曲线C的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程.
19．若椭圆，，，P为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程；
(3)若椭圆为“内含椭圆”，H为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：点关于z轴的对称点为点B，
所以点B的坐标为，
所以
则.
故选：A.
2．答案：B
解析：根据题意可得小沉的选择种数为.
故选：B
3．答案：C
解析：由于，
故，，
故双曲线的焦点在x轴上，
根据焦距为4，故,
故，解得，
则双曲线的渐近线方程为.
故选：C
4．答案：C
解析：因为的展开式共有9项，
所以，
二项式的展开式的通项公式为，，
所以展开式中含的项为，
故这个展开式中含的项的系数为252.
故选：C.
5．答案：D
解析：将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2.
当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法.
所以不同的安排方法有种.
故选：D
6．答案：C
解析：抛物线的焦点F的坐标为，
又，，
所以，，
因为，
所以，
即，
又，所以，
解得，，
所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：由题意得圆的圆心为，
半径为3，，
根据题意可得四边形的面积为，
则，
因为，
故的最小值为，
所以点C到直线l的距离为，
解得或-5.
故选：B
8．答案：B
解析：由题设，易得点P在平面上，
且，
则
，得.
由直四棱柱的性质，
得平面，平面，
所以，则.
因为，
所以的最小值为.
故选：B
9．答案：ACD
解析：令，得，故选项A正确；
令，得①，故选项B错误；
令，得②，
由①-②得，故选项C正确；
令，得，
则，
得，故选项D正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：因为平面，
平面，
所以平面平面，A正确.
若平面，平面，
则，因为平面，
平面，所以，
所以平面，平面，
则，显然不成立，B错误.
因为底面为菱形，所以，
因为平面，平面，
所以，，
所以平面，平面，
所以平面平面，C正确，
因为平面，且A，，C，四点共面，
所以，D正确.
故选：ACD
11．答案：ABD
解析：根据曲线方程，若点在曲线E上，
易知点，都满足曲线E的方程，
所以曲线E关于原点对称，且关于直线对称，A正确；
令第一象限点在曲线E上，则，
因为，则，
解得，当且仅当时等号成立，
所以曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2，B正确；
由曲线E的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，
所以，令，
将代入，
可得，
故，
解得，即的最大值为6，C错误；
由题，知点A，B关于原点对称，不妨设第一象限点，
则且，
则，
，
所以为定值，D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：因为直线与直线平行，
又，所以，
解得，故直线的方程为，
所以直线的斜率为-1，设直线的倾斜角为，
则，
所以，
故直线的倾斜角为.
故答案为：.
13．答案：
解析：直线l与平面所成的角为，
则，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：.
14．答案：27
解析：考虑出现子序列ABA时，
可能出现的位置有4个，
把依次对应的序列放入集合，，，
（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中，
记为集合中元素的个数，则.
再考虑重复的序列，，
，，
任意多于2个集合的交集均为空集.
所以含有连续子序列ABA的序列有个.
故答案为：27.
15．答案：(1)证明见解析，定点坐标为
(2)
解析：(1)直线l的方程可化为，
由得得，
所以直线l恒过定点.
(2)圆的标准方程为，
圆心，半径.
当时，直线l的方程为，
则圆心C到直线l的距离，
所以直线l被圆C所截得的弦长为.
16．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)因为四边形为矩形，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
(2)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，，则，
设平面的一个法向量为，
则，即
取，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：(1)16
(2)384
(3)96
解析：(1)先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
(2)先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
(3)先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，
有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以共有种不同的站法.
18．答案：(1)2
(2)3
(3)或
解析：(1)将点的坐标代入，
得，解得，
故双曲线C的离心率.
(2)根据题意易得直线l的斜率存在，设，
则，
两式相减得，
整理得.
因为线段的中点坐标为，
所以，
所以直线l的斜率，
故直线l的方程为，即.
经检验，直线l与双曲线C相交，所以直线l的斜率为3.
(3)由题意得双曲线C的右焦点为.
若以线段为直径的圆经过坐标原点O，则.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
根据对称性不妨设，
则，，，
所以直线l的斜率存在，
则可设直线l的方程为，
，
由，
得，
，
所以，
因为，
所以
，
解得，
所以直线l的方程为，
即或.
19．答案：(1)或.
(2)
(3)
解析：(1)根据题意可得，即.
因为四边形的面积为，所以.
由，
解得或，
所以椭圆的标准方程为或.
(2)若椭圆的标准方程为，
则，，设椭圆的左顶点为，
则，，，不符合题意，舍去.
若椭圆的标准方程为，
则，，
设，
则，
，符合题意.
故椭圆的标准方程为.
(3)由(2)得椭圆的方程为.
设，则.
若存在实数，使得，则，
得，
.
因为函数
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
则，
故的取值范围为.