辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】易知，，
所以．
故选：C
2. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于函数，
当时, ，则 ，
， ，
f2=2-12=32>0，f3=3-29=259>0，
所以根据零点存在定理可知，，0,1，2,3内不一定包含的零点，内一定包含的零点．
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得或，故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4. 某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（ ）
A. 4名B. 6名C. 8名D. 10名
【答案】D
【解析】因高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名．
故选：D.
5. 已知一次函数满足，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】设，则由，得，
即，则,得，
则，所以．
故选：B
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题可知的定义域为R，且，
所以是奇函数，排除A，B．
当时，，排除D．
故选：C．
7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为的定义域为，所以在中，，
则，则在中，，则．
又，所以的定义域为．
故选：B.
8. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
【答案】A
【解析】因为，所以，
由，得，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为12.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 空集是任何集合的子集
B. “有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”
C. “”是的一个充分条件
D. 已知a，，则是“”的充要条件
【答案】ABC
【解析】对于A，空集是任何集合的子集，故A正确；
对于B，“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”，故B正确；
对于C，若，则，，
当且仅当时，等号成立，
故“”是“”的一个充分条件，故C正确；
对于D，取，，则，，故D错误．
故选：ABC.
10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 关于的不等式的解集为
D. 若，则的最大值为1
【答案】ACD
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以整理得
则．
，
解得．
，即，解得，
则．
故选：ACD．
11. 已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】AC
【解析】由，得，
则，整理得．
令函数，则由，得，
从而在R上单调递增，则，即，，
即，A正确，B不正确．
因为，所以，则，
即，C正确．
因为单调性不确定，而，即，
所以与的大小关系不确定，D不正确．
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设a，，集合，，若，则______．
【答案】
【解析】因为集合，，，
若则，或，
当时，，此时；
当时，，不符合集合元素的互异性．
若，则，不符合集合元素的互异性．
故答案为：.
13. 若，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，，所以，，则．
所以，的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数，若，则______．
【答案】
【解析】若，则，解得，
当时，则，解得，符合题意；
当时，则，解得或（舍去）．
若，则，解得或（舍去），
当时，则，不符合题意；
若，则，方程无解．
综上所述，．故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）若，即，则，符合题意．
若，即，则由中恰有一个元素，得，
解得或．
综上所述，的值构成的集合为．
（2）由，解得或，则．
若，符合，则解得或．
若，则，解得，则，符合．
若，则，解得，则，不符合．
综上所述，的取值范围为．
16. 梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安砂糖桔、高州储良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”．眼下正值梅州金柚热销之时，某水果店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：
记顾客购买的金柚重量为xkg，消费额为元．
（1）求函数的解析式；
（2）已知甲、乙两人计划在这家水果店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg，8kg，求甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了多少钱．
解：（1）当时，；
当时，；
当时，．
故
（2）当甲、乙两人各自购买时，消费总额为元．
当甲、乙一起购买时，消费总额为元．
故甲、乙一起购买时比他们各自购买时节省了6元钱．
17. 已知．
（1）证明．
（2）若，求的最小值．
（1）证明：
因为，所以，，
则，从而．
（2）解：因为，所以．
因为，所以，
当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为．
18. 已知与分别是定义在上的奇函数、偶函数，．
（1）分别求，的解析式；
（2）设函数，若与在上的值域相同，求a，b的值．
解：（1）因为与分别是定义在R上的奇函数、偶函数，所以，．
由，①
得，
则．②
①-②得，则，
从而．
（2）由二次函数的图像及性质知道在上单调递增，且，，所以在上的值域为．
若，则在上单调递增．因为与在上的值域相同，
所以解得．
若，则为常数函数，显然不符合题意．
若，则在上单调递减．因为与在上的值域相同，
所以解得．
综上所述，或.
19. 定义：为函数在上的平均变化率．
（1）若函数在上的平均变化率为3，证明：．
（2）设，a，，且．
①证明：．
②求的取值范围．
参考公式：．
（1）证明：因为在上的平均变化率为3，
所以．
由，得，
从而，则．
（2）①证明：因为，
所以，
又，所以，
则，从而．
，
因为a，，所以，，则，即．
又，所以，即．
②解：任取，
则，
即，所以在0,1上单调递减，
由，得．
因，所以，解得，
则，
则，故的取值范围为．
购买的金柚重量/kg
金柚单价/（元/kg）
不超过5kg的部分
10
超过5kg但不超过10kg的部分
9
超过10kg的部分
8