高考数学精品讲义练习【一轮复习】第五章　5．3　平面向量的数量积

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第五章　5．3　平面向量的数量积，共13页。试卷主要包含了平面向量数量积的有关结论，已知平面向量a＝，b＝，则等内容，欢迎下载使用。
1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义，会计算平面向量的数量积．
2．了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个平面向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
如图，设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过 eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作 eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 eq \(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影， eq \(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记作|a|cs θe.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
教材拓展
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b eq \f(1,2)，得到a⊕b＝ eq \f(1,4)，又因为a⊙b＝ eq \f(a·b,|b|2)＝ eq \f(|a||b|cs θ,|b|2)＝ eq \f(|a|,|b|)cs θ>cs θ> eq \f(1,2)，所以a⊙b＝ eq \f(3,4)或1，所以a⊕b＋a⊙b＝1或 eq \f(5,4).故选D.项目
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝
|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝ eq \r(a·a)
|a|＝ eq \r(x eq \\al(2,1)＋y eq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(2,1)＋y eq \\al(2,1))\r(x eq \\al(2,2)＋y eq \\al(2,2)))
a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|
的关系
|a·b|≤
|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
eq \r(（x eq \\al(2,1)＋y eq \\al(2,1)）（x eq \\al(2,2)＋y eq \\al(2,2)）)