高考数学精品讲义练习【一轮复习】第五章　5．1　平面向量的概念及线性运算

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1．了解平面向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
3．理解平面向量的几何表示．
4．掌握平面向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握平面向量数乘的运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．
6．了解平面向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.共线向量基本定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“|b|且a与b同向，则a>b
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
解析：|a|＝|b|，但两向量的方向不确定，A错误； eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BA,\s\up6(→))是相反向量，所以是平行向量，B正确；向量之间不能比较大小，只能比较向量模的大小，C错误；若a∥b，b∥c，当向量b＝0时，a与c不一定平行，D错误．故选ACD.
考点2 平面向量的线性运算
【例2】 (1)(2024·江苏南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点M是BC的中点，则 eq \(AM,\s\up6(→))＝( D )
A． eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) B． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) D． eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
【解析】 如图，连接AC，依题意可得 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)).故选D.
(2)在△ABC中，D是CB延长线上一点，E是AD的中点．若 eq \(CB,\s\up6(→))＝3 eq \(BD,\s\up6(→))，λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))＝6 eq \(BE,\s\up6(→))，则( A )
A．λ＝2μ B．λ＝－2μ
C．μ＝2λ D．μ＝－2λ
【解析】 如图，因为E是AD的中点， eq \(CB,\s\up6(→))＝3 eq \(BD,\s\up6(→))，所以 eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→))＝
eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,6) eq \(AC,\s\up6(→))，则6 eq \(BE,\s\up6(→))＝－2 eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))，又λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))＝6 eq \(BE,\s\up6(→))，所以λ＝－2，μ＝－1 ，所以λ＝2μ.故选A.
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则，求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
【对点训练2】 (1)(2024·四川自贡一模)如图所示的△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AB的中点，则 eq \(DE,\s\up6(→))＝( B )
A．－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,6) eq \(AC,\s\up6(→)) B．－ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C．－ eq \f(5,6) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) D．－ eq \f(5,6) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
解析： eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)).故选B.
(2)已知△ABC的重心为O，若向量 eq \(BO,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，则x＋y＝( D )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(2,3) D．－ eq \f(1,3)
解析：如图，设E是AC的中点，由于O是△ABC的重心，所以 eq \(BO,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)×( eq \(AE,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))＝－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，则x＋y＝－ eq \f(2,3)＋ eq \f(1,3)＝－ eq \f(1,3).故选D.
考点3 共线向量基本定理及应用
【例3】 (1)(2024·安徽马鞍山三模)已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝( A )
A．－ eq \f(1,2) B．0
C．1 D． eq \f(3,2)
【解析】 因为a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2且a∥b，所以设a＝tb，即(2k－1)e1＋2e2＝t(e1－e2)，又e1，e2不共线，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k－1＝t，,2＝－t，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝－2，,k＝－\f(1,2)．))故选A.
(2)(2024·陕西西安一模)在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋λ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ＝( A )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(2,3) D． eq \f(5,6)
【解析】 如图，因为 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))，即 eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(AD,\s\up6(→))，又 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋
λ eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋2λ eq \(AD,\s\up6(→))，因为点P是线段BD上一点，即B，P，D三点共线，所以 eq \f(2,3)＋2λ＝1，解得λ＝ eq \f(1,6).故选A.
利用共线向量基本定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔ eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4) eq \(OA,\s\up6(→))＝λ eq \(OB,\s\up6(→))＋μ eq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
【对点训练3】 (1)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2， eq \(BC,\s\up6(→))＝－3e1＋2e2， eq \(DA,\s\up6(→))＝3e1－6e2，则( C )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2， eq \(BC,\s\up6(→))＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得 eq \(AB,\s\up6(→))＝λ eq \(BC,\s\up6(→))，故A，B，C三点不共线，故A错误；因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2， eq \(DA,\s\up6(→))＝3e1－6e2，不存在实数λ使得 eq \(AB,\s\up6(→))＝λ eq \(DA,\s\up6(→))，故A，B，D三点不共线，故B错误；因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝－2e1＋4e2， eq \(DA,\s\up6(→))＝3e1－6e2，则 eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(DA,\s\up6(→))，故A，C，D三点共线，故C正确；因为 eq \(BC,\s\up6(→))＝－3e1＋2e2， eq \(BD,\s\up6(→))＝－ eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝－3e1＋6e2－e1－2e2＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得 eq \(BC,\s\up6(→))＝λ eq \(BD,\s\up6(→))，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C.
(2)(2024·福建福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2是共线向量，则( D )
A． eq \f(λ,μ)＝－2 B．λμ＝－2
C． eq \f(λ,μ)＝2 D．λμ＝2
解析：依题意，设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，又e1，e2是两个不共线的向量，所以tμ＝2，λ＝t，所以λμ＝2.故选D.
(3)已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB，AC分别交于M，N两点，D为边BC的中点．若 eq \(AD,\s\up6(→))＝x eq \(AM,\s\up6(→))＋y eq \(AN,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y＝( A )
A． eq \f(3,2) B． eq \f(2,3)
C．2 D． eq \f(1,2)
解析：如图所示，由三角形重心的性质，可得
eq \f(AO,AD)＝ eq \f(2,3)，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(AO,\s\up6(→))，
所以 eq \f(3,2) eq \(AO,\s\up6(→))＝x eq \(AM,\s\up6(→))＋y eq \(AN,\s\up6(→))，即 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)x eq \(AM,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)y eq \(AN,\s\up6(→))，因为M，O，N三点共线，可得 eq \f(2,3)x＋ eq \f(2,3)y＝1，所以x＋y＝ eq \f(3,2).故选A.
课时作业33
1．(5分)下列命题不正确的是( A )
A． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＝0
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使 eq \f(a,|a|)＋ eq \f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
解析： eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＝0，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；因为 eq \f(a,|a|)与 eq \f(b,|b|)都是单位向量，所以只有当 eq \f(a,|a|)与 eq \f(b,|b|)是相反向量，即a与b反向共线时 eq \f(a,|a|)＋ eq \f(b,|b|)＝0才成立，故C正确；由相等向量的定义知D正确．故选A.
2．(5分)下列命题中，正确的是( C )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：若|a|＝|b|，则a，b只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；向量不能比较大小，B错误；若a＝b，则a，b共线，C正确；|a＋b|≤|a|＋|b|，D错误．故选C.
3．(5分)在四边形ABCD中，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \(CD,\s\up6(→))，且| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD为( C )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \(CD,\s\up6(→))，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形，因为| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))|，所以| eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(DB,\s\up6(→))|，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．故选C.
4．(5分)已知在梯形ABCD中，AB∥CD且满足 eq \(AB,\s\up6(→))＝2 eq \(DC,\s\up6(→))，E为AC中点，F为线段AB上靠近点B的三等分点，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则 eq \(EF,\s\up6(→))＝( C )
A． eq \f(2,3)a－ eq \f(1,2)b B． eq \f(3,4)a－ eq \f(1,6)b
C． eq \f(5,12)a－ eq \f(1,2)b D． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,6)b
解析：如图所示，由题意可得 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝b＋ eq \f(1,2)a，而 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))＝
eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))＋ eq \f(2,3)a＝ eq \f(5,12)a－ eq \f(1,2)b.故选C.
5．(5分)(2024·陕西榆林三模)在△ABC中，E在边BC上，且EC＝3BE，D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若 eq \(CP,\s\up6(→))＝x eq \(CA,\s\up6(→))＋y eq \(CB,\s\up6(→))，则3x＋4y＝( C )
A． eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4)
C．3 D．－3
解析：∵A，P，E三点共线，∴设 eq \(EP,\s\up6(→))＝t eq \(EA,\s\up6(→))(0≤t≤1)，则 eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \(CE,\s\up6(→))＋ eq \(EP,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→))＋t eq \(EA,\s\up6(→))＝
eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→))＋t eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))－\f(3,4)\(CB,\s\up6(→))))＝t eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)－\f(3,4)t)) eq \(CB,\s\up6(→))，又∵ eq \(CP,\s\up6(→))＝x eq \(CA,\s\up6(→))＋y eq \(CB,\s\up6(→))，∴x＝t，y＝ eq \f(3,4)－ eq \f(3,4)t，即3x＋4y＝3.故选C.
6．(5分)e1，e2是平面内不共线的两个向量，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2， eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1＋e2， eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( A )
A.2 B．－3
C．－2 D．3
解析： eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))＝e1－2e2，由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使 eq \(AB,\s\up6(→))＝λ eq \(BD,\s\up6(→))，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,k＝2λ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,k＝2.))故选A.
7．(5分)在△ABC中，若3 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))－2 eq \(CA,\s\up6(→))，则点D( A )
A．在直线AB上 B．在直线AC上
C．在直线BC上 D．为△ABC的外心
解析：因为3 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))－2 eq \(CA,\s\up6(→))，所以3 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(CB,\s\up6(→))－2 eq \(CA,\s\up6(→))＝2( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝2 eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(BD,\s\up6(→))和 eq \(AB,\s\up6(→))共线，因为 eq \(BD,\s\up6(→))和 eq \(AB,\s\up6(→))有公共端点B，所以A，B，D三点共线，所以点D在直线AB上．故选A.
8．(5分)在△ABC中， eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(CN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))，AM与CN交于点P，且 eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y＝( B )
A． eq \f(2,7) B． eq \f(4,7)
C． eq \f(6,7) D．1
解析：因为 eq \(CN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))，则N为AB的中点，可得 eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))＝2x eq \(AN,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，注意到C，P，N三点共线，可得2x＋y＝1，又因为A，P，M三点共线，则 eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(AM,\s\up6(→))，则存在实数k，使得 eq \(AP,\s\up6(→))＝k eq \(AM,\s\up6(→))，即x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))＝k eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(3k,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(k,4) eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3k,4)，,y＝\f(k,4)，))可得x＝3y.综上所述， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝1，,x＝3y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,7)，,y＝\f(1,7)，))可得x＋y＝ eq \f(4,7).故选B.
9．(8分)(多选)设a，b是两个非零向量，且|a＋b|