还剩12页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第五章 §5.3 平面向量的数量积
展开
这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第五章 §5.3 平面向量的数量积，共15页。
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( × )
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于( )
A．1 B.eq \r(3) C．3 D．3eq \r(3)
答案 C
解析 由题意可得a·b＝|a|·|b|cs 30°＝2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2eq \r(3)
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．
答案 5 eq \f(\r(5),5)
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，|b|＝eq \r(－32＋42)＝5，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(5,5×\r(5))＝eq \f(\r(5),5).
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cs θ＝eq \f(2,3)，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))等于( )
A．8 B．－8 C．2 D．－2
答案 D
解析 如图所示，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，cs θ＝eq \f(2,3)，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×3×eq \f(2,3)＝8，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(AB,\s\up6(→))－\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(3,16)eq \(AB,\s\up6(→))2
＝eq \f(1,2)×8－9＋eq \f(3,16)×42＝－2.
(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝________.
答案 22
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，
∴B(－3,0)，C(3,0)，
M(－2，－3eq \r(3))，
∴eq \(MB,\s\up6(→))＝(－1,3eq \r(3))，
eq \(MC,\s\up6(→))＝(5,3eq \r(3))，
∴eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－5＋27＝22.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．4
答案 B
解析 设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，
由eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量为eq \(AO,\s\up6(→))，
得eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2＝2.
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
答案 12
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)).
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，
所以2|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs eq \f(π,4)，
化简得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(2eq \r(2))2＋2eq \r(2)×2cs eq \f(π,4)＝12.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，则|a＋2b|等于( )
A．1＋2eq \r(3) B.eq \r(19)
C.eq \r(13＋4\r(3)) D．3eq \r(2)
答案 B
解析 根据向量的运算法则和数量积的定义，
可得|a＋2b|＝eq \r(a＋2b2)＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2)
＝eq \r(12＋4×1×\r(3)×cs 30°＋4×\r(3)2)＝eq \r(19).
命题点2 向量的夹角
例3 若e1，e2是夹角为eq \f(π,3)的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 由题意可得e1·e2＝1×1×cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6eeq \\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq \\al(2,2)＝－6＋eq \f(1,2)＋2＝－eq \f(7,2)，
|a|＝eq \r(2e1＋e22)＝eq \r(4e\\al(2,1)＋4e1·e2＋e\\al(2,2))＝eq \r(7)，
|b|＝eq \r(－3e1＋2e22)＝eq \r(9e\\al(2,1)－12e1·e2＋4e\\al(2,2))＝eq \r(7)，
故cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2)，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝eq \f(2π,3).
命题点3 向量的垂直
例4 (2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
答案 －eq \f(3,4)
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－eq \f(3,4).
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝eq \f(1,2)，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是( )
A．|e1－e2|＝1B．e1在e2上的投影向量的模为eq \f(1,2)
C．e1与e1－e2的夹角为eq \f(5π,12)D．a在e1上的投影向量为2e1
答案 ABD
解析 因为e1·e2＝1×1×cs〈e1，e2〉＝eq \f(1,2)，所以e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，
设eq \(OA,\s\up6(→))＝e1，eq \(OB,\s\up6(→))＝e2，则eq \(BA,\s\up6(→))＝e1－e2，由此可得△OAB是一个等边三角形，
所以〈e1，e1－e2〉＝eq \f(π,3)，故C错误；
|e1－e2|2＝eeq \\al(2,1)－2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1，故|e1－e2|＝1，故A正确；
因为e1在e2上的投影向量为eq \f(e1·e2,|e2|)e2＝eq \f(1,2)e2，所以模为eq \f(1,2)，故B正确；
设e1与a的夹角为θ，因为e1·a＝2＝|a|cs θ，
所以a在e1上的投影向量为(|a|cs θ)e1＝2e1，故D正确．
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，
即eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(b·c,|b||c|)，
即eq \f(25＋3t,5)＝3＋t，解得t＝5，故选C.
题型三 平面向量的实际应用
例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是( )
A．|G|＝|F1|＋|F2| B．当θ＝eq \f(π,2)时，|F1|＝eq \f(\r(2),2)|G|
C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|时，θ＝eq \f(π,3)
答案 B
解析 根据题意可得G＝F1＋F2，
则|G|＝|F1＋F2|＝eq \r(|F1＋F2|2)＝eq \r(F\\al(2,1)＋F\\al(2,2)＋2F1·F2)＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)，
当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，
当θ＝eq \f(π,2)时，|G|＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)＝eq \r(2)|F1|，
即|F1|＝eq \f(\r(2),2)|G|，故A错误，B正确；
|G|＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)，因为y＝cs θ在(0，π)上单调递减，
且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
当|F1|＝|G|时，即|G|＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)＝|F1|，解得cs θ＝－eq \f(1,2)，
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝eq \f(2π,3)，故D错误．
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cs θ等于( )
A．－eq \f(\r(21),5) B．－eq \f(2,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
答案 B
解析 由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
有|v1||v2|cs θ＋veq \\al(2,2)＝0，
即10×4cs θ＋42＝0，
所以cs θ＝－eq \f(2,5).
课时精练
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于( )
A．12 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12
答案 C
解析 由题意知m·n＝|m||n|cs 135°＝4×6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－12eq \r(2).
2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A．5 B．6 C.eq \r(41) D．4eq \r(3)
答案 A
解析 ∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝eq \r(32＋42)＝5.
3．已知a，b为非零向量，且eq \r(3)|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),8) B.eq \f(\r(3),16) C.eq \f(\r(6),8) D.eq \f(\r(6),16)
答案 B
解析 将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cs θ＋3|b|2＝3|a|2，
将|a|＝eq \f(2,\r(3))|b|代入8|a||b|cs θ＋3|b|2＝3|a|2，
得cs θ＝eq \f(\r(3),16).
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为eq \f(1,2)b，则a·b的值为( )
A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 方法一 设a与b的夹角为θ，∵|a|cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，∴eq \f(|a|cs θ,|b|)＝eq \f(1,2)，∴|a|cs θ＝eq \f(3,2)，∴a·b＝|a||b|cs θ＝eq \f(3,2)×3＝eq \f(9,2).
方法二 a·b＝eq \f(1,2)b·b＝eq \f(1,2)b2＝eq \f(9,2).
5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \r(3) C．3 D.eq \f(9,2)
答案 C
解析 由题意可得eq \(PA,\s\up6(→))＝－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))，
eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
故eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))2＝4－1＝3.
6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．8 B.eq \f(25,2) C．8eq \r(3) D．18
答案 A
解析 由题意得O为△ABC外心，故eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝8.
7．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，a)，则∠AOC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 由题设，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，a)，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，
所以eq \r(4＋a2)＝4，则a＝±2eq \r(3)，故eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，±2eq \r(3))，
由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，则0<∠AOB又cs∠AOB＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(OB,\s\up6(→))|)＝eq \f(24,4×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，则∠AOB＝eq \f(π,6)，
所以∠AOC＝eq \f(π,3).
8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0；
乙：eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))＝eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))；
丙：|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|；
丁：eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→)).
如果只有一个等式不成立，则该等式为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 B
解析 甲：eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝－eq \(PC,\s\up6(→))，故P为△ABC的重心；
乙：eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))＝eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))，则(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，则(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，同理可得eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝0，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．
9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．
答案 eq \f(2π,3)
解析 由b＝(－1,0)，得|b|＝1，
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
所以a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cs〈a，b〉＋2|b|2＝0，
因为|a|＝4，
所以4cs〈a，b〉＋2＝0，所以cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(2π,3).
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为eq \f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.
答案 11
解析 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cs〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×eq \f(1,3)＋32＝11.
11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则( )
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
答案 ACD
解析 由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5 N，故A正确；
如图②，物体所受合力应等于向量eq \(AD,\s\up6(→))与F2的和向量的大小，显然B错误；
当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C正确；
由上知，重力G与水平拉力F1的合力为eq \(AD,\s\up6(→))，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5 N，易知当F2与eq \(AD,\s\up6(→))同向时合力最大，最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，
即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D正确．
12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是( )
A．(－6，＋∞)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，－\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
答案 C
解析 因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，
所以a·b＝6＋m，
因为向量a，b的夹角是锐角，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝6＋m>0，,2－3m≠0，))
解得m>－6，且m≠eq \f(2,3).
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).
13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cs α，sin α)，P2(cs β，sin β)，P3(cs(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(—→))|
B．|eq \(AP2,\s\up6(—→))|＝|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))
答案 ABD
解析 由题意eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(OPi,\s\up6(—→))的坐标等于Pi的坐标(i＝1,2,3)，
|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(—→))|＝1，A正确；
|eq \(AP2,\s\up6(—→))|＝eq \r(cs β－12＋sin β－02)＝eq \r(2－2cs β)，
|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|＝eq \r([csα－β－cs α]2＋[sinα－β－sin α]2)＝eq \r(2－2[cs αcsα－β＋sin αsinα－β])＝eq \r(2－2cs β)，
所以|eq \(AP2,\s\up6(—→))|＝|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|，B正确；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝cs α，eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝cs βcs(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cs(2β－α)，C错误；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝cs(α－β)，eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs(α－β)，D正确．
14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
答案 －eq \f(3,5)
解析 设eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1))eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))2＝5λ－4＝0，
解得λ＝eq \f(4,5).
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
故eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)\(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(3,10)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))2＝－eq \f(3,5).
15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝eq \f(1,4)(|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
答案 －16
解析 由题设，|eq \(AM,\s\up6(→))|＝3，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝10，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)·(4|eq \(AM,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,4)×(36－100)＝－16.
16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的值为________．
答案 6
解析 在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
|eq \(OM,\s\up6(→))|＝2，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs \f(π,3)，2sin \f(π,3)))＝(1,eq \r(3))，
|eq \(MP,\s\up6(→))|＝eq \f(4,3)，即eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，0))，
|eq \(PN,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)，由分形知PN∥OM，所以eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(\r(3),6)))，
所以eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(7\r(3),6)))，
所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝1×eq \f(5,2)＋eq \r(3)×eq \f(7\r(3),6)＝6.几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( × )
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于( )
A．1 B.eq \r(3) C．3 D．3eq \r(3)
答案 C
解析 由题意可得a·b＝|a|·|b|cs 30°＝2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2eq \r(3)
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．
答案 5 eq \f(\r(5),5)
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，|b|＝eq \r(－32＋42)＝5，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(5,5×\r(5))＝eq \f(\r(5),5).
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cs θ＝eq \f(2,3)，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))等于( )
A．8 B．－8 C．2 D．－2
答案 D
解析 如图所示，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，cs θ＝eq \f(2,3)，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×3×eq \f(2,3)＝8，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(AB,\s\up6(→))－\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(3,16)eq \(AB,\s\up6(→))2
＝eq \f(1,2)×8－9＋eq \f(3,16)×42＝－2.
(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝________.
答案 22
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，
∴B(－3,0)，C(3,0)，
M(－2，－3eq \r(3))，
∴eq \(MB,\s\up6(→))＝(－1,3eq \r(3))，
eq \(MC,\s\up6(→))＝(5,3eq \r(3))，
∴eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－5＋27＝22.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．4
答案 B
解析 设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，
由eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量为eq \(AO,\s\up6(→))，
得eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2＝2.
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
答案 12
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)).
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，
所以2|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs eq \f(π,4)，
化简得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(2eq \r(2))2＋2eq \r(2)×2cs eq \f(π,4)＝12.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，则|a＋2b|等于( )
A．1＋2eq \r(3) B.eq \r(19)
C.eq \r(13＋4\r(3)) D．3eq \r(2)
答案 B
解析 根据向量的运算法则和数量积的定义，
可得|a＋2b|＝eq \r(a＋2b2)＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2)
＝eq \r(12＋4×1×\r(3)×cs 30°＋4×\r(3)2)＝eq \r(19).
命题点2 向量的夹角
例3 若e1，e2是夹角为eq \f(π,3)的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 由题意可得e1·e2＝1×1×cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6eeq \\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq \\al(2,2)＝－6＋eq \f(1,2)＋2＝－eq \f(7,2)，
|a|＝eq \r(2e1＋e22)＝eq \r(4e\\al(2,1)＋4e1·e2＋e\\al(2,2))＝eq \r(7)，
|b|＝eq \r(－3e1＋2e22)＝eq \r(9e\\al(2,1)－12e1·e2＋4e\\al(2,2))＝eq \r(7)，
故cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2)，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝eq \f(2π,3).
命题点3 向量的垂直
例4 (2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
答案 －eq \f(3,4)
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－eq \f(3,4).
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝eq \f(1,2)，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是( )
A．|e1－e2|＝1B．e1在e2上的投影向量的模为eq \f(1,2)
C．e1与e1－e2的夹角为eq \f(5π,12)D．a在e1上的投影向量为2e1
答案 ABD
解析 因为e1·e2＝1×1×cs〈e1，e2〉＝eq \f(1,2)，所以e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，
设eq \(OA,\s\up6(→))＝e1，eq \(OB,\s\up6(→))＝e2，则eq \(BA,\s\up6(→))＝e1－e2，由此可得△OAB是一个等边三角形，
所以〈e1，e1－e2〉＝eq \f(π,3)，故C错误；
|e1－e2|2＝eeq \\al(2,1)－2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1，故|e1－e2|＝1，故A正确；
因为e1在e2上的投影向量为eq \f(e1·e2,|e2|)e2＝eq \f(1,2)e2，所以模为eq \f(1,2)，故B正确；
设e1与a的夹角为θ，因为e1·a＝2＝|a|cs θ，
所以a在e1上的投影向量为(|a|cs θ)e1＝2e1，故D正确．
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，
即eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(b·c,|b||c|)，
即eq \f(25＋3t,5)＝3＋t，解得t＝5，故选C.
题型三 平面向量的实际应用
例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是( )
A．|G|＝|F1|＋|F2| B．当θ＝eq \f(π,2)时，|F1|＝eq \f(\r(2),2)|G|
C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|时，θ＝eq \f(π,3)
答案 B
解析 根据题意可得G＝F1＋F2，
则|G|＝|F1＋F2|＝eq \r(|F1＋F2|2)＝eq \r(F\\al(2,1)＋F\\al(2,2)＋2F1·F2)＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)，
当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，
当θ＝eq \f(π,2)时，|G|＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)＝eq \r(2)|F1|，
即|F1|＝eq \f(\r(2),2)|G|，故A错误，B正确；
|G|＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)，因为y＝cs θ在(0，π)上单调递减，
且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
当|F1|＝|G|时，即|G|＝eq \r(2F\\al(2,1)＋2F\\al(2,1)·cs θ)＝|F1|，解得cs θ＝－eq \f(1,2)，
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝eq \f(2π,3)，故D错误．
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cs θ等于( )
A．－eq \f(\r(21),5) B．－eq \f(2,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
答案 B
解析 由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
有|v1||v2|cs θ＋veq \\al(2,2)＝0，
即10×4cs θ＋42＝0，
所以cs θ＝－eq \f(2,5).
课时精练
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于( )
A．12 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12
答案 C
解析 由题意知m·n＝|m||n|cs 135°＝4×6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－12eq \r(2).
2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A．5 B．6 C.eq \r(41) D．4eq \r(3)
答案 A
解析 ∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝eq \r(32＋42)＝5.
3．已知a，b为非零向量，且eq \r(3)|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),8) B.eq \f(\r(3),16) C.eq \f(\r(6),8) D.eq \f(\r(6),16)
答案 B
解析 将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cs θ＋3|b|2＝3|a|2，
将|a|＝eq \f(2,\r(3))|b|代入8|a||b|cs θ＋3|b|2＝3|a|2，
得cs θ＝eq \f(\r(3),16).
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为eq \f(1,2)b，则a·b的值为( )
A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 方法一 设a与b的夹角为θ，∵|a|cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，∴eq \f(|a|cs θ,|b|)＝eq \f(1,2)，∴|a|cs θ＝eq \f(3,2)，∴a·b＝|a||b|cs θ＝eq \f(3,2)×3＝eq \f(9,2).
方法二 a·b＝eq \f(1,2)b·b＝eq \f(1,2)b2＝eq \f(9,2).
5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \r(3) C．3 D.eq \f(9,2)
答案 C
解析 由题意可得eq \(PA,\s\up6(→))＝－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))，
eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
故eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))2＝4－1＝3.
6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．8 B.eq \f(25,2) C．8eq \r(3) D．18
答案 A
解析 由题意得O为△ABC外心，故eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝8.
7．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，a)，则∠AOC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 由题设，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，a)，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，
所以eq \r(4＋a2)＝4，则a＝±2eq \r(3)，故eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，±2eq \r(3))，
由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，则0<∠AOB
所以∠AOC＝eq \f(π,3).
8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0；
乙：eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))＝eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))；
丙：|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|；
丁：eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→)).
如果只有一个等式不成立，则该等式为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 B
解析 甲：eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝－eq \(PC,\s\up6(→))，故P为△ABC的重心；
乙：eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))＝eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))，则(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，则(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，同理可得eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝0，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．
9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．
答案 eq \f(2π,3)
解析 由b＝(－1,0)，得|b|＝1，
因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，
所以a·b＋2b2＝0，
所以|a||b|cs〈a，b〉＋2|b|2＝0，
因为|a|＝4，
所以4cs〈a，b〉＋2＝0，所以cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(2π,3).
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为eq \f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.
答案 11
解析 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cs〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×eq \f(1,3)＋32＝11.
11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则( )
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
答案 ACD
解析 由题意知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，由图①知|F2|＝5 N，故A正确；
如图②，物体所受合力应等于向量eq \(AD,\s\up6(→))与F2的和向量的大小，显然B错误；
当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C正确；
由上知，重力G与水平拉力F1的合力为eq \(AD,\s\up6(→))，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5 N，易知当F2与eq \(AD,\s\up6(→))同向时合力最大，最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，
即3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N，故D正确．
12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是( )
A．(－6，＋∞)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，－\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
答案 C
解析 因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，
所以a·b＝6＋m，
因为向量a，b的夹角是锐角，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝6＋m>0，,2－3m≠0，))
解得m>－6，且m≠eq \f(2,3).
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).
13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cs α，sin α)，P2(cs β，sin β)，P3(cs(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(—→))|
B．|eq \(AP2,\s\up6(—→))|＝|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))
答案 ABD
解析 由题意eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(OPi,\s\up6(—→))的坐标等于Pi的坐标(i＝1,2,3)，
|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(—→))|＝1，A正确；
|eq \(AP2,\s\up6(—→))|＝eq \r(cs β－12＋sin β－02)＝eq \r(2－2cs β)，
|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|＝eq \r([csα－β－cs α]2＋[sinα－β－sin α]2)＝eq \r(2－2[cs αcsα－β＋sin αsinα－β])＝eq \r(2－2cs β)，
所以|eq \(AP2,\s\up6(—→))|＝|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|，B正确；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝cs α，eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝cs βcs(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cs(2β－α)，C错误；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝cs(α－β)，eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs(α－β)，D正确．
14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
答案 －eq \f(3,5)
解析 设eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1))eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))2＝5λ－4＝0，
解得λ＝eq \f(4,5).
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
故eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)\(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(3,10)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))2＝－eq \f(3,5).
15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝eq \f(1,4)(|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
答案 －16
解析 由题设，|eq \(AM,\s\up6(→))|＝3，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝10，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)·(4|eq \(AM,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,4)×(36－100)＝－16.
16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的值为________．
答案 6
解析 在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
|eq \(OM,\s\up6(→))|＝2，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs \f(π,3)，2sin \f(π,3)))＝(1,eq \r(3))，
|eq \(MP,\s\up6(→))|＝eq \f(4,3)，即eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，0))，
|eq \(PN,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)，由分形知PN∥OM，所以eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(\r(3),6)))，
所以eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(7\r(3),6)))，
所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝1×eq \f(5,2)＋eq \r(3)×eq \f(7\r(3),6)＝6.几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
相关试卷
2024年高考数学第一轮复习专题训练第五章 §5.3 平面向量的数量积： 这是一份2024年高考数学第一轮复习专题训练第五章 §5.3 平面向量的数量积，共5页。
2024年数学高考大一轮复习第五章 §5.3 平面向量的数量积： 这是一份2024年数学高考大一轮复习第五章 §5.3 平面向量的数量积，共3页。
高考数学第一轮复习第五章 §5.3 平面向量的数量积： 这是一份高考数学第一轮复习第五章 §5.3 平面向量的数量积，共21页。试卷主要包含了向量数量积的运算律等内容，欢迎下载使用。
