新高考数学一轮复习讲义第5章　§5.3　平面向量的数量积（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
教材改编题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于( )
A．1 B.eq \r(3) C．3 D．3eq \r(3)
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)在平面四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cs θ＝eq \f(2,3)，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))等于( )
A．8 B．－8 C．2 D．－2
(2)在等边△ABC中，AB＝6，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝________.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．4
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，则|a＋2b|等于( )
A．1＋2eq \r(3) B.eq \r(19)
C.eq \r(13＋4\r(3)) D．3eq \r(2)
命题点2 向量的夹角
例3 若e1，e2是夹角为eq \f(π,3)的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
命题点3 向量的垂直
例4 已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝eq \f(1,2)，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是( )
A．|e1－e2|＝1B．e1在e2上的投影向量的模为eq \f(1,2)
C．e1与e1－e2的夹角为eq \f(5π,12)D．a在e1上的投影向量为2e1
(2)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
题型三 平面向量的实际应用
例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是( )
A．|G|＝|F1|＋|F2| B．当θ＝eq \f(π,2)时，|F1|＝eq \f(\r(2),2)|G|
C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|时，θ＝eq \f(π,3)
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cs θ等于( )
A．－eq \f(\r(21),5) B．－eq \f(2,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
课时精练
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于( )
A．12 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12
2．已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A．5 B．6 C.eq \r(41) D．4eq \r(3)
3．已知a，b为非零向量，且eq \r(3)|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),8) B.eq \f(\r(3),16) C.eq \f(\r(6),8) D.eq \f(\r(6),16)
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为eq \f(1,2)b，则a·b的值为( )
A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2)
5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \r(3) C．3 D.eq \f(9,2)
6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．8 B.eq \f(25,2) C．8eq \r(3) D．18
7.在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，a)，则∠AOC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0；
乙：eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))＝eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))；
丙：|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|；
丁：eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→)).
如果只有一个等式不成立，则该等式为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．
10．设向量a，b的夹角的余弦值为eq \f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.
11．(多选)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则( )
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是( )
A．(－6，＋∞)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，－\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cs α，sin α)，P2(cs β，sin β)，P3(cs(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(—→))|
B．|eq \(AP2,\s\up6(—→))|＝|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))
14．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝eq \f(1,4)(|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的值为________．
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))