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    新高考数学一轮复习讲义第5章 §5.3 平面向量的数量积(2份打包,原卷版+含解析)
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    新高考数学一轮复习讲义第5章 §5.3 平面向量的数量积(2份打包,原卷版+含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习讲义第5章 §5.3 平面向量的数量积(2份打包,原卷版+含解析),文件包含新高考数学一轮复习讲义第5章§53平面向量的数量积原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第5章§53平面向量的数量积含解析doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共23页, 欢迎下载使用。


    知识梳理
    1.向量的夹角
    已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
    2.平面向量的数量积
    已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积,记作a·b.
    3.平面向量数量积的几何意义
    设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(CD,\s\up6(→))=b,过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B,分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到eq \(A1B1,\s\up6(—→)),我们称上述变换为向量a向向量b投影,eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cs θ e.
    4.向量数量积的运算律
    (1)a·b=b·a.
    (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
    (3)(a+b)·c=a·c+b·c.
    5.平面向量数量积的有关结论
    已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
    常用结论
    1.平面向量数量积运算的常用公式
    (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
    (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
    2.有关向量夹角的两个结论
    (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
    (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
    思考辨析
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))).( )
    (2)若a,b共线,则a·b=|a|·|b|.( )
    (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )
    (4)若a·b=a·c,则b=c.( )
    教材改编题
    1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=eq \r(3),且a与b的夹角为30°,那么a·b等于( )
    A.1 B.eq \r(3) C.3 D.3eq \r(3)
    2.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
    3.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则a·b的值等于________;a与b夹角的余弦值等于________.
    题型一 平面向量数量积的基本运算
    例1 (1)在平面四边形ABCD中,已知eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)),P为CD上一点,eq \(CP,\s\up6(→))=3eq \(PD,\s\up6(→)),|eq \(AB,\s\up6(→))|=4,|eq \(AD,\s\up6(→))|=3,eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ,且cs θ=eq \f(2,3),则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))等于( )
    A.8 B.-8 C.2 D.-2
    (2)在等边△ABC中,AB=6,eq \(BC,\s\up6(→))=3eq \(BD,\s\up6(→)),eq \(AM,\s\up6(→))=2eq \(AD,\s\up6(→)),则eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))=________.
    思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
    (1)利用定义:a·b=|a||b|cs〈a,b〉.
    (2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
    (3)利用基底法求数量积.
    (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
    跟踪训练1 (1)已知正方形ABCD的对角线AC=2,点P在另一条对角线BD上,则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为( )
    A.-2 B.2 C.1 D.4
    (2)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=eq \f(π,4),若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)),则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=________.
    题型二 平面向量数量积的应用
    命题点1 向量的模
    例2 已知向量a和b的夹角为30°,|a|=1,|b|=eq \r(3),则|a+2b|等于( )
    A.1+2eq \r(3) B.eq \r(19)
    C.eq \r(13+4\r(3)) D.3eq \r(2)
    命题点2 向量的夹角
    例3 若e1,e2是夹角为eq \f(π,3)的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为( )
    A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
    C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
    命题点3 向量的垂直
    例4 已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=________.
    思维升华 (1)求平面向量的模的方法
    ①公式法:利用|a|=eq \r(a·a)及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2;
    ②几何法:利用向量的几何意义.
    (2)求平面向量的夹角的方法
    ①定义法:cs θ=eq \f(a·b,|a||b|);
    ②坐标法.
    (3)两个向量垂直的充要条件
    a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0).
    跟踪训练2 (1)(多选)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=eq \f(1,2),若向量a满足e1·a=2,则下列选项正确的是( )
    A.|e1-e2|=1B.e1在e2上的投影向量的模为eq \f(1,2)
    C.e1与e1-e2的夹角为eq \f(5π,12)D.a在e1上的投影向量为2e1
    (2)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若〈a,c〉=〈b,c〉,则t等于( )
    A.-6 B.-5 C.5 D.6
    题型三 平面向量的实际应用
    例5 在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,当两人拎起行李包时,下列结论正确的是( )
    A.|G|=|F1|+|F2| B.当θ=eq \f(π,2)时,|F1|=eq \f(\r(2),2)|G|
    C.当θ角越大时,用力越省 D.当|F1|=|G|时,θ=eq \f(π,3)
    思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
    跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行,如图所示,已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π),若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cs θ等于( )
    A.-eq \f(\r(21),5) B.-eq \f(2,5) C.-eq \f(3,5) D.-eq \f(4,5)
    课时精练
    1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m·n等于( )
    A.12 B.12eq \r(2) C.-12eq \r(2) D.-12
    2.已知向量a=(λ,2),b=(-1,2),若a⊥b,则|a+b|等于( )
    A.5 B.6 C.eq \r(41) D.4eq \r(3)
    3.已知a,b为非零向量,且eq \r(3)|a|=2|b|,|a+2b|=|2a-b|,则a与b夹角的余弦值为( )
    A.eq \f(\r(3),8) B.eq \f(\r(3),16) C.eq \f(\r(6),8) D.eq \f(\r(6),16)
    4.已知|b|=3,a在b上的投影向量为eq \f(1,2)b,则a·b的值为( )
    A.3 B.eq \f(9,2) C.2 D.eq \f(1,2)
    5.已知菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,点P是BC的中点,则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))等于( )
    A.0 B.eq \r(3) C.3 D.eq \f(9,2)
    6.在△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6,△ABC外接圆圆心为O,则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
    A.8 B.eq \f(25,2) C.8eq \r(3) D.18
    7.在以OA为边,以OB为对角线的菱形OABC中,eq \(OA,\s\up6(→))=(4,0),eq \(OB,\s\up6(→))=(6,a),则∠AOC等于( )
    A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
    8.已知P是△ABC所在平面内一点,有下列四个等式:
    甲:eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→))=0;
    乙:eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))-eq \(PB,\s\up6(→)))=eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))-eq \(PB,\s\up6(→)));
    丙:|eq \(PA,\s\up6(→))|=|eq \(PB,\s\up6(→))|=|eq \(PC,\s\up6(→))|;
    丁:eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))=eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→)).
    如果只有一个等式不成立,则该等式为( )
    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
    9.已知|a|=4,b=(-1,0),且(a+2b)⊥b,则a与b的夹角为________.
    10.设向量a,b的夹角的余弦值为eq \f(1,3),且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=________.
    11.(多选)一物体受到3个力的作用,其中重力G的大小为4 N,水平拉力F1的大小为3 N,另一力F2未知,则( )
    A.当该物体处于平衡状态时,|F2|=5 N
    B.当F2与F1方向相反,且|F2|=5 N时,物体所受合力大小为0
    C.当物体所受合力为F1时,|F2|=4 N
    D.当|F2|=2 N时,3 N≤|F1+F2+G|≤7 N
    12.已知向量a=(2,m),b=(3,1),若向量a,b的夹角是锐角,则m的取值范围是( )
    A.(-6,+∞)
    B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),+∞))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-6,\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3),+∞))
    D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-6,-\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),+∞))
    13.(多选)已知O为坐标原点,点A(1,0),P1(cs α,sin α),P2(cs β,sin β),P3(cs(α-β),sin(α-β)),则下列选项正确的是( )
    A.|eq \(OP1,\s\up6(—→))|=|eq \(OP2,\s\up6(—→))|
    B.|eq \(AP2,\s\up6(—→))|=|eq \(P1P3,\s\up6(—→))|
    C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))=eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))
    D.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))=eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))
    14.在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,E是BC的中点,F是AB上一点,且eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))=0,则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))=________.
    15.向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b=eq \f(1,4)(|eq \(AD,\s\up6(→))|2-|eq \(BC,\s\up6(→))|2),我们称为极化恒等式.在△ABC中,M是BC中点,AM=3,BC=10,则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=________.
    16.在2022年北京冬奥会开幕式中,当《雪花》这个节目开始后,一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央,十分壮观.理论上,一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”,又称“科赫曲线”,是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程.已知图①中正三角形的边长为3,则图③中eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的值为________.
    几何表示
    坐标表示
    数量积
    a·b=|a||b|cs θ
    a·b=x1x2+y1y2

    |a|=eq \r(a·a)
    |a|=eq \r(x\\al(2,1)+y\\al(2,1))
    夹角
    cs θ=eq \f(a·b,|a||b|)
    cs θ=eq \f(x1x2+y1y2,\r(x\\al(2,1)+y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)+y\\al(2,2)))
    a⊥b的充要条件
    a·b=0
    x1x2+y1y2=0
    |a·b|与|a||b|的关系
    |a·b|≤|a||b|
    |x1x2+y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)+y\\al(2,1)x\\al(2,2)+y\\al(2,2))
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