高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．7　正、余弦定理的综合应用

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2．会利用正、余弦定理求解平面多边形、三角形的中线、高线、角平分线等问题．
考点1 多边形中的解三角形问题
【例1】 如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝6 eq \r(2)，tan A＝ eq \f(\r(2),2)，cs ∠ADB＝ eq \f(1,3).
(1)求cs ∠BDC的值；
(2)求BC的长．
【解】 (1)因为tan A＝ eq \f(sin A,cs A)＝ eq \f(\r(2),2)，且sin2A＋cs2A＝1，解得sinA＝ eq \f(\r(3),3)，cs A＝ eq \f(\r(6),3).而cs ∠ADB＝ eq \f(1,3)，所以sin ∠ADB＝ eq \r(1－cs2∠ADB)＝ eq \f(2\r(2),3)，所以cs∠ABD＝cs (π－A－∠ADB)＝－cs (A＋∠ADB)＝－(cs A cs ∠ADB－sin A sin ∠ADB)＝－ eq \f(\r(6),3)× eq \f(1,3)＋ eq \f(\r(3),3)× eq \f(2\r(2),3)＝ eq \f(\r(6),9)，因为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，所以cs ∠BDC＝cs ∠ABD＝ eq \f(\r(6),9).
(2)在△ABD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin A)＝ eq \f(AB,sin ∠ADB)，因为AB＝6 eq \r(2)，所以BD＝ eq \f(AB·sin A,sin ∠ADB)＝3 eq \r(3).在△CBD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cs ∠BDC＝27＋18－2×3 eq \r(3)×3 eq \r(2)× eq \f(\r(6),9)＝33，所以BC＝ eq \r(33).
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【对点训练1】 如图所示，在平行四边形ABCD中，有AC cs ∠BAC＝(2AB－BC)·
cs ∠ABC.
(1)求∠ABC的大小；
(2)若BC＝3，AC＝ eq \r(7)，求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)由题意得AC cs ∠BAC＝(2AB－BC)cs ∠ABC，
由正弦定理得2sin ∠ACB cs ∠ABC＝sin ∠BAC cs ∠ABC＋sin ∠ABC cs ∠BAC，
∴2sin ∠ACB cs ∠ABC＝sin (∠BAC＋∠ABC)＝sin (π－∠ACB)＝sin ∠ACB，
又∵∠ACB∈(0，π)，
∴sin ∠ACB≠0，∴cs ∠ABC＝ eq \f(1,2)，
∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝ eq \f(π,3).
(2)在平行四边形ABCD中，∠ABC＝ eq \f(π,3)，BC＝3，AC＝ eq \r(7)，
在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC cs ∠ABC，即7＝AB2＋9－2×AB×3× eq \f(1,2)，
解得AB＝1或AB＝2，
当AB＝1时，平行四边形ABCD的面积为S＝2S△ABC＝2× eq \f(1,2)AB×BC sin eq \f(π,3)＝2× eq \f(1,2)×1×3× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),2)；
当AB＝2时，平行四边形ABCD的面积为S＝2S△ABC＝2× eq \f(1,2)AB×BC sin eq \f(π,3)＝2× eq \f(1,2)×2×3× eq \f(\r(3),2)＝3 eq \r(3).
故平行四边形ABCD的面积为 eq \f(3\r(3),2)或3 eq \r(3).
考点2 三角形中的最值、范围问题
【例2】 （2024·河北衡水一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD，BD＝2，且a2＝－ eq \f(2\r(3),3)S＋ab cs ∠ACB.
(1)求∠ABC；
(2)求 eq \f(2,AD)＋ eq \f(1,CD)的取值范围．
【解】 (1)∵a2＝－ eq \f(2\r(3),3)S＋ab cs ∠ACB，
∴a2＝－ eq \f(\r(3),3)ab sin ∠ACB＋ab cs ∠ACB，
即a＝－ eq \f(\r(3),3)b sin ∠ACB＋b cs ∠ACB，
由正弦定理得，
sin ∠BAC＝－ eq \f(\r(3),3)sin ∠ABC sin ∠ACB＋sin ∠ABC cs ∠ACB，
∴sin (∠ABC＋∠ACB)＝－ eq \f(\r(3),3)sin ∠ABC·sin ∠ACB＋sin ∠ABC cs ∠ACB，
∴cs ∠ABC sin ∠ACB＝－ eq \f(\r(3),3)sin ∠ABC sin ∠ACB，
∵sin ∠ACB≠0，∴tan ∠ABC＝－ eq \r(3)，
由0