高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．6　正弦定理、余弦定理

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．6　正弦定理、余弦定理，共14页。试卷主要包含了掌握正弦定理、余弦定理及其变形，理解三角形的面积公式并能应用等内容，欢迎下载使用。
1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．理解三角形的面积公式并能应用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形解的判断
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ eq \f(1,2)aha（ha表示边a上的高）.
(2)S＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(1,2)bc sin A．
(3)S＝ eq \f(1,2)r(a＋b＋c)（r为三角形的内切圆半径）.
教材拓展
在△ABC中，常有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs Asin B，则a>b.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
2．（人教A版必修第二册P48T2(2)改编）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝ eq \r(2)＋ eq \f(\r(6),3).
解析：B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得 eq \f(2,sin 60°)＝ eq \f(c,sin 75°)，得c＝ eq \r(2)＋ eq \f(\r(6),3).
3．（人教A版必修第二册P44T2改编）在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A＝120°．
解析：因为cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－ eq \f(1,2)，所以A＝120°.
4．（人教A版必修第二册P53T10改编）在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于6 eq \r(3)．
解析：因为cs A＝ eq \f(32＋82－72,2×3×8)＝ eq \f(1,2)>0，所以A为锐角，所以A＝ eq \f(π,3)，sin A＝ eq \f(\r(3),2)，所以△ABC的面积为 eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)×3×8× eq \f(\r(3),2)＝6 eq \r(3).
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
命题角度1 正弦定理
【例1】 (1)（2024·全国甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝ eq \f(π,3)，b2＝ eq \f(9,4)ac，则sin A＋sin C＝( C )
A． eq \f(2\r(39),13) B． eq \f(\r(39),13)
C． eq \f(\r(7),2) D． eq \f(3\r(13),13)
【解析】 因为B＝ eq \f(π,3)，b2＝ eq \f(9,4)ac，则由正弦定理得sin A sin C＝ eq \f(4,9)sin2B＝ eq \f(1,3).由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ eq \f(9,4)ac，即a2＋c2＝ eq \f(13,4)ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝ eq \f(13,4)sinA·sin C＝ eq \f(13,12)，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝ eq \f(7,4)，因为A，C为三角形的内角，所以sin A＋sin C>0，则sin A＋sin C＝ eq \f(\r(7),2).故选C.
(2)（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( BC )
A．b＝10，A＝45°，C＝60°
B．b＝ eq \r(15)，c＝4，B＝60°
C．a＝ eq \r(3)，b＝2，A＝45°
D．a＝8，b＝4，A＝80°
【解析】 因为b＝10，A＝45°，C＝60°，所以B＝75°，所以△ABC只有一解，故A错误；因为b＝ eq \r(15)，c＝4，B＝60°，所以由正弦定理得sin C＝ eq \f(c sin B,b)＝ eq \f(4×\f(\r(3),2),\r(15))＝ eq \f(2\r(5),5)