高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．5　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用

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2．会用三角函数解决简单的实际问题，可以利用三角函数构建事物周期变化的数学模型．
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝r sin (ωt＋φ)＋h．
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表．先由ωx＋φ＝0， eq \f(π,2)，π， eq \f(3π,2)，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表．
描点．在平面直角坐标系中描出各点．
连线．用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
成图．利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图．
②由y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法：
2．三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).( × )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )
(3)函数y＝A cs (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 eq \f(T,2).( √ )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( √ )
2．(人教A版必修第一册P240T1改编)要得到y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，只要把函数y＝3sin 2x的图象( C )
A．向左平移 eq \f(π,3)个单位长度
B．向右平移 eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移 eq \f(π,6)个单位长度
D．向右平移 eq \f(π,6)个单位长度
解析：因为y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝3sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，所以只要把函数y＝3sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度即可得到y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．故选C.
3．(人教A版必修第一册P240T3改编)若函数f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1(x∈R)的图象向右
平移 eq \f(π,12)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x)( D )
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
解析：依题意可得g(x)＝3sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－ eq \f(π,3)＋1＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＋1＝－3cs 2x＋1，所以g(x)的最大值为4，最小正周期为π，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称．故选D.
4．(人教A版必修第一册P241T4改编)已知f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|0，ω>0，|φ|0，00)，因为图象相邻两条对称轴间的距离为 eq \f(π,2)，所以周期T＝2× eq \f(π,2)＝π，即ω＝ eq \f(2π,T)＝2，因此f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，当x∈(0，m)时，2x＋ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2m＋\f(π,3)))，
若f(x)在(0，m)上有最大值，无最小值，则由正弦函数图象得 eq \f(π,2)