高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．2　同角三角函数的基本关系及诱导公式

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．2　同角三角函数的基本关系及诱导公式，共12页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系式，掌握诱导公式及其应用，下列化简正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cs2α＝1， eq \f(sinα,cs α)＝tan α.
2．掌握诱导公式及其应用．
1．同角三角函数的基本关系
sin2α＋cs2α＝1．
eq \f(sinα,cs α)＝tan α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))．
2．诱导公式
3.同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)．
(2)sin α＝tan αcs α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝ eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(tan2α,tan2α＋1) α≠ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z．
(4)cs2α＝ eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(1,tan2α＋1)α≠ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z．
教材拓展
1．sinα＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α三者之间的关系
(1)(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α.
(2)(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α.
(3)(sin α＋cs α)2＋(sin α－cs α)2＝2.
(4)(sin α＋cs α)2－(sin α－cs α)2＝4sin αcs α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(3)若α∈R，则tan α＝ eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
(4)若sin (kπ－α)＝ eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝ eq \f(1,3).( × )
2．(人教A版必修第一册P185T12改编)如果sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝ eq \f(1,5)，且α是第四象限角，那么cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝－ eq \f(2\r(6),5)．
解析：由sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α＝ eq \f(1,5)，又α是第四象限角，所以sin α＝－ eq \r(1－cs2α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))\s\up12(2))＝－ eq \f(2\r(6),5)，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝sin α＝－ eq \f(2\r(6),5).
3．(人教A版必修第一册P195T6改编)若θ是钝角，tan θ＝－2，则sin θ－cs θ＝ eq \f(3\r(5),5)．
解析：因为tan θ＝－2，所以 eq \f(sin θ,cs θ)＝－2，即sin θ＝－2cs θ，因为sin2θ＋cs2θ＝1，所以5cs2θ＝1，因为θ是钝角，所以csθ＝－ eq \f(\r(5),5)，故sin θ－cs θ＝－3cs θ＝ eq \f(3\r(5),5).
4．(人教B版必修第三册P26T5改编)若tan θ＝ eq \f(2,3)，则 eq \f(2sin θ－4cs θ,sin θ＋2cs θ)＝－1．
解析：因为tan θ＝ eq \f(2,3)，则 eq \f(2sin θ－4cs θ,sin θ＋2cs θ)＝ eq \f(2tan θ－4,tan θ＋2)＝ eq \f(2×\f(2,3)－4,\f(2,3)＋2)＝－1.
考点1 同角三角函数的基本关系
命题角度1 弦切互化
【例1】 (1)(2024·河北邯郸模拟)已知tan α＝ eq \f(3,4)，α为第一象限角，则sin α的值为( A )
A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5)
C．－ eq \f(3,5) D．－ eq \f(4,5)
【解析】 因为tan α＝ eq \f(3,4)，所以 eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(3,4)，又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＋ eq \f(16,9)sin2α＝1，sin2α＝ eq \f(9,25).因为α为第一象限角，所以sinα＝ eq \f(3,5).故选A.
(2)(2024·四川攀枝花二模)若角θ的终边经过点(－1，2)，则sin2θ＋ eq \f(1,2)sin2θ的值为( A )
A． eq \f(2,5) B．－ eq \f(2,5)
C． eq \f(6,5) D．－ eq \f(6,5)
【解析】 根据θ的终边经过点(－1，2)，则
tan θ＝－2，则sin2θ＋ eq \f(1,2)sin2θ＝ eq \f(sin2θ＋sinθcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝ eq \f(tan2θ＋tanθ,tan2θ＋1)＝ eq \f(4－2,4＋1)＝ eq \f(2,5).故选A.
同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用 eq \f(sinα,cs α)＝tan α可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cs α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解．
命题角度2 “和”“积”转换
【例2】 (多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( ABD )
A．θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．cs θ＝－ eq \f(3,5)
C．tan θ＝－ eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝ eq \f(7,5)
【解析】 因为sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5)，所以sin2θ＋2sinθcs θ＋cs2θ＝1＋2sinθcs θ＝ eq \f(1,25)，所以2sin θcs θ＝－ eq \f(24,25)，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ