四川省内江市资中县2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省内江市资中县2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意．）
1. 的倒数是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】的倒数是，
故选：C．
2. 2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】数12910000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
4. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）

A. 三棱柱B. 圆柱C. 三棱锥D. 圆锥
【答案】D
【解析】由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，
根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥．
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，直线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
，，
故选：B．
7. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，
∴，
解得：，
故选：C．
8. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是（ ）
A. 众数是B. 平均数是
C. 样本容量是D. 中位数是
【答案】A
【解析】A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意；
B. 平均数是，故该选项正确，不符合题意；
C. 样本容量是，故该选项正确，不符合题意；
D. 中位数是第5个和第6个数的平均数即，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
9. 已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】，
，
或，
，，
的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，
，
与直线相离，
的半径，即，
故选：A．
10. 如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）

A. 该函数的最大值为7
B. 当时，随的增大而增大
C. 当时，对应的函数值
D. 当和时，对应的函数值相等
【答案】D
【解析】由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；
B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
D．设时，，则，解得，，
当时，；
设时，，则，解得，，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于4，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
11. 在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点B作于点E，
在中，∵，，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵平分的周长，
∴，即，
即，
∵，∴，
∴，，
∴，∴．
故选：C．
12. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】∵抛物线的顶点坐标为，
∴，，，∴，故①正确；
∴，，即，，故②③正确；
设直线，则直线过点，且y随x的增大而减小，如图，
观察图象得：当时，，即，故④正确；
设直线，则直线过原点以及点，且y随x的增大而增大，
∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，画出图象，如图，
观察图象得：抛物线与直线有两个不同的交点，
∴有两个不相等的实数根，
即一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】．
14. 函数中，自变量x的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵有意义，
∴，解得：，
故答案：．
15. 如图，在扇形中，，半径是上一点，连接是上一点，且，连接．若，则的长为_______．
【答案】
【解析】在扇形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
16. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长__________米．（结果精确到米）（参考数据：，，）
【答案】10
【解析】如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
∴斜坡的长约为10米，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）．
17. 计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中，．
解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式．
18. 如图，在中，点，分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴即，
在与中，，
∴；
（2）解：添加（答案不唯一）.
如图所示，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
当时，四边形是平行四边形．
19. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数为____________，请将图形补充完整（2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_________．
（2）若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有多少人？
（3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学到市上参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率．
解：（1）本次抽样调查的总人数为（人．
参加排球项目的学生人数为（人）．
扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为．
（2）(人）．
参加“游泳”的人数大约为420人．
（3）将两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种，
到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
解：（1）∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）试说明，；
（3）若抛物线与轴交于、两点，点、点到原点的距离分别为、，且，求的值．
解：（1）方程有两个不相等的实数根
，
；
（2）由可知，，
，
和同号，
，
，
，
，；
（3）设，，，，
，，
，
解得或，
又，
．
B卷（共60分）
一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
22. 若，则______．
【答案】11
【解析】，
，
，
故答案为：11．
23. 若关于x，y的方程组的解满足，则的值是_______．
【答案】8
【解析】方程组解得，
∵关于x，y的方程组的解满足，
∴，解得：，．
24. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，．若关于x的函数的图象记为C，当时，直线与C有两个公共点，则k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】令，∴，解得，，
∴直线与相交于，，
在同一直角坐标系中，利用与的图象作出图象C，如图，
对于直线，当时，，
∴直线经过定点，
当直线经过时，
则，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∵直线与C有两个公共点，
∴结合图象可得，，
故答案为：.
25. 菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F、P分别是上的动点，点G是中点，在运动过程中始终保持，那么的最小值是_______．
【答案】
【解析】∵菱形中，，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
同理：，
∵点G是中点，在运动过程中始终保持，
∴，
点G的运动轨迹为以O为圆形，1为半径，在内的圆弧上运动，
作点O关于的对称点M，以点M为圆形，1为半径画圆，延长交BC于点I，连接，交于点，交圆M于点，如图所示：
当点B、、三点共线时，取得最小值，
∵对称，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
二、解答题（本大题共3小题，共40分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26. 某商店决定购甲，乙两种商品进行销售．已知每件甲商品比每件乙商品的进价高元．用元购进甲商品的数量和用元购进乙商品的数量相同．
（1）求甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出甲商品的售价与数量的关系如下表，
①当为何值时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进甲，乙两种商品共件，其中甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于件．若乙商品的售价为每件元时，商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为元，直接写出的值．
解：（1）设乙种商品每件的进价是元，则甲种商品每件的进价是元，
根据题意可得，
解得，，
经检验，是原方程的解，
当时，，
答：甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元．
（2）①设利润为元，由表格得，
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
当时，，
∴当时，最大利润为元，
当时，，
∵，，
当时，，
∴当时，最大利润为元，
∵，
∴甲商品每件的售价为元时，所获利润最大，最大利润为元，
答：当时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为元．
②设该商场购进甲种商品件，购进乙种商品件，
∵甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于50件，
∴，
∴，
由甲商品的售价与数量的关系表可得，，
∴，
即甲商品的售价为每件元，
设商场将甲、乙商品均全部售出后获得的利润为元，
根据题意可得，，
∵，
∴，
又∵，
∴当时，随着增大而减小，
∵乙商品的售价为每件元时，商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为元，
∴当时，，
∴，
∴，
答：的值为．
27. 如图，四边形内接于，为的直径，是的切线，过点D的直线l交的延长线于点M，交的延长线于点N．．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当，时，求的长．
（1）证明：连接，

，
，
是的切线，
，
，
，
；
（2）证明：连接，如图，

为的直径，，
，，
，，，
，，
，，；
（3）解：连接交于点，连接，如图，

由（1）（2）得：，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是矩形，，
，，
在中，，
，即，．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，顶点为M，连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接．当点C的坐标为，时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
（1）解：将，代入解析式，
得：，
解得：，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，则，解得：，
直线的解析式为，则，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，解得：，
根据题意得：，，
轴，轴，
，，，
，即，
，，点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，则，解得：，
直线的解析式为，，
，，，
，
，，．每周课外阅读时间（小时）
学生数（人）
售价x（元/件）
销售量（件）