四川省内江市2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．是有理数B．367人中至少有两人的生日在同一天
C．车辆随机到达一个路口遇到红灯D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
3．如图，，若，，则的长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
4．如图楼梯示意图，，，米．则楼梯高度的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
5．要使有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．下列各组图形中，一定相似的有（ ）
①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ）
A．0B．2C．D．2或
8．如图，为方便行人过天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是（ ）米
A．30B．C．40D．
9．如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等腰的一条边长为7．其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是（ ）
A．4B．4或10C．2D．2或4或10
11．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（ ）
A．12B．15C．16D．18
二、填空题（本大题共4小题）
13．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 .
14．如图，是中边的中线，点E，F，G分别是，，的中点，连接、，现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ．
15．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ．
16．如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点、．则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题）
17．（1）计算：．
（2）用配方法解方程：．
18．为了响应市政府号召，某校开展了“创文明城市与我同行”活动周．活动周设置了“A：文明礼仪，：卫生保洁，：交通安全，：生态环境”四个主题，每个学生选一个主题参与，为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
(1)本次随机调查的学生人数是______人；
(2)在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于______度；
(3)小红和小英各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
19．研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据．
数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为．
数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号）
20．如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
21．某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩．
(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率；
(2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
22．如图，在矩形中，，，动点从点出发沿向终点A运动，同时动点从点A出发沿对角线向终点运动．过点作，交于点，动点、的运动速度是每秒2个单位长度，当点运动到点A时，、两点同时停止运动．设运动时间为秒．
(1)当时，求的长；
(2)当为何值时，与相似？
(3)是否存在这样的点和点，使、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据每一选项依次计算判断即可得解．
【详解】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项错误．
故此题答案为C．
2．【答案】B
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、是有理数，是不可能事件，不符合题意；
B、一年最多366天，故最少会有人的生日会与其他人重复，故367人中至少有两人的生日在同一天是必然事件，符合题意；
C、车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意．
故此题答案为B．
3．【答案】C
【分析】由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故此题答案为C．
4．【答案】A
【分析】通过解直角三角形可求解的长．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，米，
∴米，
故此题答案为A．
5．【答案】C
【分析】由题意知，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得，且，
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】此题可根据相似多边形的判定进行排除选项．
【详解】解：①两个矩形不一定相似，因为有可能对应边不成比例；
②两个正方形一定相似，因为正方形的四个角为直角，四条边都是相等的；
③两个等腰三角形不一定相似，有可能对应的顶角不相等；
④两个等边三角形一定相似，因为等边三角形的三个角都相等，三条边也相等；
⑤有一个角为的两个菱形一定相似，因为其中对应角相等，且菱形的四条边都相等；
所以综上所述：一定相似的有②④⑤，共3个；
故此题答案为C．
7．【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，将代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合即可得出结论．
【详解】解：∵方程为一元二次方程，
∴，
∴，
将代入，得：，
解得，（不合题意，舍去）．
故此题答案为C．
8．【答案】B
【分析】根据坡度的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，，米，坡度，
∴，即，
∴（米），
故此题答案为B．
9．【答案】A
【分析】根据各边之间的关系，可得出，结合矩形的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：修建所用木栏总长为，设长为，则，
∴，即，
故此题答案为A．
10．【答案】A
【分析】分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．
【详解】解：①当7为底时，由题意得，，则，解得，
此时一元二次方程为，解得，因为，舍去；
②当7为腰时，将代入得，解得或，
当时，得方程为，∴，得或，
三边长为7、7、15，因为 (舍去)，
当时，得方程为，∴，得或，
三边长为3、7、7，可以构成三角形，
故m的值为4，
故此题答案为A．
11．【答案】D
【分析】通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，
设与直线l交于点C，
∵，
∴，
∵函数的图象为直线，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∵将向右平移2个单位得到点，
∴，
同理可得，
∴，，
，
以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，，
∵，
∴，即．
故此题答案为D．
12．【答案】B
【分析】过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，先有，，，得到，再证明，得到，即，即可得到，当是与交点时，最小，最后证明四边形是矩形，得到，即可求解．
【详解】解：过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当是与交点时，最小，
故此题答案为B．
13．【答案】2
【分析】根据最简二次根式的性质即可求解.
【详解】依题意得2a+1=5,
解得a=2.
14．【答案】/0.375
【分析】先根据三角形的中线性质得到，，再根据三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质得到，进而求得，利用几何概率公式求解即可．
【详解】解：∵是中边的中线，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∵点E，F是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴针尖落在阴影区域的概率是．
15．【答案】2030
【分析】根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，，
∴，可以看作方程的两个根，
∴，，，
∴
．
16．【答案】①③④
【分析】①求出，根据相似三角形的判定推出即可；
②求出，得出比例式，把代入，即可求出答案；
③通过等积式倒推可知，证明即可；
④证明，则问题可证．
【详解】解：∵的同侧作等腰和等腰，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，故①正确；
由已知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
即，故②错误；
∵，
∴，
∵，
，
，
，故③正确；
由，且，
，
，
∵，
，
，即，故④正确；
即正确的为：①③④
17．【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）根据算术平方根、绝对值及特殊三角函数值可进行求解；
（2）利用配方法可进行求解方程．
【详解】解：（1）原式
；
（2）移项，得
配方，得
即
开平方，得
∴．
18．【答案】(1)60
(2)108
(3)小红和小英恰好选中同一个主题活动的概率为
【分析】（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；
（2）先根据各主题人数之和等于总人数求出参与C主题人数，再用乘以主题人数所占比例即可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出结果．
【详解】（1）解：本次随机调查的学生人数是（人）；
（2）解：∵主题人数为（人），
∴扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于
（3）解：画树状图如图所示：
共有16个等可能的结果，小红和小英恰好选中同一个主题活动的结果有4个，
∴小红和小英恰好选中同一个主题活动的概率为．
19．【答案】
【分析】首先过点作于点，于点，构造矩形，根据、斜坡的斜面坡度，可以求出、的长度，根据在点处测得塔顶的仰角为，可以求出的长度，就是双塔的高度．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
可得四边形为矩形，
，．
斜坡的斜面坡度，
，
，
，
又，
，，
，
，
在中，
，，
，
．
答：双塔的高度是．
20．【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）由，，求得，，由相似三角形的性质得，求得．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是6．
21．【答案】(1)该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为
(2)售价应降低6元
【分析】（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，利用该村民2024年种植橙子的亩数=该村民2022年种植橙子的亩数该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：
，
解得：（负根舍去），
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为；
（2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
22．【答案】(1)
(2)当时，与相似
(3)存在，当t的值为或或时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】（1）由题意易得，则有，t的取值范围为，根据矩形的性质可得，，，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解；
（2）由（1）可得，然后由题意可分当时，则有，当时，则有，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（3）分三种情况讨论，一是；二是；三是；然后分别列出相关方程求出此时t的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
由题意得：，则有，t的取值范围为，
∴当时，则有，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）可知：，，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当时，则有，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，则有，此时，
∵，
∴点重合，则，
∴，与相矛盾，故此种情况不成立；
综上所述：当时，与相似；
（3）解：存在，
当时，如图1，作于点H，则，
∵，
∴，
∴，
由得，
解得；
当时，如图2，
由（2）可知：，，
∴，
∴，
解得；
当时，如图3，则，
∵，
∴，
∴，
由得，
解得，
综上所述，t的值为或或．