宁夏2023届高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

宁夏2023届高三第三次模拟考试数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是

A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状一定是（    ）

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．斜三角形

6．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（    ）

A． B． C． D．

7．已知实数、满足约束条件，其中，若目标函数的最大值为，则（    ）

A． B．或 C．或 D．

8．函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

9．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是（    ）

A． B．

C． D．

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（    ）

A． B． C． D．1

11．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时，_____．

14．已知中，内角的对边分别为，且，则___________.

15．已知在锐角三角形ABC中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为_________

16．如图，在直棱柱中，各棱长均为，，则下列说法正确的是________

（1）三棱锥外接球的表面积为

（2）异面直线与所成角的余弦值为

（3）当点在棱上运动时，最小值为

（4）是平面上一动点，若到直线与的距离相等，则的轨迹为抛物线

三、解答题

17．假设关于某设备的使用年限(单位：年)和支出的维修费用(单位：万元)，有如下表的统计资料：

若由资料知对呈现线性相关关系，试求：

（1）线性回归方程．

（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

（3）得到（2）中的维修费用是实际支出的吗？请用必要的文字说明．

18．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，

(1)求证：平面ACF⊥平面BDF；

(2)若∠CBA＝60°，求三棱锥的体积，

19．已知数列的前n项和为，．

（1）求证：是等比数列；

（2）证明：．

20．已知动点到直线的距离比到点的距离大.

（1）求动点所在的曲线的方程；

（2）已知点，､是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

21．设函数

（1）当a＝b＝1时，求函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程；

（2）当b＝1时，若存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，求实数a的最小值．

22．在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.

（2）设直线与曲线的两个交点为求的值.

23．已知函数．

(1)当时，解关于的不等式；

(2)当时，的最小值为，且正数满足．求的最小值．

参考答案：

1．D

【分析】分别解分式不等式与二次不等式得到集合后求交集运算.

【详解】由得 且，解得，故；

由得，故.

综上得，.

故选：D.

2．D

【分析】根据复数的乘除运算以及复数与点的一一对应关系即可求解.

【详解】因为，

对应的点为位于第四象限，

故选:D.

3．C

【详解】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C

考点：本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.

4．D

【解析】先根据题意，由同角三角函数基本关系，求出，，再由，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.

【详解】解：因为，所以，

又，所以，；

所以

.

故选：D.

5．C

【分析】利用向量的加法和减法可得，，根据向量加法的平行四边形法则结合已知，即可得出结论.

【详解】解：设点为的中点，连接，

则，

则，

所以，

又因点为的中点，

所以三角形ABC为等腰三角形.

故选：C.

6．B

【分析】理解程序框图功能后由茎叶图数据求解

【详解】由题意得为成绩大于等于80的学生人数，为成绩大于等于60且小于80的学生人数，

再由茎叶图数据得

故选：B

7．A

【分析】本题首先可根据约束条件绘出可行域，然后根据目标函数的最大值为得出，最后通过计算即可得出结果.

【详解】因为实数、满足约束条件，

所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，

其中、，，

因为目标函数的几何意义是可行域内的点与所连直线的斜率，

所以目标函数的最大值为，即，

整理得，解得或（舍去），

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据目标函数在可行域内取得的最大值求参数，能够画出可行域以及明确目标函数的几何意义是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.

8．C

【分析】根据分段函数和正弦函数余弦函数的单调性即可求解.

【详解】函数，

当时，函数的值域为，

当时，函数的值域为，

故函数的值域为．

故选:．

9．A

【分析】根据三类函数的增长快慢判断即可

【详解】由于指数函数的底数大于1时，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数和对数函数的增长速度快，

所以是更有前途的生意，

故选：A．

10．A

【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角，由此可求.

【详解】因为，又，

所以，

所以，又，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

所以，

故选：A.

11．B

【分析】利用结论建立不等式即可求解.

【详解】根据题意作图如下：

由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，

要满足椭圆C上存在点（）使得，则，

∴，即：，整理得：，

又，∴得到：，∴，

∴椭圆离心率的取值范围为，

故选:B．

12．C

【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.

【详解】解：设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故，

所以，又，

所以，

所以.

故选：C．

13．9

【分析】由，，可得，，即可得出取最大值时的值.

【详解】解：

，，

∴前项和取最大值时的值为9.

故答案为：9.

14．(或)

【解析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为，求角的值.

【详解】根据余弦定理可知，

所以原式，变形为，

根据正弦定理边角互化，可知，

又因为，

则原式变形整理为,

即，因为，

所以（或）

故答案为（或）

【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．

15．

【解析】由已知结合正弦定理可得，然后结合余弦定理，

，令，代换后结合余弦的性质即可求解.

【详解】因为，

所以，

由余弦定理可得：，

令，则，

因此，

所以，

因为为锐角，，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：首先利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理并配方可得

关键是令，，将、代换掉，结合余弦的性质即可求得范围.

16．（1）（3）（4）

【分析】利用正弦定理可求得外接圆半径，从而确定三棱锥外接球半径，代入球的表面积公式可确定（1）正确；根据可知所求角为，利用余弦定理可求得结果，知（2）错误；将四边形与沿着棱展开，可知所求距离之和的最小值即为，由此可知（3）正确；根据可知为点到直线的距离，由抛物线定义可知（4）正确.

【详解】对于（1），，，是边长为的正三角形，

的外接圆半径

三棱锥外接球半径，

三棱锥外接球表面积，（1）正确；

对于（2），连接，

，，四边形为平行四边形，，

异面直线与所成角即为直线与所成角，即，

，，

，

即异面直线与所成角的余弦值为，（2）错误；

对于（3），将四边形与沿着棱展开得四边形，

则的最小值即为，（3）正确；

对于（4），平面，平面，，则即为点到直线的距离，

点到直线与的距离相等，点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线定义，则的轨迹为抛物线，（4）正确.

故答案为：（1）（3）（4）.

【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的外接球问题、异面直线所成角、最短距离、动点轨迹的求解问题；求解最短距离问题的基本思路是能够利用展开图，将问题转化为平面上两点连线距离的求解问题.

17．（1）；（2）（万元）；（3）不是实际支出，理由见解析.

【分析】（1）计算，的值，代入公式求，即可求解；

（2）将代入回归直线即可求解；

（3）根据回归直线不是真实直线可得答案.

【详解】（1），，

所以，

，

所以线性回归方程为；

（2）当时，（万元）；

（3）因为回归直线并不是真实的直线，

所以将代入所求的维修费用不是实际支出，而是实际支出的估计值.

18．(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）易得AC⊥BD，由线面垂直的性质可得FD⊥AC，再根据线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDF，再根据面面垂直的判定定理即可得证；

（2）取BC的中点O，连接EO，OD，OA，根据面面垂直的性质可得EO⊥平面ABCD，平面BCE，从而可得EO∥FD，则有，从而可得出答案.

(1)

证明：在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∵FD⊥平面ABCD，∴FD⊥AC，

又∵BD∩FD＝D，∴AC⊥平面BDF，

而AC⊂平面ACF，

∴平面ACF⊥平面BDF；

(2)

解：取BC的中点O，连接EO，OD，OA，

∵△BCE为正三角形，∴EO⊥BC，

∵∠CBA＝60°，∴，

∴，

∵平面BCE⊥平面ABCD且交线为BC，

平面BCE，平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，平面BCE，

∵FD⊥平面ABCD，

∴EO∥FD，

又平面BCE，平面BCE，

∴FD∥平面BCE，

∴，

∵

∴.

19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）由可得，整理可得．因此为等比数列．

（2）由（1）可得，进而可得，代入即可得正.

【详解】解：（1）由可得，

则，由，则，

即．因此为以为首项，以为公比的等比数列．

（2）由，因此，则，

因此，当时，，

当时，满足，

因此

．

【点睛】思路点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.

20．（1）；（2）直线过定点，证明见解析.

【解析】（1）由题意可得动点到直线的距离等于到点的距离，轨迹抛物线定义可得答案；

（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，写出、的方程，分别与抛物线方程联立，求得两点坐标，得到直线的方程，由直线系方程可得答案.

【详解】（1）设，动点到直线的距离比到点的距离大

即动点到直线的距离等于到点的距离，

由抛物线定义可得曲线的方程为.

（2）证明：

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

所以直线的方程为，由（1）抛物线方程为，所以

，整理得，解得，

直线的方程为，与抛物线联立

，整理得，解得,

所以，

所以直线的方程为，整理得

，所以直线过定点.

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，关键点是设出直线、的斜率求得它们的方程分别与抛物线方程联立后，可得直线的方程，考查学生的分析问题、解决问题和运算求解能力.

21．（1）3x+4y﹣e2＝0（2）

【分析】（1）求，即可求解；

（2）存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，转化为，通过配方法求出，对分类讨论，确定的单调性或求出的极小值，进而求出的最小值，即可求解.

【详解】（1）当a＝b＝1时，f（x），，

，f'（e2），

故函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2＝0；

（2）当b＝1时，f（x），

，

设，

当x∈[e，e2]时，，g（x），

故存在，使成立，

只需x∈[e，e2]，即可，下面求f（x）的最小值，

由于，

当a时，f'（x）≤0，f（x）在[e，e2]递减，

，得；

当时，x∈[e，e2]，

由于，

若﹣a≥0，即f'（x）≥0，f（x）递增，

，故不成立；

若﹣a＜0，即0＜a，根据复合函数的单调性，

f'（x）在[e，e2]单调递增，存在唯一零点m∈（e，e2），

f'（m）＝0，使得f（x）在[e，m]，f'（x）＜0，f（x）递减；

f（x）在（m，e2]，f'（x）＞0，f（x）递增；

故f（x），m∈（e，e2），

若成立，即成立，

设，x∈（e，e2），

递减，

所以，

所以不成立；

综上，，

故a的最小值为．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、切线，考查了存在性成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

22．(1)曲线C的普通方程为，

直线l的直角方程为；

(2)

【分析】(1)由曲线C的参数方程消去参数求出C的普通方程，直线l的极坐标方程转化为

，即可求出l的直角坐标方程.

(2)由(1)得将l的直角坐标方程化为直线的参数方程，代入曲线C方程，得到关于t的一元二次方程，解出方程的根，结合参数方程的几何意义化简求值即可.

【详解】(1)因为曲线C的参数方程为为参数，

所以曲线C的普通方程为；

因为直线l的极坐标方程为，

所以，

即，

又，

所以直线l的直角坐标方程为.

(2)由于点在直线l上，直线l的倾斜角为，

设直线l的参数方程为为参数，

代入曲线C，整理得，

设A，B两点所对应的参数分别为，则，

由直线参数方程的几何意义，得.

23．(1)

(2)

【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，解不等式可得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可求得，化简所求式子，利用基本不等式可得结果.

【详解】（1）当时，；

当时，，解得：；

当时，，解集为；

当时，，解得：；

综上所述：不等式的解集为.

（2）当时，（当且仅当时取等号），，即；

（当且仅当时取等号），

即的最小值为.