人教A版数学(选择性必修一讲义)第34讲拓展三：圆锥曲线的方程(弦长问题)(学生版+解析)

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知识点一：弦长公式

（最常用公式，使用频率最高）

知识点二：基本不等式
（当且仅当时等号成立）
二、题型精讲
题型01求椭圆的弦长
【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．

【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．

【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．
【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.
题型02求椭圆的弦长的最值（范围）
【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 .
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为．
(1)求C的方程；
(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的的标准方程；
(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.
【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．
题型03根据椭圆的弦长求参数
【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.
(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；
(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．
【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．
【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标；
(3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程．
【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线，使得，求实数的取值范围.
【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E交于两点，且线段的中点为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程.
题型04求双曲线的弦长
【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．
【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是．
(1)求b的值，并证明：；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求．
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．
题型05根据双曲线的弦长求参数
【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令．
(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率；
(2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程．
【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的渐近线方程是，右顶点是.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是，若，求双曲线的方程.
【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为，
(1)求双曲线C的离心率e
(2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程．
【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程．
【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
题型06求抛物线焦点弦
【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)若直线与交于、两点，求线段的长．
题型07求抛物线中非焦点弦
【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率．
(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．
【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求的方程；
(2)若为直线上的一动点，过作抛物线的切线为切点，直线与交于点，过作的垂线交于点，当最小时.求.
【变式1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求．
【变式2】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知抛物线C：上第一象限的一点到其焦点的距离为2．
(1)求抛物线C的方程和P点坐标；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线过抛物线的焦点，求弦AB的长．
题型08根据抛物线弦长求参数
【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大1.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
【典例2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知O为坐标原点，点和点，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；
(2)若抛物线（）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，，求直线l的方程.
【变式1】（2022春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程.
【变式2】（2022·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．
(1)求证：，，三点的横坐标成等差数列；
(2)已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程．
第09讲 圆锥曲线的方程（弦长问题）
一、知识点归纳
知识点一：弦长公式

（最常用公式，使用频率最高）

知识点二：基本不等式
（当且仅当时等号成立）
二、题型精讲
题型01求椭圆的弦长
【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得焦点，则椭圆的焦点为，
因为椭圆离心率为，
所以，解得，则，
所以椭圆的方程为．
（2）设，
由得，，
易得，则，，，
因为，
所以，解得，
所以
．

【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，由题可得，
则．
整理得，
故曲线C的方程为．
（2）（法一）设，
则两式相减得，则 ，
因为线段MN的中点，所以，所以，
故直线l的方程为，即，
联立方程组，消去y整理得，
，则，
则.

（法二）易知直线斜率存在，设直线方程为，
联立方程组，消去y整理得，
，
则 ,
又，
可求得，即有，
则.
【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，
则，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点，
若点、，则，，此时，不合乎题意，
若点、，同理可得，不合乎题意，
所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
因为，即，所以，，即，
由韦达定理可得，所以，，
，解得，
因此，
.
【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.
【答案】(1)
(2)中点坐标，弦长
【详解】（1）因为椭圆C的焦点为和 ，长轴长为，
所以椭圆的焦点在轴上，.
所以.
所以椭圆C的标准方程.
（2）设，，AB线段的中点为，
由得，
所以，
所以，，
所以弦AB的中点坐标为，
.
题型02求椭圆的弦长的最值（范围）
【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 .
【答案】
【详解】①当直线斜率存在时，
设直线方程为：
联立，
得，
即，
所以，
所以，
令，
则原式，
令，
则原式，
当时取得最大值，
此时，.
②当直线斜率不存在时，
所以的最大值是.
故填：.
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为．
(1)求C的方程；
(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为C的离心率为，所以．
因为C上的点到其焦点的最大距离为，
所以，解得，．
因为，所以，故C的方程为．
（2）当l的斜率不存在时，可得．
当时，可得，，则．
当时，同理可得．
当l的斜率存在时，设．
因为l与圆相切，所以圆心到l的距离为，
即．
联立得．
设，，则，．
．
令，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
因为，所以的最大值为．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的的标准方程；
(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，，
因为直线与椭圆交于，两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，
所以设直线，
联立方程，得，
所以，
，
所以
，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为3.
【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，圆的方程为，的取值范围是
【详解】（1）由题意得：，
故，
双曲线渐的近线方程为，
故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，
因为，解得：，
故，
所以椭圆方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线为，
联立与，得：
，
由得：，
设，
则，
因为，所以，
其中
，
整理得：，
将代入中，解得：，
又，解得：，综上：或，
原点到直线的距离为，
则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，
该圆的半径即为，故圆的方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，
与椭圆的两个交点为，或，，
此时，满足要求，
经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，
综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；
，
将代入上式，
令，则，
因为，则，
所以，
因为，所以，
故当时，取得最大值，最大值为，
又，
当直线的斜率不存在时，此时，
综上：的取值范围为.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，
由题意可得，解得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）解：若直线与轴平行或重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可得，即.
联立消去得，即，
．
设、，则，．
所以，
．
令，则，则，
当且仅当时等号成立，此时，．
故的最大值为．
【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：，， ，则，
∴椭圆的标准方程：；
（2）由题意可知：，
设，则，
∴，
由，当时，，当时，，
∴的取值范围；
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，
动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，
所以椭圆的方程是.
（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为.
设，连接OA，
因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行，
若，则，故，
故直线的方程为：，
整理得到：；
当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，
满足.
故直线的方程为，同理直线的方程为，
又在直线和上，即，
故直线的方程为.
联立，消去得，
设，．
则，
从而
，
又，从而，所以.
题型03根据椭圆的弦长求参数
【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.
(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；
(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.
【答案】(1)动点的轨迹的方程为；讨论过程见解析
(2)或或或
【详解】（1）设，
因为，动点满足：， 分别为直线的斜率，
所以，即，
即动点的轨迹的方程为.
讨论的形状与值的关系如下：
当时，的形状为双曲线；
当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；
当时，的形状为圆；
当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；
（2）当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.
由题意知，直线斜率存在，
联立，则，
，
则，
所以，
所以，
设到直线距离为，直线
则，
所以，平方得，
代入上式得，则，
平方得，即，
所以，得，则，
则，所以，
此时成立，
所以直线的方程为，
即或或或.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意可知，可得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为，
因为直线与圆相切，且该圆的圆心为原点，半径为，

则，得，
联立得，
则，
设、，则，
所以，，
，
因为的取值范围是，即，
整理可得，又因为，所以，，解得，
因此，的取值范围是.
【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：，可得，，
所以椭圆C的方程为：；
（2）设直线的方程为，，，
由，得，
联立，得，
恒成立，
则，
所以，
，

因为的取值范围为，
则，解得，
所以，
，
因为，则，
所以，
所以的取值范围为．
【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标；
(3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）椭圆C：，
，
（2）由（1）可知：，
设，，
，
可得，且，
联立解得：，
所以或或或
（3）设直线l与椭圆的交点分别为,
联立，整理得：，
；
所以弦长，
解得: ，
所以直线的方程：
【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆过点，所以椭圆的焦点坐标为，则，
所以，即椭圆的标准方程为；
（2）易知直线的斜率存在，设：，
，，，，
联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，
则，即，
，，
联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，
则，即，
，，
所以，
，
因为，所以，
即，平方整理得，
因为，所以，设函数，则，
所以函数在上单调递增，
所以，
又，所以，
即的取值范围为.
【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E交于两点，且线段的中点为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）由题意得：，所以，设，
因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，
则，所以.
又A，B两点在椭圆上，则.
两式相减得：，所以，
所以，
又，得，所以，故椭圆方程为；
（2）直线l：与圆相切，
故，即，
联立与得：，
设，则，，
则，
将代入上式得：，解得：，
因为，所以，故，则，
所以直线l的方程为或.
题型04求双曲线的弦长
【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【答案】(1)=1
(2)3
【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有，
又因为离心率为2，
所以有代入中，可得，
∴C的标准方程为：；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：
，
设，则有，
【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，
又双曲线过点，
双曲线的方程为：
（2）设，，联立，化为．
∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为．
∴，（*）
∵，∴．∴，
又，，∴，
把（*）代入上式得，化为．满足．∴．
由弦长公式可得
【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是．
(1)求b的值，并证明：；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【详解】（1）的渐近线方程为，故，
双曲线方程为，在双曲线上，所以，
要证，只需证，由于，若，显然成立，若时，只需要证明，即证，因此只需要证明，由，得，而，故成立，因此
（2）联立直线与双曲线方程，
设,则，所以由弦长公式得：，
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上，
所以，
所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；
（2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在，
设直线：，，
联立，
消去得
则，，解得，
则
题型05根据双曲线的弦长求参数
【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令．
(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率；
(2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）渐近线，，，则，
直线与直线垂直，则，即，即，
解得，（舍去负值）.
（2）直线的法向量为，设直线方程为，
设椭圆方程为，则，，，，
故椭圆方程为，联立方程，即，
，即，
设，，，
，解得.
故直线方程为或.
【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的渐近线方程是，右顶点是.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是，若，求双曲线的方程.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：因为双曲线，故渐近线方程是：，又渐近线方程是，故，即，故，
故，；
（2）解：因为直线的倾斜角为，故直线斜率是1，又直线经过，则直线方程为，设，
由，消去得，
故，解得，又，
则，解得，故，，
故双曲线的方程是.
【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为，
(1)求双曲线C的离心率e
(2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）可设双曲线C的方程为，则其渐近线方程为，
所以，
所以离心率；
（2）设，则由得，
所以，
因为，
所以，得，
故双曲线C的方程为．
【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，
故可设双曲线的方程是，
又已知，
又，，
所以双曲线的方程是；
（2）由题意得直线的方程为，
由得，
由题知得且 ．
设，则，
，
解得或，
，
所以直线的方程为．
【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2，
，，
解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
（2）设,,
联立，，，
，．
，
，解得．
题型06求抛物线焦点弦
【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度．
【答案】(1)；
(2)10.
【详解】（1）因为抛物线过点，则有，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线的焦点，准线方程为，
设点的横坐标分别为，而线段的中点横坐标为4，则有，
因为点是过抛物线焦点的直线与抛物线的两个交点，
因此，
所以弦的长度为10.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：.
（2）由（1）知：抛物线；
直线，
由得：，
设，，则，
，.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知抛物线过点.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程;
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.
【答案】(1)，.
(2)
【详解】（1）抛物线过点，则，
故抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）抛物线的方程为，焦点为，
则直线的方程为，
联立，可得，，
设，则，
由抛物线定义可得，
故.
【变式1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知抛物线的准线的方程为，过点作倾斜角为的直线交该抛物线于两点，．求：
（1）的值；
（2）弦长
【答案】（1）2；（2）8.
【详解】解：（1）由准线的方程为，可知：，即
（2）易得直线，与联立，
消去得，，，，
所以：弦长．
【变式2】（2023秋·湖南怀化·高二统考期末）已知抛物线的准线方程是是抛物线焦点．
(1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：
(2)已知直线过点，斜率为2，且与抛物线相交于两点，求．
【答案】(1)焦点是，抛物线的方程为；
(2)5
【详解】（1）抛物线准线为，因此，所以抛物线的焦点是
故抛物线的方程为
（2）由题意可知直线的方程为，设
联立，整理得
由韦达定理可得，
所以
【变式3】（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与交于、两点，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设抛物线的标准方程为．
因为的顶点在原点，焦点坐标为，所以，则，
故的标准方程为．
（2）解：抛物线的准线方程为．
设、，因为直线过点，
所以、到准线的距离分别为，．
联立可得，则，
所以，，因此，.
题型07求抛物线中非焦点弦
【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率．
(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵抛物线方程为∴其焦点为，抛物线的准线方程为．
设点，故到准线的距离为．
即，∴
因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得．
根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程，化简得．
即，所以，则椭圆E的离心率．
故答案为：
（2）因为椭圆的焦距为2，所以，所以，
所以椭圆方程为．
抛物线的方程为．且，．
因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为，，且．
设点，，联立l与
消去x得：．
所以，．
所以．所以．
故答案为：
【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求的方程；
(2)若为直线上的一动点，过作抛物线的切线为切点，直线与交于点，过作的垂线交于点，当最小时.求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知，，
的方程为.
（2）抛物线的焦点，
设，过点的抛物线的切线方程为：，
消去得：，①
即，②
此时①可化为，解得
设直线，直线，
则为方程②的两根，故
且，可得，令点，
由②知，，故，
则直线方程为：，显然
因为直线与直线垂直，
则直线方程为：，
故，
，当且仅当时，时取等号.此时，.
由（*）得，
【变式1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求．
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）双曲线的左焦点为，故抛物线C的准线方程为，
又因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，设抛物线C的方程为，
所以，解得，
所以拋物线C的方程为；
（2）因为直线MN过点且斜率为1，
所以直线MN的方程为，即，
联立方程，消元整理得，，
设，所以，
所以.
【变式2】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知抛物线C：上第一象限的一点到其焦点的距离为2．
(1)求抛物线C的方程和P点坐标；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线过抛物线的焦点，求弦AB的长．
【答案】(1)，P点坐标为
(2)
【详解】（1）解：由题意得：
设直线的斜率为，则直线的方程为，设，，
由，消去可得，
∴，
记抛物线中，
，∴，解得，
∴直线的方程为或.
【典例2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知O为坐标原点，点和点，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；
(2)若抛物线（）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，，求直线l的方程.
【答案】(1)曲线的方程为，它是焦点为的双曲线的右支.
(2)或．
【详解】（1）解： 动点满足，
点的轨迹曲线为双曲线的一支，由双曲线的定义有，，
，
曲线的方程为；
（2）解：由（1）可知曲线的顶点，
，
，
所以抛物线的方程为．
由题意，直线的倾斜角不能为0，
设直线的方程为，设，，，，
代入到消去得：，
，
，，
，
或，
直线的方程为或．
【变式1】（2022春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）根据抛物线的定义得，解得：，
所以抛物线方程是
（2）抛物线的焦点，
直线的斜率不可能为0，设直线：，
与抛物线方程联立得，
设，则，
，解得：，
所以直线的方程是或.
【变式2】（2022·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．
(1)求证：，，三点的横坐标成等差数列；
(2)已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）证明：由题意设．
由得，得，
所以，．
因此直线的方程为，直线的方程为．
所以，①．②
由①、②得，因此，即．
所以，，三点的横坐标成等差数列；
（2）由（1）知，当时，
将其代入①、②并整理得：，，所以，是方程的两根，
因此，，又，所以．
由弦长公式得．又，
所以或，因此所求抛物线方程为或．