高中1.2.2 空间中的平面与空间向量学案

1.2.2　空间中的平面与空间向量

1．平面的法向量

(1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．

思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？

[提示]　无数个　平行

思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？

[提示]　垂直

(2)平面的法向量的性质

①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．

②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．

③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．

(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．

(4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合．

2．三垂线定理及其逆定理

(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．  (　　)

(2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．  (　　)

(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．

  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

[提示]　(1)×　不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．

(2)×　不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l．

(3)√

2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　)

A．l∥α　　　　　　　　 B．l⊥α

C．l⊂α   D．l与α斜交

B　[∵a＝(1,0,2)，u＝－2(1,0,2)＝－2a，∴u与a平行，∴l⊥α．]

3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系为(　　)

A．平行   B．相交但不垂直

C．垂直   D．不能确定

C　[∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．]

4．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于________．

4　[因为α∥β，∴两平面的法向量平行，∴＝＝，∴k＝4．]

【例1】　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

[解]　∵在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，

∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(1，，0)，

D(0，，0)，P(0,0,1)，E，

＝，＝(1，，0)，

设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，

则取y＝－，得n＝(3，－，3)．

∴平面ACE的一个法向量为n＝(3，－，3)．

利用待定系数法求法向量的解题步骤

1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一个法向量．

[解]　因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，

从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz，

则A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0,1)．

∴＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，

则

即

即因此可取n＝(，1，)．

∴平面PAB的一个法向量为(，1，)．

[探究问题]

1．平面的法向量有何特点？

[提示]　设向量n是平面α的一个法向量．则

(1)n是一个非零向量．

(2)向量n与平面α垂直．

(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．

(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．

2．用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？

[提示]　设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则

【例2】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：

(1)C1M∥平面ADE；

(2)平面ADE⊥平面A1D1F．

[思路探究]　建立空间坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．

[证明]　(1)以D为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1．

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，M，＝(1,0,0)，＝，＝．

设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，

则⇒

令c＝2，得m＝(0，－1,2)，

∵m·＝(0，－1,2)·＝0＋1－1＝0，

∴⊥m．

又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE．

(2)由D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，F，

得＝(1,0,0)，＝，

设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒

令y＝2，则n＝(0,2,1)．

∵m·n＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0－2＋2＝0，

∴m⊥n．∴平面ADE⊥平面A1D1F．

1．(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．

[解]　如本例建系定坐标，D1(0,0,1)，

E，M，

所以＝，即直线D1E的一个方向向量．

设平面EFM的法向量为n＝(x，y，z)，

因为F，所以＝，＝(0，－1,0)，

由即

所以令x＝1，则z＝－2．

所以平面EFM的一个法向量为(1,0，－2)．

2．(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC．

[证明]　如本例解析，E，

N，A(1，0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)．

∴＝，＝(0,1,1)，

＝(－1,1,0)，

∴·＝0，·＝0，

∴⊥，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC．

又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC．

利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．

提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示．

【例3】　如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C．

[证明]　连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD．

又DD1⊥平面ABCD，

∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，

∴BD1⊥AC而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影，

∴BD1⊥AB1，又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C．

利用三垂线定理证明垂直的步骤

(1)找平面(基准面)及平面的垂线．

(2)找射影线(平面上的直线与斜线)．

(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直．

2．在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB．

[证明]　过P作PH⊥平面ABC，连AH延长交BC于E，

连BH并延长交AC于F，PH⊥平面ABC，PA⊥BC，

而PA在面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH，

同理可证BF⊥AC．则H为△ABC的垂心，连CH并延长交AB于G，

于是CG⊥AB，而CH是PC在面ABC的射影，故PC⊥AB．

1．三垂线定理以及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时要分清定理和逆定理的关系

线射垂直线斜垂直

2．利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．

1．若直线l的方向向量a＝(1,2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，则实数k＝(　　)

A．2　　　　B．－10　　　　C．－2　　　　D．10

A　[∵直线l的方向向量a＝(1,2，－1)，

平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α，

∴a∥m，∴＝＝，解得k＝2．]

2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　)

A．4　　　　B．－4  C．5　　　　D．－5

D　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5．]

3．若两个向量＝(1,2,3)，＝(3,2,1)，则平面ABC的一个法向量为(　　)

A．(－1,2，－1)   B．(1,2,1)

C．(1,2，－1)   D．(－1,2,1)

A　[两个向量＝(1,2,3)，＝(3,2,1)，

设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，

则

取x＝－1，得平面ABC的一个法向量为(－1,2，－1)．]

4．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________．

－9　[由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0．∴z＝－9．]

5．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1中点，求证：AB1⊥A1M．

[证明]　连接AC1，∵＝＝，＝＝，

∠ACC1＝∠A1C1M，

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，

∠AC1C＝∠MA1C1，

∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥AC1．

由三垂线定理知，AB1⊥A1M．