第07讲 基本不等式 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第07讲 基本不等式 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共20页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；
2.理解基本不等式的证明过程；
3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式；
4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题.
1 基本不等式
若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.
② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① a+b≥2ab，积定求和；
② ab≤a+b22，和定求积：
③ a2+b2≥a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2)
④ ab≤a2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)
【题型一】对基本不等式的证明
【典题1】 代数法证明：若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
【解析】a+b-2ab=a2+b2-2ab=a-b2≥0，
且当仅当当a=b时，等号成立；
即a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
变式练习
1. 几何法证明：若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
【解析】 如下图，点C在以AB为直径的圆O上，且CD⊥AB，
设AD=a，BD=b，
易证∆ACD~∆BCD，得CD2=AD∙BD=ab，即CD=ab，
又因为CD≤AB2，所以ab≤a+b2，且当AD=BD即a=b时取到等号.
【题型二】对基本不等式的理解
相关知识点讲解
若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.
② 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
【典题1】 (多选)下列各式能用基本不等式直接求得最大(小)值的是( )
A．x+12xB．x2+1+1x2+1C．x+1xD．x1-x
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“a+b2≥aba>0,b>0，当且仅当a=b时等号成立”逐一运算分析判断即可得解.
【详解】解：对于选项A，不满足x>0的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大(小)值，故A错误；
对于选项B，∵x2+1>0，1x2+1>0，∴x2+1+1x2+1≥2x2+1×1x2+1=2，当且仅当x2+1=1x2+1即x=0时等号成立，
所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确；
对于选项C，∵x>0，1x>0，∴x+1x≥2x×1x=2，当且仅当x=1x即x=1时等号成立，
所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确；
对于选项D，当x≤0或x≥1时不满足x和1-x是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大(小)值，故D错误；
故选：BC.
【典题2】下列不等式中等号可以取到的是( )
A．x2+5+1x2+5≥2B．x2+2+1x2+2≥2
C．x2+1x2≥2D．|x|+3+1|x|+3≥2
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为x2+5>0，所以x2+5+1x2+5≥2x2+5⋅1x2+5=2，当且仅当x2+5=1x2+5，即x2=-4，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为x2+2>0，所以x2+2+1x2+2≥2x2+2⋅1x2+2=2，当且仅当x2+2=1x2+2，即x2=-1，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为x2>0，所以x2+1x2≥2x2⋅1x2=2，当且仅当x2=1x2，即x=±1时取等号，故C符合；
对于D，因为x+3>0，所以|x|+3+1|x|+3≥2|x|+3⋅1|x|+3=2，当且仅当x+3=1x+3，即x=-2，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.

变式练习
1.下列条件中能使ba+ab≥2成立的条件是
①ab>0； ②ab0，b>0 ④a0即可，此时ba+ab≥2ba⋅ab=2，当且仅当ba=ab等号成立，若ba0时，x+1x≥2x×1x=2，当且仅当x=1x即x=1时，等号成立；
当x0，
则x+1x=x+1x≥2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，
故x+1x的最小值为2.
故选：CD.

【题型三】基本不等式应用的常见方法
方法1 直接法
【典题1】 当x0符合题意.
所以x+y的最小值为6.
故选：A.
变式练习
1. (2024·重庆·模拟预测)若实数a，b满足ab=2， 则 a2+2b2的最小值为( )
A．2B．22C．4D．42
【答案】D
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】a2+2b2≥22a2b2=22×22=42，
当且仅当a2=2b2时，等号成立.
故选：D.
2.(2024·甘肃定西·一模)x2+7x2+7的最小值为( )
A．27B．37C．47D．57
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意知x≠0，所以x2>0,7x2>0，
所以x2+7x2+7≥2x2⋅7x2+7=37.
当且仅当x2=7x2，即x2=7时，等号成立.
故选：B.
3.已知x>0，则x2-x+4x的最小值为( )
A．5B．3C．-5D．-5或3
【答案】B
【分析】由已知可得x2-x+4x=x+4x-1，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】由x>0，得x2-x+4x=x+4x-1≥2x⋅4x-1=3，
当且仅当x=4x，即x=2时等号成立，所以x2-x+4x的最小值为3．
故选：B.
4.若正数a，b满足ab=2，则a+1b+2的最小值为( )
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】正数a，b满足ab=2，则a+1b+2=ab+2a+b+2=4+2a+b≥4+22ab=8，
当且仅当b=2a=2时取等号，
所以当a=1,b=2时，a+1b+2取得最小值8.
故选：C
5.(2024·全国·模拟预测)若x>0,y>0,3x+2y=1，则8x+4y的最小值为( )
A．2B．22C．32D．42
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】8x+4y=23x+22y≥223x⋅22y=223x+2y=22，
当且仅当23x=22y且3x+2y=1，即x=16,y=14时等号成立，
故选：B.
方法2 凑项法
【典题1】 已知实数x，y满足x>3，且xy+2x-3y=12，则x+y的最小值为( )
A．1+26B．8C．62D．1+23
【答案】A
【分析】由题意得y=12-2xx-3=-2+6x-3，进一步表示出x+y=x-3+6x-3+1，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为x>3，且xy+2x-3y=12，所以y=12-2xx-3=-2+6x-3，
从而x+y=x-2+6x-3=x-3+6x-3+1≥26+1，等号成立当且仅当x=6+3,y=6-2，
所以x+y的最小值为1+26.
故选：A.
变式练习
1. 已知x>-1，则x+2x+1的最小值为( )
A．22B．2C．22-1D．22+1
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为x>-1，所以x+1>0，
所以x+2x+1=x+1+2x+1-1≥2x+1×2x+1-1=22-1，
当且仅当x+1=2x+1，即x=2-1取等号，故C正确.
故选：C.
2.函数y=x2+1x2-5x2>5的最小值为( )
A．2B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由x2>5可得x2-5>0，所以y=x2+1x2-5=x2-5+1x2-5+5≥2x2-5⋅1x2-5+5=7，
当且仅当x2-5=1x2-5，即x=6时等号成立，
故选:D
3.已知00，2x+y=xy，则2x+y的最小值为( )
A．8B．4C．82D．42
【答案】A
【分析】首先由条件可得y=2xx-1>0，再变形2x+y，最后利用基本不等式，即可求解.
【详解】由x>0,y>0，2x+y=xy，可得y=2xx-1>0，则x>1
则2x+y=2x+2xx-1=2x2x-1=2x-12+4x-1+2x-1
=2x-1+2x-1+4≥22x-1⋅2x-1+4=8，
当2x-1=2x-1，得x=2时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.
故选：A
5.已知x>1，则2x+2x-1的最小值是 .
【答案】6
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为2x+2x-1=2x-1+2x-1+2≥24+2=6，
当且仅当2x-1=2x-1，即x=2时，等号成立.
所以2x+2x-1的最小值是6.
故答案为：6.
方法3 巧“1”法
【典题1】 若x>0，y>0且x+2y=1，则1x+xy的最小值是( )
A．1+22B．32+2C．2D．32
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为x>0，y>0且x+2y=1，
所以1x+xy=x+2yx+xy=1+2yx+xy≥1+22yx×xy=1+22，
当且仅当x=2-1,y=1-22时等号成立，
故选：A.
【典题2】若00，2a+b-3=0，则12a+1+1b的最小值为( )
A．2B．1C．32D．34
【答案】B
【分析】由题意可得2a+14+b4=1，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为2a+b-3=0，可得2a+14+b4=1，
且a>0，b>0，可知2a+1>0，
则12a+1+1b=2a+14+b412a+1+1b=12+b42a+1+2a+14b≥12+2b42a+1⋅2a+14b=1，
当且仅当b42a+1=2a+14b，即a=12,b=2时，等号成立，
所以12a+1+1b的最小值为1.
故选：B.
【题型四】利用基本不等式处理恒成立问题
【典题1】 若正实数x、y满足(x-1)(y-4)=4，且x+y4≥a2-3a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a|-10，不等式1x+1y+mx+y≥0恒成立，
即m≥-1x+1y(x+y)恒成立，∴只需m≥-1x+1y(x+y)max,
∵1x+1y(x+y)=2+xy+yx≥2+2xy⋅yx=4，当且仅当x=y时取等号.
所以-1x+1y(x+y)≤-4，
∴m≥-4，∴m的最小值为-4，
故选：D
变式练习
1. 当x>1时，不等式x+1x-1≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(-∞,2]B．[2,+∞)C．[3,+∞)D．(-∞,3]
【答案】D
【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.
【详解】当x>1时，x-1>0，故x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2x-11x-1+1=3，当且仅当x-1=1x-1，即x=2时等号成立，
所以不等式x+1x-1≥a恒成立，故a≤x+1x-1min，故a≤3，
故选：D
2.已知正数x、y满足x-1y-2=2，不等式3x+2y>m恒成立．则实数m的取值范围是( )
A．-∞,4+62B．6+42,+∞
C．-∞,7+43D．8+43,+∞
【答案】C
【分析】由不等式3x+2y>m恒成立，故只需3x+2ymin>m，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出3x+2y的最小值即可.
【详解】因为x-1y-2=2,x>0,y>0，
所以xy=2x+y，即1x+2y=1，
所以由基本不等式可得3x+2y=3x+2y1x+2y=7+2yx+6xy≥7+22yx⋅6xy=7+43，
等号成立当且仅当2yx=6xyx>0,y>0x-1y-2=2即x=1+233y=2+3，
综上所述，3x+2y的最小值为7+43；
因为不等式3x+2y>m恒成立，
所以实数m的取值范围是-∞,7+43.
故选：C.
3.若不等式a2+b22+3≥xa+b对任意正数a,b恒成立，则实数x的最大值为( )
A．2B．2C．3D．1
【答案】C
【分析】将不等式a2+b22+3≥xa+b对任意正数a,b恒成立，化为x≤a2+b2+62a+b恒成立，利用基本不等式求得a2+b2+62a+b的最小值，即可求得答案.
【详解】由题意不等式a2+b22+3≥xa+b对任意正数a,b恒成立，
即x≤a2+b2+62a+b恒成立，
又a2+b2≥2ab,∴a2+b2≥(a+b)22，当且仅当a=b时，等号成立，
则a2+b2+62a+b≥(a+b)22+62a+b=a+b4+3a+b≥2a+b4⋅3a+b=3，
当且仅当a=b=3时，等号成立，
故x≤3，即实数x的最大值为3，
故选：C
4.(2023·广东湛江·二模)当x，y∈0,+∞时，4x4+17x2y+4y2x4+2x2y+y2254，即m>25．
故选：A.


【A组---基础题】
1.已知函数fx=3-x-2x，则当x0，所以3x+2y2x+2y=3x+2xx-22x+2xx-2=3x-42x-2
=3x-2+22x-2=9x-2+4x-2+12≥29x-2×4x-2+12=24，
当且仅当9x-2=4x-2，即x=83，y=4时，等号成立．
所以λ≤24．
解法二：由2x+1y=1，得x+2y=xy>0，又λx+2y≤3x+2y2恒成立，
所以λ≤3x+2y2x+2y的最小值，因为3x+2y2x+2y=3x+2y2xy=9x2+12xy+4y2xy
=9xy+4yx+12≥29xy⋅4yx+12=24，
当且仅当x+2y=xy>0，且9xy=4yx，即x=83，y=4时等号成立．所以λ≤24．
8.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m2≤x≤6．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a1+xx元a>5若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【答案】(1)长度为4米时，报价最低
(2)0,12
【分析】(1)首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；
(2)由(1)可知，转化为不等式900x+16x+7200>900a1+xx恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题.
【详解】(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)，
则屋子前面新建墙体长为12xm，
则y=3150×2x+400×12x+7200
即y=900x+16x+7200≥900×2x⋅16x+7200=14400，
当且仅当x=16x，即x=4时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元；
(2)由题意可知，当900x+16x+7200>900a1+xx对任意的x∈2,6恒成立，
即x+42x>a1+xx，所以x+42x+1>a，即a