小学六年级小升初数学专题复习（13）三角形的特征与分类（典例精析+拔高训练）

这是一份小学六年级小升初数学专题复习（13）三角形的特征与分类（典例精析+拔高训练），共17页。试卷主要包含了三角形的特性，三角形的分类，等腰三角形与等边三角形等内容，欢迎下载使用。
¤ 知识归纳总结
一、三角形的特性
知识归纳
1．三角形具有稳定性．
2．三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
常考题型
例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（ ）
A、 B、 C、
分析：紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案．
解：A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形，
B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形，
C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形，
故选：C．
点评：此题是考查了三角形三边关系的应用．
例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（ ）
A、 B、 C、
分析：不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．
解：根据三角形的特性：三角形具有稳定性；
故选：C．
点评：此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．
二、三角形的分类
知识归纳
1．按角分
判定法一：
锐角三角形：三个角都小于90°．
直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．
钝角三角形：有一个角大于90°．
判定法二：
锐角三角形：最大角小于90°．
直角三角形：最大角等于90°．
钝角三角形：最大角大于90°．
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．
2．按边分
不等边三角形；
等腰三角形；
等边三角形．
常考题型
例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
分析：判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．
解：最大角：180×=80（度），
因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；
故选：A．
点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
三、等腰三角形与等边三角形
知识归纳
1．等腰三角形的定义和性质：
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．
2．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
（1）三边长度相等；
（2）三个内角度数均为60度；
（3）一个内角为60度的等腰三角形．
常考题型
例1：等边三角形是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形
分析：等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3=60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
解：因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
故选：B．
点评：解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可．
例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
分析：根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断．
解：因为一个三角形中有两个角相等，
所以这个三角形中有两条边相等；
那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：C．
点评：此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质．
¤ 拔高训练备考
一．选择题（共6小题）
1．一根铁丝长18厘米，用这跟铁丝围成一个等腰三角形，并使围成的三角形的边长是整厘米数，能围成（ ）种不同的等腰三角形？
A．3B．4C．5D．6
2．一个等腰三角形的顶角是90°．这个三角形是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．一个等腰三角形，其中有一条边长3厘米，一个角是30度．这样的三角形一共有（ ）种不同的情况．
A．2B．3C．4D．无数种
4．下列各种情况不可能的是（ ）
A．既是锐角三角形又是等腰三角形
B．既是直角三角形又是等腰三角形
C．既是钝角三角形又是等边三角形
D．既是锐角三角形又是等边三角形
5．如图被信封遮住的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．等腰三角C．直角三角形D．钝角三角形
6．如图，在池塘的一侧选取一个点O，测得OA＝7米，OB＝15米．那么A、B两点之间的距离可能是（ ）
A．7米B．15米C．23米D．8米
二．填空题（共6小题）
7．用一根10m长的钢管做一个三角形的支架，如果其中一边长2m，另外两条边分别长 m和 m．（长度取整米数．）
8．用3根小棒来拼三角形，已知两根小棒的长度分别为10厘米和5厘米，那么第三根小棒的长度可能是 厘米．
9．一个三角形两内角和是70°，则三角形是 三角形．
10．钝角三角形里有 锐角．
11．一个等腰三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，这个三角形的周长是 cm。
12．三个角都是60°的三角形，既是 三角形，又是 三角形．
三．判断题（共5小题）
13．等腰直角三角形，一个顶角与一个底角的度数比是2：1．
14．一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形． ．
15．在一个三角形的三个角中，如果只有两个角是锐角，那么这个三角形一定不是直角三角形。
16．钝角三角形的两个锐角的和小于90°． ．
17．三条边分别是4厘米、4厘米、8厘米的三角形是一个等腰三角形． ．
四．操作题（共2小题）
18．在方格图上画出一个角是钝角和一个角是直角的等腰三角形．
19．连一连．
五．应用题（共6小题）
20．有一根铁丝长1.9dm，把它做成一个等腰三角形，腰的长度为0.6dm。那么它的底边长是多少分米？（接头处忽略不计）
21．小张用一根铁丝围成一个边长9cm的正方形铁圈，现在要把这个铁圈拆开围成一个底为16cm的等腰三角形，这个等腰三角形的腰是多少厘米？
22．小明用一根2米长的铁丝围了一个三角形，量得三角形的一条边长是米，另一条边长米，那么第三条边长多少米？这是一个什么三角形？
23．A、B是一条直线，可向两端延伸，OC是线段，长度确定，以O、C为顶点，在AB上找一点D，使得△OCD是等腰三角形，这样的D点有几个？
24．爸爸准备用一根长竹条给淘淘做一个等腰三角形的风筝，如果爸爸把这根长竹条截成长分别是65cm、65cm和130cm的3根短竹条，那么：
（1）把这3根短竹条首尾相接做风筝框架，这个风筝能做成吗？为什么？
（2）如果做的风筝一条腰为70cm，那么底应为多少厘米？
25．一根铁丝可以围成一个边长为6厘米的正方形．现在把它剪成3段（都是整厘米数），围成一个三角形．
（1）如果围成等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？
（2）如果围成等腰三角形，那么腰和底各是多少厘米？（列表解答）
（3）想一想，能围成多少个不同的三角形？
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】要求一共有多少种不同围法，需先求符合条件的腰和底有多少种，依据三角形的周长公式等腰三角形的“周长＝腰×2+底”以及“底和腰都是整厘米数”就可以进行计算。
【解答】解：周长＝腰×2+底
18÷3＝6（厘米）
则等腰三角形可以是以下几种：
①5厘米，5厘米，8厘米；
②6厘米，6厘米，6厘米；
③7厘米，7厘米，4厘米；
④8厘米，8厘米，2厘米；
答：能围成4种不同的等腰三角形。
故选：B。
【点评】此题主要依据三角形的周长的意义，以及三角形的三条边的关系，解决问题。
2．【分析】根据三角形的分类，有一个角是直角的三角形是直角三角形，它又是一个等腰三角形，因此它是一个等腰直角三角形，据此解答即可．
【解答】解：根据三角形的分类，有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】解答本题时应用了三角形分类和等腰三角形、直角三角形的定义及性质．要综合应用学过的知识解答问题．
3．【分析】根据等腰三角形的性质和一个角是30度，可得该三角形是钝角三角形或锐角三角形，再分边长3厘米是底边和腰长即可求解．
【解答】解：因为一个等腰三角形，其中有一条边长3厘米，一个角是30度，180﹣30﹣30＝120度，（180﹣30）÷1＝75度，
所以该三角形是钝角三角形或锐角三角形，
所以这样的三角形边长3厘米是底边，这样的三角形边长3厘米是腰长，一共有2+2＝4种不同的情况．
故选：C．
【点评】考查了等腰三角形，本题关键是熟悉等腰三角形两底角相等，两腰相等的性质．
4．【分析】根据角对三角形分类的方法：锐角三角形：三个角都小于90°；直角三角形：其中一个角必须等于90°；钝角三角形：有一个角大于90°；据此一一判断即可。
【解答】解：A.内角为50°，50°，80°的三角形是锐角三角形又是等腰三角形；说法正确，
B.内角为45°，45°，90°的三角形是直角三角形又是等腰三角形；说法正确，
C.因为三角形的内角和是180度，等边三角形三个角相等，每个角为60°，所以等边三角形一定是锐角三角形；即钝角三角形不可能是等边三角形；说法错误；
D.因为三角形的内角和是180度，等边三角形三个角相等，每个角为60°，所以等边三角形一定是锐角三角形；说法正确。
故选：C。
【点评】本题考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义
5．【分析】根据三角形的分类，如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形，据此解答即可。
【解答】解：因为这个三角形有一个角是直角，
所以这是一个直角三角形。
故选：C。
【点评】根据三角形的分类，解答此题即可。
6．【分析】连接AB，根据三角形的性质，在三角形中，任意两边之和等于第三边，任意两边之差小于第三边．据此解答即可．
【解答】解：如图：连接AB，
7+15＝22（米），
23米＞22米，
答：A、B两点之间的距离可能是15米．
故选：B．
【点评】此题解答关键是明确：在三角形中，任意两边之和等于第三边，任意两边之差小于第三边．
二．填空题（共6小题）
7．【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行分析、解答即可．
【解答】解：因为周长是10米，其中一条边长2，则另外两条边长10﹣2＝8米，所以另外两条边可以是4米和4米；
故答案为：4，4．
【点评】此题应根据三角形的特性进行分析解答．
8．【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可．
【解答】解：10﹣5＜第三边＜10+5，
所以：5＜第三边＜15，
即第三边的取值在5～15厘米（不包括5厘米和15厘米），
因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒可能是：6、7、8、9、10、11、12、13、14厘米，
故答案为：6、7、8、9、10、11、12、13、14．
【点评】此题关键是根据三角形的特性进行分析、解答．
9．【分析】先根据三角形的内角和是180度，用180度﹣70度＝110度，就是第三个角的度数，然后再依据钝角三角形的意义可知：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此即可判断．
【解答】解：180度﹣70度＝110度，
就是第三个角的度数，因为110度的角是一个钝角，
所以这个三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【点评】此题主要依据钝角三角形的意义以及三角形的内角和定理解决问题．
10．【分析】依据三角形的内角和是180°，利用假设法，假设在一个钝三角形中有1个锐角，则另外两个角都为钝角，或一个钝角、一个直角，这样得出这个三角形的内角和大于180°，所以假设不成立，据此即可判断．
【解答】解：假设在一个钝三角形中有1个锐角，则另外两个角都为钝角，或一个钝角、一个直角，这样得出这个三角形的内角和大于180°，这样与三角形的内角和是180度相矛盾，所以假设不成立，
即任何一个钝角三角形的三个内角中一定有两个锐角．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查三角形的内角和是180°，利用假设法即可轻松作答．
11．【分析】三角形任意两边之和大于第三边，因此这个三角形另外一条腰长度是7cm，这样把三边长度相加即可。
【解答】解：3+7+7＝17（cm）
所以这个三角形的周长是17厘米。
故答案为：17。
【点评】本题考查了三角形三边的关系，以及三角形周长的求解方法。
12．【分析】三个角都是60°，那么它是等边三角形，因为三个角都是锐角，所以又是锐角三角形；据此解答即可．
【解答】解：三个角都是60°的三角形，既是等边三角形，又是锐角三角形；
故答案为：等边，锐角．
【点评】此题考查了等边三角形的含义及锐角三角形的含义，注意知识的灵活运用．
三．判断题（共5小题）
13．【分析】因为是等腰直角三角形，所以直角是顶角，因为两个底角相等，则底角是：（180﹣90）÷2＝45度，进而求出一个顶角与一个底角的度数比是2：1；据此解答．
【解答】解：因为是等腰直角三角形，所以直角是顶角，因为两个底角相等，
则底角是：（180﹣90）÷2＝45度，
所以一个顶角与一个底角的度数比是：90：45＝2：1；
故答案为：√
【点评】解答此题的关键是：明确等腰直角三角形中两底角相等，得出顶角是90度，是解答此题的关键．
14．【分析】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两个底角相等，如果这个60度的角是底角，则另一个底角也是60度，三角形内角和是180度，所以第三个角也是180﹣60﹣60＝60度，即三个角相等，即为等边三角形；
如果这个角是顶角，则另外两个底角是（180﹣60）÷2＝60度，即三个角相等，也是等边三角形．
所以等腰三角形中有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形．
【解答】解：如果这个60度的角是底角，则另一个底角也是60度，
所以第三个角也是180﹣60﹣60＝60度，
即三个角相等，即为等边三角形；
如果这个角是顶角，则另外两个底角是（180﹣60）÷2＝60度，
即三个角相等，也是等边三角形．
所以等腰三角形中有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形是正确的．
故答案为：√．
【点评】等腰三角形两腰相等，底角相等；等边三角形等边等角．
15．【分析】根据三角形的内角和是180°可知，如果一个三角形只有两个内角是锐角，则另外一个角可以是直角或钝角，则这个三角形可能是直角三角形，也可能是钝角三角形；解答即可。
【解答】解：由三角形的内角和是180°可知，如果一个三角形只有两个内角是锐角，则另外一个角可以是直角，也可以是钝角，
则这个三角形一定是直角或钝角三角形。所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查三角形的内角和及三角形的分类。
16．【分析】因为钝角大于90度而小于180度，而三角形的内角和是180度，所以其中一个钝角已经大于90度，所以剩下的两个角的和是小于90度的．据此解答即可．
【解答】解：因为三角形的内角和是180度，其中已经有一个角是大于90度的，
所以剩下两个锐角的和小于90度，故原题说法正确；
故答案为：√．
【点评】此题主要考查利用三角形的内角和是180度灵活解决问题．
17．【分析】因为4厘米+4厘米＝8厘米，不符合两边之和大于第三边，则不能构成一个三角形，更谈不上是否是等腰三角形．
【解答】解：因为4厘米+4厘米＝8厘米，不符合两边之和大于第三边，
所以这三条线段组不成一个三角形；
故答案为：×．
【点评】判断三条线段能否组成等腰三角形，不能只看数值，关键是看是否满足两边之和大于第三边．
四．操作题（共2小题）
18．【分析】依据一个角是钝角的等腰三角形的特点：最大角大于90°，两底角相等，即可画出；
再据一个角是直角的等腰三角形的特点：最大角等于90°，两底角相等，即可画出．
【解答】解：根据题干分析画图如下：
【点评】此题考查了三角形按角分类的方法，应灵活理解并掌握角的概念．
19．【分析】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有两个边相等的三角形叫等腰三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形，进行解答即可．
【解答】解：
【点评】解答此题应根据三角形的分类进行解答．
五．应用题（共6小题）
20．【分析】根据题意可知本题的数量关系：底边长+2×腰长＝三角形的周长。所以底边长＝三角形的周长﹣2×腰长。
【解答】解：1.9﹣0.6×2
＝1.9﹣1.2
＝0.7（dm）
答：那么它的底边长是0.7分米。
【点评】本题的重点是根据等腰三角形的特征，找出题目中的数量关系再列式进行解答。
21．【分析】根据正方形的四条边相等，先求出铁丝的长，再根据等腰三角形的两腰相等，求腰即可。
【解答】解：9×4＝36（厘米）
（36﹣16）÷2
＝20÷2
＝10（厘米）
答：这个等腰三角形的腰是10厘米。
【点评】熟练掌握正方形和等腰三角形的特征，是解答此题的关键。
22．【分析】根据题意知道2米是围成的三角形的周长，用周长减去两条边的长度就是第三条边的长度；根据边的长度的特点判断三角形的形状。
【解答】解：2﹣﹣
＝﹣﹣
＝﹣
＝（米）
因为有两条边的长度相等，所以此三角形是等腰三角形。
答：第三条边长米。这是一个等腰三角形。
【点评】本题主要考查了分数的加减法以及三角形的周长公式（C＝a+b+c）的灵活应用。
23．【分析】根据等腰三角形的定义和性质，在平面图中找出所有符合题意的点即可．
【解答】解：当OC当底时，则作OC的垂直平分线，交AB的有一点，即有1个三角形．
当让OC当腰时，则以点O为圆心，OC为半径画圆交AB有两点，所以有2个．
当以点C为圆心，CO为半径画圆，交AB有一点，所以有1个．
1+2+1＝4（个）
答：这样的D点有4个．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质的灵活应用，注意数形结合的应用．
24．【分析】（1）依据三角形的性质及特点，即两边之和大于第三边，即可解答；
（2）依据题意可得这根长竹条的长为：65+65+130＝260（cm），根据等腰三角形的特点，风筝一条腰为70cm，另外一条腰也是70cm，再根据三角形的周长的意义即可解答．
【解答】解：（1）因为65+65＝130厘米，
不符合三角形两边之和大于第三边的特点，
所以爸爸把这三根竹条首尾相接做风筝框架，做不成．
（2）（65+65+130）﹣70×2
＝260﹣140
＝120（厘米）
答：底长应是120厘米．
【点评】此题主要考查三角形的性质及特点，以及等腰三角形的特点．
25．【分析】（1）根据正方形的周长公式：C＝4a，把数据代入公式求出这个正方形的周长（铁丝的长度），根据等边三角形的特征，等边三角形的三条边的长度都相等，用这根铁丝的长度除以3即可求出等边三角形的边长．据此列式解答．
（2）根据等腰三角形的特征，在三角形中，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，再根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，据此解答．
（3）能围成12个不同的三角形，除了表中的等腰三角形，还有三条边的长度分别是：9厘米、8厘米、7厘米；6厘米、7厘米、11厘米；3厘米，10厘米，11厘米；7厘米，8厘米，10厘米；5厘米，9厘米，10厘米；4厘米，9厘米，11厘米；5厘米，8厘米，11厘米．
【解答】解：（1）6×4＝24（厘米）
24÷3＝8（厘米）
答：如果围成等边三角形，那么等边三角形的边长是8厘米．
（2）如果完成等腰三角形，①腰7厘米，底10厘米；②腰是9厘米，底是6厘米；③腰是10厘米，底是4厘米；④腰是11厘米，底是2厘米．⑤腰8厘米，底8厘米；
（列表解答）
（3）能围成12个不同的三角形，除了表中的等腰三角形，还有：三条边的长度分别是：9厘米、8厘米、7厘米；6厘米、7厘米、11厘米；3厘米，10厘米，11厘米；7厘米，8厘米，10厘米；5厘米，9厘米，10厘米；4厘米，9厘米，11厘米；5厘米，8厘米，11厘米．
【点评】此题考查的目的是理解掌握对边三角形、等腰三角形的特征，以及三角形性质的应用．
腰/厘米
腰/厘米
底/厘米
腰/厘米
7
9
10
11
8
腰/厘米
7
9
10
11
8
底/厘米
10
6
4
2
8