2024-2025学年暑假作业10一次函数的应用与综合[1个知识点+6个题型+创新题型]-八年级数学暑假提升

这是一份2024-2025学年暑假作业10一次函数的应用与综合[1个知识点+6个题型+创新题型]-八年级数学暑假提升，共140页。
限时练习：40min
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天气：
作业 10 一次函数的应用与综合
【知识点 一次函数的应用】
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型 1 一次函数的应用与行程问题】
1 ．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间 x（分）的函数关系如图所示： 给出下列说法：①比赛全程 1500 米．②2 分时，甲乙相距 300 米．③比赛结果是乙比甲领 先 50 秒到达终点．④3 分 40 秒时，乙追上甲．其中正确的个数（ ）个．
判断等量关
系为一次函 数的情况
（1）函数图象是直线（或直线的一部分）；（2）用表格呈现数据时：当自变 量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为 1 时，函数的变化值就是自变量的系数k ；
（3）用语言呈现数据时：当自变量每变化 1 个单位时，因变量就相应变化k 个单位
常见类型
（1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案；
（2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值．
注意：根据实际情况确定变量的取值范围
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
2 ．已知甲，乙两地相距480km ，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一 条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时 与出租车相距120km ，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即 按原路返回，结果比货车早 15 分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y (km) 与货 车行驶时间x (h ) 之间的函数图象，则下列说法错．误．的是( )
A ．a = 120
B ．点 F 的坐标为(8, 0)
C ．出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h
D ．出租车返回的过程中，货车出发 或 都与出租车相距12km
3 ．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间 为x (h ) ，甲、乙两人距出发点的路程S甲 、S乙 关于 x 的函数图象如图①所示，甲、乙两人 之间的路程差y 关于 x 的函数图象如图@所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；
(2)对比图①、图@可知a = ______ ，b = ______；
(3)乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
4 ．一条笔直的公路上依次有 A 、B 、C 三地，甲车从 A 地出发，沿公路经 B 地行驶到C 地， 甲车出发 1 小时后乙车从C 地出发，沿公路行驶到B 地．甲、乙两车匀速行驶， 乙车比甲车 早 小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y( km) 与甲车 行驶时间x ( h) 的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)A、C 两地的距离为___________km，甲车行驶速度为___________km/h，乙车行驶速度为 ___________km/h；
(2)求图中线段FG 所在直线的函数解析式；
(3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与B 地的距离是甲车与B 地距离的 2 倍．
5 ．在A 、B 两地之间有服务区C ，甲车由 A 地驶往服务区C ，乙车由 B 地驶往A 地，两车 同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区C 的路程y1 、y2 （单位：千米） 与乙车行驶时间x （单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是________千米/时；
(2)求图象中线段DF 的函数解析式；
(3)当两车距服务区C 的路程之和是360 千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
【题型 2 一次函数的应用与费用最少问题】
6 ．鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代 表，鲜花饼在云南当地烘焙品牌店均有销售．每年 4 月，鲜花饼的上市早已成为当地人民的 共同期待，排着长队等待购买新鲜上市的鲜花饼在当地早已司空见惯，某经销商准备从一鲜 花饼加工厂购进甲、乙两种鲜花饼进行销售， 加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种鲜花饼 的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种鲜花饼按 80 元/千克的价格出售，设经销商购进甲 种鲜花饼x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种鲜花饼共 150 千克，其中甲种鲜花饼多于50 千克且 不超过 80 千克，如何分配甲、乙两种鲜花饼的购进量，才能使经销商付款总金额w 最少？
7 ．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某中学为营造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的 书柜放置新购置的图书．调查发现，若购买甲种书柜 3 个，乙种书柜 4 个，共需要资金 1500 元；若购买甲种书柜 4 个，乙种书柜 3 个，共需资金 1440 元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共 30 个（两种规格的书柜都必须购买），其中购买乙 种书柜的数量不少于购买甲种书柜的数量，请问：甲乙两种书柜各购进多少个时，花费资金 最少，最少资金是多少元？
8 ．中华优秀文化源远流长，她是中华文明的智慧结晶．《周髀算经》是我国古代较为普及的 算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》的单价是《周髀算经》单价的 ，用 600 元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买 5 本．
(1)两种图书的单价分别是多少元？
(2)某校图书室计划购买这两种图书共 100 本，且购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子 算经》数量的一半．由于购买量大，该书店打折优惠，两种图书均按 8 折出售，两种图书分 别购买多少本时费用最少？最少费用多少？说明你的理由．
9 ．我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表：
某慈善单位欲购买三种类型的门票共 100 张奖励品学兼优的留守学生，设购买 A 种票 x 张， B 种票张数是 A 种票的 3 倍还多 7 张，C 种票y 张，根据以上信息解答下列问题：
(1)直接写出 x 与y 之间的函数关系式；
(2)设购票总费用为 W 元，求 W（元）与 x（张）之间的函数关系式；
(3)为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于 20 张，且节假日通票至少购买 5 张，有 哪几种购票方案？哪种方案费用最少？
10 ．受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某 水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援 助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25 元/千克的价格出售．设 经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当0 ≤ x ≤ 50 和x > 50 时，y 与x 之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共 100 千克，且甲种水果不少于 40 千克，但又 不超过 60 千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w （元）最少？
@若甲，乙两种水果的销售价格分别为 41 元/千克和36 元/千克．若销售完 100 千克水果后； 甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x 的取值范围．
【题型 3 一次函数的应用与利润最大问题】
11 ．某书店计划同时购进 A，B 两类图书，已知购进 3 本 A 类图书和 4 本 B 类图书共需 288 元；购进 6 本 A 类图书和 2 本 B 类图书共需306 元．
(1)A ，B 两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用4500 元全部购进这两类图书，设购进 A 类图书 x 本，B 类图书y 本．
①求y 关于 x 的关系式．
②进货时，A 类图书的购进数量不少于 60 本，已知 A 类图书每本的售价为 38 元，B 类图书 每本的售价为 50 元．若书店全部售完可获利 w 元，求 w 关于 x 的关系式，并说明应该如何 进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
12 ．根据需要，某厂要制作如图所示的 A，B 两种塑料盒（单位：cm ）共 80 个，购进某种 塑料板材 100 张，
每张这样的塑料板材有两种裁剪方法：
甲：裁成 4 块10× 10 的小正方形板；
乙：裁成 8 块10× 5 的小长方形板．
先将 x 张(x 0) 元，当该公司售完这 200 件商品并捐献资金后获得的最大收益为 10960 元时．求 a
的值．
22 ．红星美凯龙某商店销售 12 台A 型和 5 台B 型空调的利润为 1950 元，销售 8 台A 型和 10 台B 型电脑的利润为 2300 元．
(1)求每台A 型空调和B 型空调的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的空调共 100 台，其中B 型空调的进货量不超过A 型电脑 的 2 倍，设购进A 型空调x 台，这 100 台空调的销售总利润为y 元．求该商店购进A 型、B 型空调各多少台，销售总利润最大，为多少元？
(3)实际进货时，广家对A 型空调出厂价下调m (50 < m < 100) 元，且限定商店最多购进A 型 空调 70 台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使 这 100 台空调销售总利润最大的进货方案．
23．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共 100 个，篮球个数不少于排球个 数，付款总额不得超过 11200 元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个 120 元和每个
100 元，商场零售价分别是每个 150 元和每个 120 元．设该商场采购 x 个篮球．
(1)求该商场的采购费用y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围；
(2)该商场把这 100 个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了3m(m > 0) 元/个， 同时排球批发价下调了2m元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将 100 个球 全部卖出获得的最低利润是 2300 元，求 m 的值．
24 ．2024 年4 月30 日17 时46 分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人 飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售，已知“天 宫”模型的利润30 元/个，“神舟”模型的利润18 元/个．该店计划购进这两种模型共200 个，
其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的2 倍，设购买“神舟”模型x 个，销售这批模型 的利润为w 元．
(1)求w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(2)当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
(3)实际进货时，厂家对“神舟”模型出厂价下调m 元(5 ≤ m ≤ 15)，且限定航模店最多购“神舟” 模型80 台，若航模店保持同种模型的售价不变，求出这200 个模型利润最大时的x 的值．
25．为了迎接“十·一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其 中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用2400 元购进乙种运动鞋的数量相同．
(1)求 m 的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共 200 双的总利润（利润= 售价- 进价）不少于 10800 元， 且不超过 11100 元，问该专卖店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双 优惠a(10 < a < 35) 元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【题型 6 一次函数与几何综合题】
运动鞋价格/种类
甲
乙
进价（元/双）
m
m - 20
售价（元/双）
160
120
26 ．如图，在平面直角坐标系中，直线y1 = x +1 与 x 轴、y 轴分别交 A 、B 两点，与 直线相交于点C(3, m)．
(1)求 m 和 b 的值；
(2)若直线与 x 轴相交于点 D，动点 P 从点 D 开始，以每秒 2 个单位的速度向 x 轴负方向运动，设点 P 的运动时间为 t 秒．
①点A 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ；
②若点 P 在线段DA 上，且△ACP 的面积为 10 时，求 t 的值；
③直接写出 t 为何值时， △ACP 为等腰三角形．
27 ．如图，在平面直角坐标系中，直线m : y = -x + b 与直线n : y = ax + 8(a ≠ 0) 交于点 A (-1, 5) ，直线 m ，n 分别与x 轴交于点B 、C ．
(1)求点B 、C 的坐标：
(2)若线段AC 上存在一点P ，使得S△ 求点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点 A 、B 、P 、Q 为顶点的四 边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．
28 ．如图，直线 l：y = kx + b 是由直线y= -x 经过平移并且经过点D(2,10) 而得，它与 x 轴 和y 轴的交点分别为 A 、B，若C(10, 0) ，点E(0, n)为y 轴上的动点．
(1)求直线 l 的解析式及上ABO 的度数；
(2)若上ECO = 上ADC ，求点 E 的坐标；
(3)若点 O 关于直线CE 的对称点 F，连接CF ，直接写出线段CF 与直线 l 有交点时，n 的取 值范围．
29．如图 1 ，函数 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B，点 C 与点 A 关于y 轴对称.
(1)求直线BC 的函数解析式：
(2)设点 M 是 x 轴上的一个动点，过点 M 作y 轴的平行线，交直线AB 于点 P，交直线 BC 于点 Q.
①若PQ 的长为 4，求点 M 的坐标；
@如图 2，连接BM ，在点 M 的运动过程中是否存在点 P，使 上BMP = 上BAC, 若存在，请 求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由.
30 ．如图 1，已知直线 l 与 x 轴交于点A(1,0) ，与y 轴交于点B(0,3) ，以 A 为直角顶点在第 一象限内作等腰Rt△ABC ，其中上 上BAC = 90° , AB = AC ．
(1)求直线 l 的解析式和点 C 的坐标；
(2)如图 2，点 M 是BC 的中点，点 P 是直线 l 上一动点，连接PM 、PC ，求PM + PC 的最 小值，并求出当PM + PC 取最小值时点 P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，当 PM + PC 取最小值时，在直线PM 上是否存在一点 Q，使 S△△AOB ？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
31．如图 1，已知直线y = kx + 6 与y 轴交于点 A，与 x 轴交于点B(3,0) ，直线y = -x 以每秒 1 个单位长度的速度沿y 轴正方向平移，平移时交线段OA 于点 D，交线段OB 于点 C，当点 C 与点 B 重合时结束运动.
(1)求 k 的值；
(2)若直线CD 的函数关系式为y = -x +1，P 是直线CD 上一点，当S△ADP = S△AOB 时，求点 P
的坐标；
(3)如图 2，在直线y= -x 运动过程中，过点 D 作DE ^ y 轴交AB 于点 E，连接CE ，设运动 时间为t (s ) . 当CE = CD 时，求 t 的值.
32．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边AB = 5 ，边OA = 4 ，直线 l：y = 2x + b 与矩形OABC 的边OC 和AB 都有交点，交点分别是点 D 与点 E．
(1)请用含 b 的代数式分别表示点 D 和点 E 的坐标：D ，E ；
(2)当四边形ADCE 为平行四边形时，求 b 的值；
(3)若要使在平面内存在点 F，使以点 C、D 、E、F 这四点为顶点的四边形为菱形，是否存 在满足条件的 b 的值？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由．
33 ．如图，直线y = kx - 4k (k ≠ 0) 与坐标轴分别交于点 A，B ，S△AOB = 8 ，以OA 为边在y 轴 的右侧作正方形AOBC ．
(1)求点A ，B 的坐标；
(2)如图，点 D 是 x 轴上一动点，点 E 在AD 的右侧， Ð ADE = 90 ，AD = DE ．
① 如图 1，问点 E 是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
② 如图 2，点 D 是线段OB 的中点，另一动点 H 在直线BE 上，且上HAC = 上BAD ，请直接 写出点 H 的坐标．
34 ．阅读理解：
【新定义】对于线段MN 和 点 Q，定义：若QM = QN ，则称点 Q 为线段MN的“等距点”； 特别地，若上MQN = 90° ,则称点 Q 是线段MN的“完美等距点”．
【解决问题】如图， 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(6,0) ，点P(m, n)
是直线 上一动点．
(1)已知 4 个点：B(3, -3)、C(3, -2)、D(-3, -3)、E(3, ) ，以上这四个点中 是线段OA 的“等 距点” ， 是线段OA 的“完美等距点”（填写大写字母）．
(2)若点 P 在第三象限，且 ，点 H 在y 轴上，且 H 是线段AP 的“等距点”，求点 H 的坐标；
(3)当m > 0 ，是否存在这样的点 N，使点 N 是线段OA 的“等距点”且为线段OP 的“完美等距 点”，请直接写出所有这样的点 P 的坐标．
35．根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连 接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形G1、G2 的“距离” 定义：如果点P 为图形G1 上的任意一点，点Q 为图形G2 上的任意一点，且P、Q 两点的“距 离”有最小值，那么称这个最小值为图形G1, G2 的“距离”，记为d(G1, G2 ) 特别地，当图形G1 , G2 有公共点时，图形G1, G2 的“距离”d(G1, G2 ) = 0 ．
(1)如图 1，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的上AOC = 60° ,点 B、C 在第一象限，若
A (5,0) ，D (-3,0) ，E (0, 4) ，则d(D ，菱形OABC) = ______ ，d (E , 菱形OABC) = ______； (2)如图 2，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(0, 2) ，B (-2,0) ，C (2,0) ，将一次函数 y = kx + 6 的图象记为L ．
①若d(L,△ABC ) = 0 ，求 k 的取值范围；
@若k > 0 ，且d(L,△ABC ) = 2 ，则 k 的值为______；
(3)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P(4n,6 - 4n)为平面内一点，令d(A, P) = d1 ， d (B, P) = d2 ，d (C, P) = d3 ，比较d1 , d2 , d3 的大小关系______（直接写出结果）．
36 ．【阅读理解】
定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点M ，N ，P ，连接PM ，PN ，设线段 PM ，PN 的夹角为a ， ，则我们把 (a, w) 称为 ÐMPN 的“度比坐标”，把称 为上NPM 的“度比坐标”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y = kx + 4 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．
(1)求点A 的坐标，并写出 Ð AOB 的“度比坐标”（用含 k 的代数式表示）；
(2)C ，D 为直线AB 上的动点（点C 在点D 左侧），且上COD 的“度比坐标”为(90°,1)．
①若 求CD 的长；
@在①的条件下，平面内是否存在点E ，使得 上DOE 的“度比坐标”与上OCB 的“度比坐标” 相等？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
37．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两个图形 T 和图形 W，给出如下定义：M，N 分别 为图形 T 和图形 W 上任意一点，将 M，N 两点间距离的最小值称为图形 T 和图形 W 之间的 “关联距离”，记作d(T, W )．如图，已知 △ABC ，其中A(-2, 3) ，B (-2, -1) ，C (1, 3)，D，E 为三角形外两点．例如，点 A 与 x 轴之间的“关联距离”d(A，x轴) = 3 ，线段AB 与y 轴之间 的“关联距离”d(AB，y轴) = 2 ．
(1)求点 A 与直线BC 之间的“关联距离”d(A，直线BC)；
(2)若D(3,1) ，E (5,1)，将线段DE 向左平移 n 个单位，当线段DE 与△ABC 之间的“关联距 离”d(DE,△ABC ) = 0 时，求 n 的最小值；
(3)若D(m, -2) ，E (m + 2, -4) ，当-2 ≤ m ≤ 3 时，对于每一个 m，都满足线段DE 与一次函数 y = kx - 2k （k 是常数，k ≠ 0 ）的图象之间的“关联距离”d(DE, 直线y = kx - 2k ) > 0 ，求 k 的 取值范围．
38 ．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x0, y0 ) ，给出如下定义：若存在实数 x1 ，x2 ，y1 ， y2 使得x0 - x1 = x1 - x2 且y0 - y1 = y1 - y2 ，则称点 P 为以点(x1, y1 ) 和(x2, y2 ) 为端点的线段的 等差点．
(1)若线段m 的两个端点坐标分别为(1, 2) 和(3, -2) ，则下列点是线段 m 等差点的有 __________ ；（填写序号即可）
① P1 (-1，6) ；② P2 (2，0) ；③ P3 (4, -4) ；④ P4 (5, -6) ．
(2)点A ，B 都在直线y = -x 上，已知点A 的横坐标为-2 ，M (t，0) ，N(t +1，1) ．
①如图 1，当 t = -1时，线段AB 的等差点在线段MN 上，求满足条件的点B 的坐标；
②如图 2，点B 横坐标为 2，以AB 为对角线构造正方形ACBD ，在正方形ACBD 的边上（包 括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN 上存在其中某条线段的等差点，直接写出t 的 取值范围__________．
1 ．C
【分析】①由函数图象可以得； ②根据图象列式计算即可得出结论； ③由函数图象可以 得答案； ④求出两分钟后，甲、乙图象表示的函数，再联立即可求解．
【详解】解：①由函数图象可得比赛全程 1500 米，故①正确；
②甲的速度1500÷ 5 = 300 米/分， :2 分时甲、乙相距为300× 2 - 300 = 300 米，故②正确；
③由函数图象可以得；乙比甲领先0.5× 60 = 30 秒到达终点，故③错误；
④设两分钟后，y乙 = kx + b ，将(2, 300) ，(4.5,1500) 代入y乙 = kx + b ， 解得：
: y乙 = 480x - 660 ，
设甲的函数解析式，y甲 = ex ，将 (5,1500)，代入 y甲 = ex ， 得5e = 1500 ， 解得e = 300 ，
: y甲 = 300x ，
联立 解得 ，
即乙追上甲用 分钟=3 分钟 40 秒，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，认真观察函数图象从中获得有效信息是解题关键．
2 ．D
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用. 利用待定系数法求得OC 的解析式，将(1, a )代入解析式，解方程即可判断 A 选项；
根据 A 选项中 a 的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发 现此时与出租车相距120km ，可求出装货时间，即点 B 的坐标，再根据货车继续出发 h 后 与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线BG 的解析式中 k 的值，最后将点 B 坐标 代入直线BG 的解析式，利用待定系数法即可得到直线BG 的解析式，把y = 480 代入可求得 点 G 的坐标，进而得到点 F 的坐标，从而判断 B 选项；
由 B 选项中点 F 的坐标，再结合题意，可得点 E 的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，
从而判断 C 选项；
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发 t 小时，与出租车相距12km ，此时货车距离乙地 为60km ，出租车距离乙地为128(t - 4) = (128t - 512)km ，结合货车和出租车的速度进行分 类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距12km 时；@出租车和货车第二次相遇后，距 离12km 时，分别进行解答即可判断 D 选项．
【详解】结合图象，可得C(4, 480) ， 设直线OC 的解析式为y = kx ，
将C(4, 480) 代入解析式，可得480 = 4k ，解得 k = 120 ，
直线OC 的解析式为y = 120x ，
把(1, a )代入y = 120x ，得 a = 120 ， 故 A 选项正确；
根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km ， 可得此时出租车距离乙地为120 +120 = 240 (km) ，
出租车距离甲地为480 - 240 = 240km ，
把y = 240 代入y = 120x ，可得 240 = 120x ，解得 x = 2 ， :货车装完货时，x = 2 ，可得B(2,120)，
根据货车继续出发 h 后与出租车相遇，可得× （出租车的速度＋货车的速度）= 120 ， 根据直线OC 的解析式为y = 120x ，可得出租车的速度为120 kmh ，
相遇时，货车的速度为
故可设直线BG 的解析式为y = 60x + b ，
将B(2,120) 代入y = 60x + b ，可得120 = 120 + b ，解得b = 0 ，
直线BG 的解析式为y = 60x ，
把y = 480 代入y = 60x ，可得 480 = 60x ，解得 x = 8 ，
: G(8, 480)， :F (8, 0)，
故 B 选项正确；
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早 15 分钟到达甲地，可得
出租车返回时的速度为 故 C 选项正确；
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发 t 小时，与出租车相距12km ，
此时货车距离乙地为60km ，出租车距离乙地为128(t - 4) = 128 - 512 (km) ， ①出租车和货车第二次相遇前，相距12km 时；
可得60t1 - (128t1 - 512) = 12 ， 解得 ，
@出租车和货车第二次相遇后，相距12km 时； 可得(128t2 - 512) - 60t2 = 12 ，
解得 ，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 或 与出租车相距12km ．
故 D 选项错误． 故选：D
3 ．(1)25 ，10
(2)10 ，1.5
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；
（2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到 a 、b 的值；
（3）由图象可知甲乙相距 7.5km 有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可 解答本题．
【详解】（1）解：由图可得，
甲的速度为：25 ÷ (1.5 - 0.5) = 25 ÷1 = 25(km / h) ，乙的速度为：25 ÷ 2.5 = 10(km / h) ，
故答案为：25 ，10；
（2）解：由图可得，
a = 25 × (1.5 - 0.5) -10 × 1.5 = 10 ， b = 1.5 ，
故答案为：10；1.5；
（3）解：由题意可得，
前0.5h ，乙行驶的路程为：10 × 0.5 = 5 < 7.5 ，
则甲、乙两人路程差为7.5km 是在甲乙相遇之后， 设乙出发xh 时，甲、乙两人路程差为7.5km ，
25(x - 0.5) -10x = 7.5 ，
解得， ，
25 -10x = 7.5 ，得
即乙出发 或 时，甲、乙两人路程差为7.5km ．
【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是由函数图象得到解题的信息．
4 ．(1) 420 ；100 ；60
(2) y = 160x - 480
小时或 小时
【分析】本题主要考查了函数图像、 一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像 获得所需信息是解题关键．
（1）由图像可知，A 、C 两地的距离为420km ，B 、C 两地的距离为180km ，再分别确定乙 车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度= 路程 ÷ 时间”求解即可；
（2）首先确定点F, G 的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）设乙车出发 t 小时，分甲车到达 B 地前和甲车到达 B 地后两种情况，分别列方程求解 即可．
【详解】（1）解：由图像可知，A 、C 两地的距离为420km ，
B 、C 两地的距离为180km ，则乙车行驶速度为 ， ∵乙车比甲车早小时到达目的地，
:甲车行驶总时间为
:甲车行驶速度为420÷ 4.2 = 100km/h ．
故答案为：420；100；60；
（2）由（1）可知，甲车行驶速度为100km/h ，
则点G 的纵坐标为180 -100× = 160 ，即G(4,160)， 两车相遇的时间为
: F (3, 0) ，
设线段FG 所在直线的函数解析式为y = kx + b (k ≠ 0) ， 将点G(4,160) ，F (3, 0) 代入，
可得 解得
:线段FG 所在直线的函数解析式为y = 160x - 480 ；
（3）设乙车出发 t 小时，乙车与 B 地的距离是甲车与 B 地距离的 2 倍， 当甲车到达 B 地前，可有180 - 60t = 2 × 420 -180 -100 (t +1) ，
解得
当甲车到达 B 地后，可有180 - 60t = 2 × 100 (t +1) - (420 -180) ， 解得
:乙车出发小时或 小时，乙车与 B 地的距离是甲车与 B 地距离的 2 倍．
5 ．(1) 70
(2) y2 = 60x -120(2 ≤ x ≤ 9)
或8 小时
【分析】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解；
（2）先求得乙车的速度，进而得出F(9, 420) ，待定系数求得解析式，即可求解；
（3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，420 ÷ 6 = 70 千米/时；
故答案为：70 ．
（2）解：乙车的速度为120÷ 2 = 60 千米/时；
420 ÷ 60 = 7
: F(9, 420)
设直线DF 的解析式为y2 = kx + b
解得：
: DF : y2 = 60x -120(2 ≤ x ≤ 9)
（3）解：依题意 y1 = -70x + 420(0 ≤ x ≤ 6)
设乙车的行驶x 小时后，两车距服务区C 的路程之和是360 千米， 当甲乙未相遇时，-70x + 420 - 60x + 120 = 360
解得：
当乙经过服务区C ，
-70x + 420 + 60x -120 = 360
x = -6 （舍）
当甲乙相遇之后， 60x -120 = 360
x = 8
答：乙车的行驶 或8 小时后两车距服务区C 的路程之和是360 千米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键．
(2)甲种鲜花饼的购进量是 80 千克、乙种鲜花饼的购进量是 70 千克，才能使经销商付款总 金额w 最少
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关 键．
(1)由图可知函数关系式是分段函数，用待定系数法求解即可；
(2)购进甲种鲜花饼 x 千克，则购进乙种鲜花饼(150 - x)千克，根据实际意义可以确定函数解 析式，再利用函数性质即可求出答案．
【详解】（1）解：当 0 ≤ x ≤ 50 时， 设y = k1x ，
将(50, 4500) 代入，得50k1 = 4500 ， 解得k1 = 90 ，
所以当0 ≤ x ≤ 50 时，y = 90x.
当x > 50 时，
设y = k2x + b ，
将(50, 4500) , (90,7300) 代入， 得
解得 所以当x > 50 时， y = 70x +1000 ，
所以y 与x 之间的函数关系式为 ；
（2）解：Q 甲种鲜花饼多于 50 千克且不超过 80 千克， : w = 70x +1000 + 80(150 - x) = -10x +13000 ，
Q -10 < 0 ，
:w 随x 的增大而减小， Q50 < x ≤ 80 ，
: 当x = 80 时，w 最小，最小值为-10× 80 +13000 = 12200 ，
: 甲种鲜花饼的购进量是 80 千克、乙种鲜花饼的购进量是150 - 80 = 70 千克，才能使经销商 付款总金额w 最少，
答：当甲种鲜花饼的购进量是 80 千克、乙种鲜花饼的购进量是70 千克，才能使经销商付款
总金额w 最少．
7 ．(1)甲种书柜每个的价格分别是 180 元，乙种书柜每个的价格分别是 240 元
(2)甲乙两种书柜各购进 15 个时，花费资金最少，最少资金是 6300 元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．
（1）依据题意，设甲种书柜每个的价格分别是 x 元，乙种书柜每个的价格分别是y 元，则
则 从而可以判断得解；
ì m > 0
（2）依据题意，设购买甲种书柜 m 个，则购买乙种书柜(30 - m) 个，则 íï 30 - m > 0 ，从而
ïl30 - m ≥ m
0 < m ≤ 15 ，故此时花费资金= 180m + 240 (30 - m) = -60m + 7200 ，且-60 < 0 ，进而可以判断 得解．
【详解】（1）解：由题意，设甲种书柜每个的价格分别是 x 元，乙种书柜每个的价格分别是 y 元，
答：甲种书柜每个的价格分别是 180 元，乙种书柜每个的价格分别是 240 元；
（2）解：由题意，设购买甲种书柜 m 个，则购买乙种书柜(30 - m) 个，
ï
: í30 - m > 0 ．
ì m > 0
ïl30 - m ≥ m : 0 < m ≤ 15 ．
又:此时花费资金= 180m + 240 (30 - m) = -60m + 7200 ，且 -60 < 0 ，
:当m = 15 时，花费资金最小，最小值为：-60× 15 + 7200 = 6300 （元）．
答：甲乙两种书柜各购进 15 个时，花费资金最少，最少资金是 6300 元．
8 ．(1)《周髀算经》单价为 30 元，《孙子算经》的单价是 24 元
(2)当购买《周髀算经》34 本，购买《孙子算经》66 本时费用最少，最少费用是2083.2 元，
理由见解析
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以得到购买《周髀算经》的数量与总费用的函数关系式，然后根据一次 函数的性质，即可得到总费用的最小值．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为 x 元，则《孙子算经》的单价是x 元，
由题意可得 解得x = 30 ，
经检验，x = 30 是原分式方程的解，
答：《周髀算经》单价为 30 元，《孙子算经》的单价是 24 元；
（2）解：设购买《周髀算经》a 本，则购买《孙子算经》为(100 - a )本，总费用为 w 元，
由题意可得：w = 30a ×0.8 + 24 (100 - a )×0.8 = 4.8a +1920 ， :w 随 a 的增大而增大，
:购买的《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半，
解得 ， :a 为正整数，
:当a =34 时，w 取得最小值，此时w = 2083.2 ，100 - a = 66 ，
答：当购买《周髀算经》34 本，购买《孙子算经》66 本时费用最少，最少费用是2083.2 元．
9 ．(1) y = 93 - 4x
(2)W = -160x +14790
(3)当 A 种票为 22 张，B 种票 73 张，C 种票为 5 张时费用最少，最少费用为 11270 元
【分析】本题考查了一次函数的运用，读懂题意列出函数表达式以及一元一次不等式组，运 用一次函数的性质解决最值问题．
（1）根据总票数为 100 得到x + 3x + 7 + y = 100 ，然后用 x 表示y 即可；
（2）利用表中数据把三种票的费用加起来得到W = 80x +120 (3x + 7) +150(93 - 4x ) ，然后整 理即可；
（3）根据题意得到不等式组，再解不等式组且确定不等式组的整数解为 20 、21 、22，于是 得到共有 3 种购票方案，然后根据一次函数的性质求 w 的最小值．
【详解】（1）解：根据题意，
x + 3x + 7 + y = 100 ， 所以y = 93 - 4x ；
（2）解：W = 80x +120 (3x + 7) +150(93 - 4x ) = -160x +14790 ；
ï
ìx ≥ 20
（3）解：依题意得 í93 - 4 ≥ 5
ïl3x + 7 ≥ 5
解得20 ≤ x ≤ 22 ，
因为整数 x 为 20 、21 、22，
所以共有 3 种购票方案（A 、20 ，B 、67 ，C、13；A 、21 ，B 、70 ，C、9；A 、22 ，B 、73， C、5）；
而W = -160x +14790 ， 因为k = -160 < 0 ，
所以y 随 x 的增大而减小，
所以当 x=22 时，y最小 = 22 × (-160) +14790 = 11270 ，
即当 A 种票为 22 张，B 种票 73 张，C 种票为 5 张时费用最少，最少费用为 11270 元．
(2)①购进甲种水果为40 千克，购进乙种水果60 千克，才能使经销商付款总金额w (元)最 少 @ 50 < x ≤ 60
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题．
（1）由图已知y 与x 的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可；
（2）①设购进甲种水果为x 千克，则购进乙种水果 (100 - x)千克，根据实际意义可以确定 x 的范围，结合付款总金额w (元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费 用；
②根据题意分为40 ≤ x ≤ 50 和50 < x ≤ 60 两种情况列不等式解题即可． 【详解】（1）当 0 ≤ x ≤ 50 时, 设y = mx ,
根据题意得50m = 1500 ，
解得m = 30 ， : y = 30x ；
当x > 50 时, 设y = kx + b ，
根据题意得 解得 : y = 24x + 300 ，
（2）①设购进甲种水果为x 千克，则购进乙种水果(100 - x)千克
: 40 ≤ x ≤ 60 ，
当40 ≤ x ≤ 50 时,
w1 = 30x + 25 (100 - x) = 5x + 2500 ， 当x = 40 时. w小 = 2700 元；
当50 < x ≤ 60 时,
w2 = 24x + 300 + 25 (100 - x) = -x + 2800 ， 当x = 60 时, w小 = 2740 元，
: 2740 > 2700
:当x =40 时, 总费用最少, 最少总费用为2700 元此时乙种水果100 - 40 = 60 (千克)，
答：购进甲种水果为40 千克，购进乙种水果60 千克，才能使经销商付款总金额w (元)最少．
②当40 ≤ x ≤ 50 时, (41- 30)x > (36 - 25)(100 - x) ， 解得x > 50 ，不符合题意；
当50 < x ≤ 60 时，41x - (24x + 300) > (36 - 25)(100 - x) ，解得：x > 50 ， :甲种水果购进量的取值范围为：50 < x ≤ 60 ．
11 ．(1)A 类图书 36 元/本，B 类图书 45 元/本
②当购进 A 类图书 60 本，B 类图书 52 本可获得最大利润 380 元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解 题意，列出方程和不等式组，建立函数关系式是求解本题的关键．
（1）设 A 类图书每本 a 元，B 类图书每本 b 元，根据题意建立二元一次方程组求解．
（2）①根据用4500 元全部购进两类图书可求出函数关系式．
②先求 w 与 x 的函数关系式，再根据函数性质求最值．
【详解】（1）解：设 A 类图书每本 a 元，B 类图书每本 b 元，由题意得：
解：
答：A 类图书 36 元/本，B 类图书 45 元/本．
（2）解：①:用4500 元全部购进两类图书， : 36x + 45y = 4500 ，
②由题意得：w = (38 - 36)x +(50 - 45)y
= -2x + 500 ，
: 60 ≤ x ≤ 125 ． :-2 < 0 ，
:w 随 x 的增大而减小，
:当x = 60 时，w最大 = -2× 60 + 500 = 380 （元），
（本）．
:当购进 A 类图书 60 本，B 类图书 52 本可获得最大利润380 元．
12 ．(1) 4x ，160 - 2y ，y = x - 40
(2)当m = 12 时，w 的值最大，最大值为220 元
【分析】本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题 意确定正确的函数关系式是解本题的关键
（1）由裁剪得到的正方形的面数等于制作 80 个A ，B 两种塑料盒的正方形的面，再建立函 数关系式即可；
（2）先确定8 ≤ m ≤ 12 ．结合 再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：按甲方法裁成小正块方形板 4x 块（用含 x 的式子表示），
按甲方法裁成小正方形板(6y +160 - 2y) （用含 y 的式子表示）， : 4x = 6y + 2(80 - y)
: y = x - 40 ；
（2）解：总成本为 80 × (4 + 1) + (100 - 80) × (4 + 3) = 540 （元) ．
由题意 ．
解得m ≤ 12 ．
:8 ≤ m ≤ 12 ．
销售利润 整理，得w = 20m - 20 ．
Q 20 > 0 ，
:w 随m 的增大而增大．
: 当m = 12 时，w 的值最大，最大值为20× 12 - 20 = 220 （元）．
13 ．(1)A 型产品生产了 200 件，B 型产品生产了 300 件
(2)利润的最大值是 72000 元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，
（1）根据该企业计划将生产的 A 型产品全在乙地区销售，B 型产品全在甲地区销售，这样 可获得利润 7.1 万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y 与 x 的函数关系式，然后根据一次函数的性质， 可以求得最大利润；
解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性 质求最值．
【详解】（1）设 A 型产品生产了 m 件，则 B 型产品生产了(500 - m) 件，
由题意得：160m +130(500 - m) = 71000 ，
解之得：m = 200 ，
500 - m = 500 - 200 = 300 ，
:A 型产品生产了 200 件，B 型产品生产了300 件；
（2）由题意得：
y = 180x +160 (200 - x)+ 300× 120
= 20x + 68000(0 ≤ x ≤ 200)
Q 20 > 0 ，
: y 随若 x 的增大而增大，
: 当x = 200 时，y 有最大值 72000， 答：利润的最大值是 72000 元．
14 ．(1)A 、B 两种茶具每套进价分别为 100 元和 75 元
(2)采购 A 种茶具 30 个，B 种茶具 50 个可获得最大利润为 1900 元
【分析】本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次 函数的增减性是解题的关键．
（1）设 A 种茶具每套进价 a 元，B 种茶具每套进价 b 元，根据题意列方程组并求解即可；
（2）计算再次购进 A 、B 两种茶具时，A 种茶具和 B 种茶具每套的价格，根据“A 种茶具每 套进价×购进 A 种茶具的套数+B 种茶具每套进价×购进 B 种茶具的套数 ≤ 6240”列关于 x 的 一元一次不等式并求解，设获得的利润为 W 元，根据“获得的利润＝每套 A 种茶具的利润× 购进 A 种茶具的套数+每套 B 种茶具的利润×购进 B 种茶具的套数”写出 W 关于 x 的关系式， 根据该关系式的增减性和 x 的取值范围，确定当 x 为何值时 W 的值最大，求出其最大值此 时(80 - x) 的值即可．
【详解】（1）解：（1）设 A 种茶具每套进价 a 元，B 种茶具每套进价 b 元． 根据题意，得
解得 ，
:A 种茶具每套进价 100 元，B 种茶具每套进价 75 元．
（2）解：再次购进 A 、B 两种茶具时，A 种茶具每套进价为100× (1+ 8%) = 108 （元），B 种
茶具每套进价为75× 0.8 = 60 （元）．
设购进 A 种茶具 x 套，则购进 B 种茶具(80 - x)套．
根据题意，得108x + 60(80 - x) ≤ 6240 ， 解得x ≤ 30 ；
设获得的利润为 W 元，则W = 30x + 20 (80 - x) = 10x +1600 ， ∵10 > 0 ，
: W 随 x 的增大而增大， ∵ x ≤ 30 ，
:当x = 30 时，W 的值最大，W最大 = 10 × 30 +1600 = 1900 ，此时购进 B 种茶具80 - 30 = 50 （套），
购进 A 种茶具 30 套、B 种茶具 50 套获得最大的利润，最大的利润是 1900 元．
15 ．(1) y = 5x + 6750 (50 ≤ x ≤ 100)
(2)商场购进 A 商品100 件时，商场获得利润最大，最大利润是7250 元
(3)商场购进 A 商品50 件时，可获得最大利润
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质等 知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质是解题 的关键．
（1）依题意得，y = (170 -120)x +(155 -110)(150 - x) = 5x + 6750 ，则y 与 x 之间的函数关系 式是y = 5x + 6750 ，依题意得 计算求解，然后作答即可；
（2）由一次函数的增减性求解作答即可；
（3）设 A ，B 商品全部售出后获得利润为 w 元，则w = 5x + 6750 - mx = (5 - m)x + 6750 ，由
5 < m ≤ 8 ，可得 5 - m < 0 ，则 w 随 x 的增大而减小，然后作答即可．
【详解】（1）解：依题意得，y = (170 -120)x +(155 -110)(150 - x) = 5x + 6750 ， :y 与 x 之间的函数关系式是y = 5x + 6750 ；
依题意得 解得，50 ≤ x ≤ 100 ，
:x 的取值范围50 ≤ x ≤ 100 ；
（2）解：y = 5x + 6750 ， : 5 > 0 ，
:当x =100 时，y 取最大值，为7250 ，
:商场购进 A 商品100 件时，商场获得利润最大，最大利润是7250 元；
（3）解：设 A ，B 商品全部售出后获得利润为 w 元，则 w = 5x + 6750 - mx = (5 - m)x + 6750 ，
: 5 < m ≤ 8 ， : 5 - m < 0 ，
:w 随 x 的增大而减小，
:当x =50 时，w 取最大值，
:商场购进 A 商品50 件时，可获得最大利润．
16 ．(1)当甲种型号的果汁生产了 17 万瓶，乙种的果汁生产了 3 万瓶时，该月公司所获利润 最大，最大利润为 108 万元；
(2)当0 < y < 280 时，选择方案一购买更合算；当y = 280 时，选择两优惠方案所需费用相同； 当y > 280 时，选择方案二购买更合算．
【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过 216 万元，可列出关于 x 的一元一次不等式， 解之导出 x 的取值范围，利用总利润= 每瓶甲种号的果汁的销售利润× 生产甲种型号的果汁 量+ 每瓶乙种型号的果汁的销售利润× 生种型号的果汁的数量，可找出 W 关于 x 的关系式， 再利用一次函数的性质，即可解值问题；
（2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁 y 瓶，选择方案一所需费用为5.4x 元；选择方案 而需费用为(168 + 4.8x)元，分5.4y < 168 + 4.8y, 5.4y = 168 + 4.8y 及 5.4y > 168 + 4.8y 三种情 况，可求出y 的直范围或y 的值，进而可得出结论．
本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识 是解题的关键．
【详解】（1）解：:该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁 20 万瓶，且甲种型号的果汁生 产了 x 万瓶，乙种型号的果汁生产了(20 - x)万瓶，
据题意得：12x + 4 (20 - x) ≤ 216,
解得：x ≤ 17 ，
∵公司所获利润为 W 元，
: W = (18 -12)x + (6 - 4)(20 - x) , : W = 4x +40,
∵ 4 > 0,
: W 随 x 的增大而增大，
:当x = 17 时，W 取得最大值，最大值为4× 17 + 40 = 108 ，此时 20 - x = 20 -17 = 3 ，
:当甲种型号的果汁生产了 17 万瓶，乙种的果汁生产了 3 万瓶时，该月公司所获利润最大， 最大利润为 108 万元；
（2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y 瓶，则选择方案一所需费用为：6 × 0.9y = 5.4y 元，选择方案二所需费用为：168 + 6 × 0.8y = (168 + 4.8y) 元，
若5.4y < 168 + 4.8y ，则 y < 280 ，
当0 < y < 280 时，选择方案一购买更合算； 若5.4y = 168﹢4.8y ，则 y = 280 ，
当y = 280 时，选择两优惠方案所需费用相同； 若5.4y > 168﹢4.8y ，则 y > 280 ，
当y > 280 时，选择方案二购买更合算．
:当0 < y < 280 时，选择方案一购买更合算；当y = 280 时，选择两优惠方案所需费用相同； 当y > 280 时，选择方案二购买更合算．
17 ．(1)制作一个A 款挂件的成本为 7 元，制作一个B 款挂件的成本为 5 元
且x 为正整数；安排 17 人制作A 款挂件，23 人制作B 款挂件时，总利润最大，为 377 元
【分析】(1) 设制作一个A 款挂件的成本为x 元，制作一个B 款挂件的成本为y 元列出方程 组即可；
(2) 根据题意，列出一次函数和不等式组，求出x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性 分析求解即可．
【详解】（1）解：设制作一个A 款挂件的成本为x 元，制作一个B 款挂件的成本为y 元． 由题可知
解得
答：制作一个A 款挂件的成本为 7 元，制作一个B 款挂件的成本为 5 元．
（2）解：由题可知：W = (12 - 7)×2m +(8 - 5)×3 (40 - m) = m + 360 ．
ìï7 × 2m + 5 × 3 (40 - m) ≤ 590,
íïl 3 (40 - m) ≥ 2 × 2m.
: x 为整数，
: 10 ≤ x ≤ 17 且x 为正整数． : 1 > 0 ，
: W 随m 的增大而增大，
: x = 17 时，W 最大，此时Wmax = 377 ，40 - x = 23 ．
答：安排 17 人制作A 款挂件，23 人制作B 款挂件时，总利润最大，为 377 元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，以及一次函数的应用， 根据题意列出方程组和不等式组是解题关键．
(2)他应该选择方案一．理由见解析
(3)当0 ≤ n < 10 或n > 60 时，他应该选择方案二；当n =10 或n =60 时，两个方案的日工资 相同，任选其一即可；当10 < n < 60 时，他应该选择方案一．
【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键：
（1）分别根据两个具体方案解答即可；
（2）当 n =50 时，分别计算y1 ，y2 的值并比较大小即可；
（3）先计算两函数图象的交点坐标，再根据函数关系式画出对应的函数图象，再图象比较y1 ， y2 的大小即可．
【详解】（1）解：（1）y1 = 3n + 50 ，
当0 ≤ n ≤ 30 时，y2 = 80 ，
当n > 30 时，y2 = 80 + 5 (n - 30) = 5n - 70
: y1 关于 n 的函数解析式y1 = 3n + 50 （n 为正整数），
y2 关于 n 的函数解析式 )) ．
（2）解：他应该选择方案一．理由如下：
当x = 50 时，y1 = 3 × 50 + 50 = 200 ，y2 = 5 × 50 - 70 = 180 ， : y1 > y2 ，
:仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择方案一．
当 时，解得 ， 当 ，
解得 ，
:两函数图象的交点坐标为(10,80) ，(60, 230) ， 则两函数的图象如图所示：
根据图象，当0 ≤ n < 10 或n > 60 时，y1 < y2 ，
当n = 10 或n = 60 时，y1＝y2 ，
当10 < n < 60 时，y1 > y2 ，
:当0 ≤ n < 10 或n > 60 时，他应该选择方案二；当n =10 或n =60 时，两个方案的日工资相 同，任选其一即可；当10 < n < 60 时，他应该选择方案一．
19 ．(1) 2 ，3.5 ；
(3) 7 吨．
【分析】（1）分两种情况，用水费除以用水量即可得每吨收费；
（2 ）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可；
（3 ）把 y = 17 代入法（2 ）所得对应的函数解析式计算即可求解；
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函 数关系式．
【详解】（1）解：:10÷ 5 = 2 (元/ 吨)， :不超过5 吨时，每吨收费2 元，
: (20.5 -10) ÷ 3 = 3.5 (元/ 吨) ， :超过5 吨时，每吨收费3.5 元， 故答案为：2 ，3.5 ；
（2）解：当 0 ≤ x ≤ 5 时，设y = mx (m ≠ 0)， 把x = 5 ，y = 10 代入得，5m = 10 ，
解得m = 2 ， : y = 2x ；
当x > 5 时，设y = kx + b ，
把(5,10) ，(8, 20.5) 代入得，
í ,
ì 5k + b = 10
l8k + b = 20.5 解得 : y = 3.5x - 7.5 ；
ìï2x (0 ≤ x ≤ 5)
综上所述，y 与x 之间的关系式为y = íïl3.5x - 7.5 (x > 5) ；
（3）解：∵ 17 > 10 ， :用水量超过5 吨，
把y = 17 代入y = 3.5x - 7.5 得， 3.5x - 7.5 = 17 ， 解得x = 7 ，
答：该户居民用水7 吨．
20 ．(1)排球的进价为每个35 元，足球的进价为每个50 元；
② 10 ．
【分析】（1）根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2 ） ① 根据题意可以写出利润w 与m 的函数关系式，
② 根据x 的取值范围当40 ≤ x ≤ 50 ，w = -5x + 4000 - 80m 时和当50 < x ≤ 100 时， w = 2x + 3650 - 80m及一次函数的性质，可以求得利润的最大值；
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方 程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求m 的最大值．
【详解】（1）设排球的进价为每个a 元，足球的进价为每个b 元， 根据题意，得
解方程组，得
答：排球的进价为每个35 元，足球的进价为每个50 元，
（2） ① 当40 ≤ x ≤ 50 时，w = (50 - 35)x + (70 - 50)(200 - x) = -5x + 4000 ， 当50 < x ≤ 100 时，w = 50x - 35 × 50 + 35 × 0.8 × (x - 50) + (70 - 50)(200 - x )
= 2x + 3650 ，
② 当40 ≤ x ≤ 50 时，
w = (50 - 35)(x - m) + (30 - 35)m + (70 - 50)(200 - x - 3m) + (50 - 50)×3m = -5x + 4000 - 80m ， ∵ -5 < 0 ，
: w 随 x 的增大而减小，
:当x =40 时，w 的值最大，最大值为-80m + 3800 ，
:-80m + 3800 ≥ 3000 ， 解不等式，得m ≤ 10 ； 当50 < x ≤ 100 时，
w = 50 (x - m) + 30m - 35 × 50 + 35 × 0.8 (x - 50) + (70 - 50)(200 - x - 3m) + (50 - 50)×3m = 2x + 3650 - 80m ,
: 2 > 0 ，
: w 随x 的增大而增大，
:当x =100 时，w 的值最大，最大值为3850 - 80m ， :-80m + 3850 ≥ 3000 ，
解不等式，得m ≤ 10.625 ， : m 是正整数，
: m 的最大值为10 ，
答：m 的最大值为10 ．
21 ．(1) y = 10x +1000 ，80 ≤ x ≤ 120 ，且 x 为整数
(2)该公司向市场投放 120 件 A 型商品时，可使这批商品的利润最大为 11200 元
(3) a = 2
【分析】（1）根据题意即可得出y 与 x 之间的函数关系式，根据两种商品的总成本价不超过 26400 元，全部售出且获得的利润不低于 10800 元，列不等式组可得 x 的范围；
（2）根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意得 y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）根据题意得，y=（200-140）x+（170-120）×（200-x），
即y=10x+10000，
:两种商品的总成本价不超过 26400 元，全部售出且获得的利润不低于 10800 元，
: í
ì140x + 120(200 - x) ≤ 26400
l10x +10000 ≥ 10800 ， 解得 80≤x≤120，
答：y 与 x 之间的函数解析式为y=10x+10000，x 的取值范围是 80≤x≤120；
（2）由（1）可知：y=10x+10000（80≤x≤120），
∵ 10＞0，
:y 随 x 的增大而增大，
当 x=120 时，y=10×120+10000=11200，
答：该公司应该向市场投放 120 件 A 型商品，最大利润为 11200 元；
（3）根据题意可知一共捐出 ax 元， :y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000， 当 10-a＜0 时，
y=（10-a）x+10000 的最大值小于 10000，不符合最大收益为 10960 元， :这种情况不存在；
当 10-a＞0 时，
x=120，y 取最大值，
: 120（10-a）+10000=10960， :a=2，
答：a 的值为 2．
【点睛】本题考查了一次函数的应用识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数 解决问题，属于中考常考题型．
22 ．(1)每台A 型空调的销售利润为100 元，每台B 型空调的销售利润为150 元；
(2)该商店购进A 型空调34 台，B 型空调66 台时，销售总利润最大，为13300 元；
(3)购进A 型空调70 台，B 型空调30 台时，销售总利润最大．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄 清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键．
（1）设每台A 型空调的销售利润为a 元，每台B 型空调的销售利润为b 元，根据“销售 12 台 A 型和 5 台B 型空调的利润为 1950 元，销售 8 台A 型和 10 台B 型电脑的利润为 2300 元”列 二元一次方程求解即可；
（2）设购进 A 型空调x 台，则购进B 型空调(100 - x)台，根据“B 型空调的进货量不超过A 型电脑的 2 倍”；列一元一次不等式，求出x 的取值范围，设销售总利润为y 元，得出y 关 于x 的函数解析式，再结合一次函数的增减性求最值即可；
（3）由题意可得 ，y = (100 + m)x + 150(100 - x) = (m - 50)x + 15000 ，再根据 m 的取 值范围，确定一次函数增减性，即可求解．
【详解】（1）解：设每台 A 型空调的销售利润为a 元，每台B 型空调的销售利润为b 元， 由题意得 解得
答：每台A 型空调的销售利润为100 元，每台B 型空调的销售利润为150 元；
（2）解：设购进 A 型空调x 台，则购进B 型空调(100 - x)台，
由题意得：100 - x ≤ 2x ，
设销售总利润为y 元，
则y = 100x +150 (100 - x) = -50x +15000 ， Q -50 < 0 ，
: y 随x 的增大而减小， Q x 为正整数，
: 当x =34 时，y 有最大值，最大值为-50× 34 +15000 = 13300 元， 此时100 - 34 = 66 台，
即该商店购进A 型空调34 台，B 型空调66 台时，销售总利润最大，为13300 元；
（3）解： 由 可知 ，
根据题意得，y = (100 + m)x + 150(100 - x) = (m - 50)x + 15000 ， Q 50 < m < 100 ，
: m - 50 > 0 ，
: y 随x 的增大而增大，
:x = 70 时，y 有最大值，
即购进A 型空调70 台，B 型空调30 台时，销售总利润最大．
23 ．(1) y = 20x +10000 (50 ≤ x ≤ 60)
(2)2600 元 (3)3
【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为 W，根据题意得到总利润W = 10x + 2000 ，利用一次函数的增减性质求解即
可；
（3）设利润为 W，根据题意得到总利润W = (10 - 5m)x + 200m + 2000 ，分10 - 5m > 0 和
10 - 5m < 0 ，利用一次函数的增减性质求解即可．
【详解】（1）解：设该商场采购 x 个篮球，则采购(100 - x)个排球， 根据题意，y = 120x +100 (100 - x ) = 20x +10000 ，
ìx ≥ 100 - x
l20x +10000 ≤ 11200
由 í 得，
答：该商场的采购费用y 与 x 的函数关系式为y = 20x +10000 (50 ≤ x ≤ 60) ；
（2）解：该商场采购 x 个篮球，设利润为 W，根据题意，得 W = (150 -120)x + (120 -100)(100 - x ) = 10x + 2000 ，
∵10 > 0 ，
: W 随 x 的增大而增大，又50 ≤ x ≤ 60 ， :当x =60 时，W 最大，最大值为 2600， 答：商场能获得的最大利润为 2600 元；
（3）解：该商场采购 x 个篮球，根据题意，得
W = (150 -120 - 3m)x + (120 -100 + 2m)(100 - x ) = (10 - 5m)x + 200m + 2000 ， 当10 - 5m > 0 即0 < m < 2 时，W 随 x 的增大而增大，
又∵ 50 ≤ x ≤ 60 ，
:当x = 50 时，W 有最小值为(10 - 5m)×50 + 200m + 2000 = 2300 ， 解得m = 4 > 2 ，舍去；
当10 - 5m < 0 即m > 2 时，W 随 x 的增大而减小， 又∵ 50 ≤ x ≤ 60 ，
:当x = 60 时，W 有最小值为(10 - 5m)×60 + 200m + 2000 = 2300 ， 解得m = 3 ，
综上，满足条件的 m 值为 3．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意， 正确列出函数解析式是解答的关键．
24 ．(1) w = -12x + 6000 （ 66 ≤ x ≤ 199 且x 为整数）
(2)当购进“神舟”模型和“天宫”模型各67 和133 个时利润最大，最大利润是5196 元
(3)当5 ≤ m < 12 时，x = 67 获得利润最大；当m = 12 时，购进“神舟”模型数量在66 ≤ x ≤ 80 内x 取任意整数值，均获得利润最大；当12 < m ≤ 15 时，x = 80 获得利润最大．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是 解题的关键．
（1）单个利润乘数量等于总利润列式即可得出函数关系式，再根据题意列一元一次不等式 组，求解即可得出x 的取值范围．
（2）根据一次函数的性质，即可得出w 随x 的增大而减小，当x =67 时为最小值，w 为最 大值，代入函数关系式即可求解．
（3）由出厂价下调 m 元，算出下调后的函数关系式和x 的取值范围，在根据一次函数的性 质，分成5 ≤ m < 12 、m = 12 、12 < m ≤ 15 分别分析即可．
【详解】（1）解：依题意，可列函数关系式为：w = 18x + 30 (200 - x)， 即w = -12x + 6000 ，
∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的2 倍，且购进这两种模型共200 个，
: í ,
ì200 - x ≤ 2x
lx ≤ 199
解得66 ≤ x ≤ 199 ，
: w 与x 的函数关系式为w = -12x + 6000 （ 66 ≤ x ≤ 199 且x 为整数）．
（2）解：∵在w = -12x + 6000 中，-12 < 0 ，
:在w = -12x + 6000 中，w 随x 的增大而减小， :当x = 67 时，wmax = -12× 67 + 6000 = 5196 ， 此时200 - x = 133 ，
:当购进“神舟”模型和“天宫”模型各67 和133 个时利润最大，最大利润是5196 元．
（3）依题意，得 w = (18 + m)x + 30(200 - x)，
即w = (m -12)x + 6000 （ 66 ≤ x ≤ 80 且x 为整数）， ①当5 ≤ m < 12 时，m -12 < 0 ，
: w 随x 的增大而减小，
:当x = 67 时，w 值最大．
②当m = 12 时，在 内x 取任意整数值，w 值恒为6000 ．
③当12 < m ≤ 15 时，m - 12 > 0 ， : w 随x 的增大而增大，
:当x = 80 时，w 值最大．
综上所述，当5 ≤ m < 12 时，x = 67 获得利润最大；当m = 12 时，购进“神舟”模型数量在
66 ≤ x ≤ 80 内x 取任意整数值，均获得利润最大；当12 < m ≤ 15 时，x = 80 获得利润最大．
25 ．(1)100
(2)共有 16 种进货方案
(3)当a =20 时，方案获利都一样；当10 < a < 20 时，获得最大利润的进货方式为购进甲种运 动鞋 155 双，购进乙种运动鞋 45 双；当20 < a < 35 时，获得最大利润的进货方式为购进甲 种运动鞋 140 双，购进乙种运动鞋 60 双．
【分析】（1）根据题意列分式方程，求解即可得到答案；
（2）由（1）可知，甲运动鞋的利润为 60 元/双，乙运动鞋的利润为40 元/双，设购进甲 x 双，则购进乙(200 - x)双，根据题意列不等式组，求解即可得到答案；
（3）设利润为 w 元，根据题意，得出w = (20 - a)x + 8000 ，分三种情况讨论：①当a = 20 时；②当10 < a < 20 时；③当20 < a < 35 时，利用一次函数的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得 ，
解得：m = 100 ，
经检验，m = 100 是原分式方程的根， :m 的值为 100；
（2）解：由（1）可知，甲运动鞋的利润为160 -100 = 60 （元/双），乙运动鞋的利润为
120 - 80 = 40 （元/双），
设购进甲 x 双，则购进乙(200 - x)双，
由题意得： íìl (( -- ，
解得：140 ≤ x ≤ 155 ，
Q x 为整数，
:共有 16 种进货方案；
（3）解：设利润为 w 元，
由题意得：w = (60 - a)x +40(200 - x) = (20 - a)x + 8000 ， ①当a = 20 时，w 恒为 8000；
②当10 < a < 20 时，20 - a > 0 ，w 随 x 增大而增大， 当x = 155 时，wmax = 11100 -155a ，
即进货方式为：甲 155 双，乙 45 双；
③当20 < a < 35 时，20 - a < 0 ，w 随 x 增大而减小， 当x = 140 时，wmax = 10800 -140a ，
即进货方式为：甲 140 双，乙 60 双．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的性质， 正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
26 ．(1) m = 4 ，b = 5
(2)①A (-1, 0) ，D (15, 0) ； ；③△ACP 为等腰三角形时，t 的值为 4 或8 - 2 或
8 + 2 或 6
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行 求解，是解题的关键．
（1）将点C(3, m) 代入y1 = x +1，求出 m 的值，再代入 中求出 b 即可；
（2） ① 把b = 5 代入直线解析式 即可求得；
② 利用面积公式列出方程进行求解即可；
③ 分三种情况： AC = CP ，AC = AP 和AP = PC 分别求 t 的值即可． 【详解】（1）解：在 y1 = x +1 中，
当x = 0 时，y1 = 1 ，
当y1 = 0 时，x = -1 ，
: A(-1, 0) ，B (0,1)，
Q 点C(3, m) 在直线y1 = x +1上， ∴ m = 3 + 1 = 4 ，
:C(3, 4) ，
又Q 点C(3, 4) 也在直线 上，
解得，b = 5 ，
:m = 4 ，b = 5 ；
解： ① Q 直线 与x 轴相交于点D ， 由（1）得b = 5 ，
解得x = 15，
: 点D 的坐标为(15, 0)，
由（1）得点 A 的坐标为(-1, 0) ； 故答案为：(-1, 0) ，(15, 0)；
② 过点C 作CE 丄 AD 于点E ，即为△ACP 的高，如图所示， QC(3, 4) ，CE 丄 AD ， : CE = 4 ，
Q△ACP 的面积为10 ， QA(-1, 0) ，D (15, 0)， : OA = 1 ，OD = 15 ， AD = OA + OD = 16 ，
设PD = 2t ，则 AP = 16 - 2t ，
解得
③ △ACP 为等腰三角形有三种情况： 过C 作CE 丄 AP 于E ，如图 1 所示，
则CE = 4 ，OE = 3 ，
AE = OA + OE = 4 ，
第一种情况：当AC = PC 时，AP = 2AE = 8 ， PD = AD - AP = 8 ，
此时2t = 8 ，解得 t = 4 ；
第二种情况：当AP = AC 时，P1 和P2 分别在A 点两侧，如图 2 所示，
或 解得 或 第三种情况：当PC = PA 时，如图 3 所示，
设EP = m ，则
PA = m + 4 ，
·、 = m + 4 ，
解得，m = 0 ，
:P 与E 重合，AP = 4 ， PD = 12 ，
2t = 12 ，解得 t = 6 ；
答： △ACP 为等腰三角形时，t 的值为4 或8 - 2 或8 + 2或6 ．
27 ．(1)点B 坐标为(4, 0) ，点C 坐标为
(2)点P 的坐标为(-2, 2)
(3)点Q 的坐标为(3, -3) ，(5,3) ，(-7, 7)
【分析】（1）待定系数法求出直线 m 和直线n 的函数解析式，即可求得点 C 坐标；
（2）设点P(p, 3p + 8) ，根据△CBP 的面积列方程，求解即可；
（3）根据平行四边形的性质以及平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点 A(-1, 5) 代入直线m : y = -x + b ，
得1 + b = 5 ， 解得b = 4 ，
:直线m : y = -x + 4 ，
将点A(-1, 5) 代入直线n : y = ax + 8 ， 得-a + 8 = 5 ，
解得a = 3 ，
:直线n : y = 3x + 8 ，
当y = -x + 4 = 0 时，x = 4 ， :点B 坐标为(4, 0) ，
当y = 3x + 8 = 0 时 :点C 坐标为
解：∵ S△ ,
∵点P 在线段AC 上，如图所示：
设点P(p, 3p + 8) ，
: △CBP 的面积 : p = -2 ，
:点P 的坐标为(-2, 2) ．
（3）解：QA(-1,5) ，B(4, 0) ，P(-2, 2) ，
设点Q(m, n) ，以点 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则 ① AB ，AP 为平行四边形的边时，此时AB Ⅱ PQ ，且 AB = PQ ，
则点Q(3, -3) ，
② AP ，PB 为平行四边形的边时，此时AP Ⅱ BQ ，且 AP = BQ ， 则点Q(5, 3) ，
③ AB ，PB 为平行四边形的边时，此时AB Ⅱ PQ ，且 AB = PQ ， 则点Q(-7, 7) ，
综上，以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点Q 的坐标为(3, -3) ，(5, 3) ， (-7,7) ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，动点
问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28 ．(1) y = -x +12 ，上ABO = 45°
( 10 ö ( 10 ö
(2)点 E 的坐标为çè0，9 ,÷ 或 çè0，- 9 ,÷
(3)当n ≥ 5 或n ≤ -30 时，线段 CF 与直线 l 有交点．理由见解析
【分析】（1）根据平移的性质得出 y = -x + b ，将点 D 代入确定函数解析式；再由函数与坐 标轴的交点确定AO = BO = 12 ，即可得出角度；
（2）过点 C 作CH丄 AB ，在点 C 左侧取一点 G，使得CG = DH ，过点 G 作GM 丄 x 轴，
使得MG = CH ，连接CM ，交y 轴于点 E，过点 D 作DI 丄 y 轴，根据全等三角形的判定和 性质得出 △CGM ≌△CHD (SAS) ， ÐMCG = Ð CDH ，然后利用勾股定理及各线段的长度确 定点 M 的坐标为(10 - 9 )，利用待定系数法得出直线CM 的解析式为y = - x + ， 即可确定点 E 的坐标，再由对称即可确定另一个点的坐标；
（3）当点 O 关于直线CE 的对称点 F 恰好落在AB 上时，根据轴对称图形的性质得出
OC = CF = 10 ，设点F(x, -x +12)，得出CF2 = (10 - x )2 + (-x +12)2 = 102 ，确定点 F，得出 中点 H，再由待定系数法确定直线 CH 的解析式，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 l：y = kx + b 是由直线y = -x 经过平移并且经过点D(2,10) 而得， : y = -x + b ，
将点 D 的坐标代入直线 l 的解析式得：
10 = -2 + b ，
解得：b = 12 ， : y = -x +12 ，
直线 l：y = -x +12 与 x 轴和y 轴的交点分别为 A 、B， 当x = 0 时，得y = 12 ；
当y = 0 时，得：-x +12 = 0 ， 解得：x = 12 ，
: A(12, 0) ，B (0,12)， : AO = BO = 12 ，
∵ 上AOB = 90° ,
: 上ABO = 上BAO = 45° ;
（2）解: 过点 C 作CH丄 AB ，在点 C 左侧取一点 G，使得CG = DH ，过点 G 作GM 丄 x 轴，使得MG = CH ，连接CM ，交 y 轴于点 E，过点 D 作DI 丄 y 轴，如图 1，
: ÐMGC = Ð CHD = 90° , 在△CGM 和△DHC 中，
: △CGM≌△DHC (SAS)， : ÐMCG = Ð CDH ，
由（1）得 AO = BO = 12 ，上ABO = 上BAO = 45° , : C (10, 0) ，
: AC = 2 ，CH = AH ，
: CH = AH = MG = /2 ， : D (2,10) ，
: BI = DI = 2 ， : BD = 2 ，
: DH = CG = 12 - 2 - = 9 ， :点 M 的坐标为(10 - 9 )，
设直线CM 的解析式为y = mx + n ，将点 C，点 M 的坐标分别代入得：
解得 ，
当x = 0 时， ，
关于点 O 的对称点 也符合题意， 综上所述，点 E 的坐标为 或
（3）解:当n ≥ 5 或n ≤ -30 时，线段 CF 与直线 l 有交点．理由如下：
如图 2，当点 E 在y 轴正半轴时，点 O 关于直线CE 的对称点 F 恰好落在AB 上时，如图 2：
: OC = CF = 10 ，
设点F(x, -x +12)， ∵C (10, 0) ，
: CF2 = (10 - x )2 + (-x +12)2 = 102 ，
解得：x = 4 或x = 18 （不合题意，舍去）， :点F (4,8) ，
:中点H(2, 4)，
设直线CH 的解析式为y = ax + c ，将点 C，点 H 的坐标分别代入得：
解得 ， , 当 x = 0 时， y = 5 ， : n = 5 ，
:当n ≥ 5 时，线段CF 与直线 l 有交点；
如图 3，当点 E 在y 轴负半轴时，点 O 关于直线CE 的对称点 F 恰好落在AB 上时，如图 2：
: OC = CF = 10 ，
设点F(x, -x +12)， : C (10, 0) ，
: CF2 = (10 - x )2 + (-x +12)2 = 102 ，
解得：x = 4 （不合题意，舍去）或 x = 18 ， :点F (18, -6) ，
:中点H(9, -3)，
设直线CH 的解析式为y = ax + c ，将点 C，点 H 的坐标分别代入得：
解得：
: y = 3x - 30 ，
当x = 0 时，y = -30 ， : n = -30 ，
:当n ≤ -30 时，线段CF 与直线 l 有交点；
综上所述，当n ≥ 5 或n ≤ -30 时，线段CF 与直线 l 有交点．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，平移，交点问题，轴对称问题，全等三角形的判定 和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
29 ．(1)直线BC 的解析式为
(2)①点 M 的坐标为(4, 0) 或(-4, 0) ；②点 P 的坐标为 或(çè , ．
【分析】（1）先确定出点 B 坐标和点A 坐标，进而求出点 C 坐标，最后用待定系数法求出 直线解析式；
（2）①先表示出PQ，根据题意列式计算即可得出结论；
②分点 M 在y 轴左侧和右侧，由对称得出上BAC = 上ACB ，上BMP + 上BMC = 90° 可得当
上MBC = 90° 时，利用勾股定理建立方程即可求解． 解：对于
当 x = 0 时， y = 3 ，
当y = 0 时 解得：x = -6 ，
:点B(0, 3) ，A (-6, 0)，
:点C 与点 A 关于y 轴对称， :点C(6, 0) ，
设直线BC 的解析式为y = kx + b (k ≠ 0)， 解得
:直线BC 的解析式为
解：①设M (m, 0) ，则点
∵PQ 的长为 4， : m = 4 ，
解得：m = ±4 ，
:点 M 的坐标为(4, 0) 或(-4, 0) ；
②如图，当点 M 在y 轴的左侧时，
∵点C 与点 A 关于y 轴对称， : AB = BC ，
: 上BAC = 上BCA ，
∵ 上BMP = 上BAC ，
: 上BMP = 上BCA ，
∵ 上BMP + 上BMC = 90° , : 上BCA + 上BMC = 90° ,
:上MBC = 180° - (上BMC + 上BCA) = 90° , : BM 2 + BC2 = MC2 ，
设M (x, 0) ，则
: BM 2 = OM 2 + OB2 = x2 + 9 ，MC2 = (6 - x )2 ，BC2 = OC2 + OB2 = 62 + 32 = 45 ， : x2 + 9 + 45 = (6 - x )2 ，
解得：
当点 M 在y 轴的右侧时，
同理可得
综上所述，点 P 的坐标为 或
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形 的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
30 ．(1) y = -3x + 3 ；(4,1)
存在 或(-2,-1)
【分析】（1）用待定系数法即可求得直线l 的解析式，过点C 作CD 丄 x 轴，利用AAS 证明
△AOB≌△CDA，结合其性质可得点C 的坐标；
（2）根据中点坐标公式可得M(2, 2) ，延长 CA 至E ，使得 CA = AE ，即点A 为CE 的中点， 可知E(-2, -1) ，AB 垂直平分CE ，连接PE ，则PE = PC ，得PM + PC = PM + PE ≥ EM ，当 点P 在直线EM 上时取等号，由勾股定理求得EM = 5，利用待定系数法得直线 EM 的解析 式为 ，当点 P 在直线EM 上时，即直线EM 与直线AB 相交，联立方程组即可求
( 2 ö
得此时点P 的坐标为 çè 3 ,1,÷ ;
（3）根据题意得S△△ 过点A 作AF 丄 x 轴交直线PM 于F ，可知
,分情况：当点Q 在点F 右侧时，当点Q 在点P 、点 F 之间时，当点Q 在点P 左侧 时，结合三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵ A(1, 0) ，B (0, 3) ， : OB = 3 ，OA = 1，
设直线l 的解析式为y = mx + n ，
ln = 3
将A(1, 0) ，B (0, 3) ，代入y = mx + n 得， íìm + n = 0 ，
解得： ， : y = -3x + 3 ，
过点C 作CD 丄 x 轴，则上AOB = 上CDA = 上BAC = 90° ,
: 上BAO + 上CAD = 上CAD + 上ACD = 90° , : 上BAO = 上ACD ，
又: AB = AC ，
: △AOB≌△CDA (AAS) ，
: AD = OB = 3 ，OA = CD = 1 ， : OD = 4 ，
则点C 的坐标为(4,1) ；
（2）由（1）可知，点 A 的坐标为(1, 0) ，点 B 的坐标为(0, 3)，点C 的坐标为(4,1) ， :点M是BC 的中点，
:点M 的坐标为 即：M (2, 2) ，
延长CA 至E ，使得 CA = AE ，即点 A 为CE 的中点， :点E 的坐标为(2 × 1- 4, 2×0 -1)，即E(-2, -1)，
: 上BAC = 90° ,
: AB 垂直平分CE ，
连接PE ，则 PE = PC ，
: PM + PC = PM + PE ≥ EM ，当点 P 在直线EM上时取等号， 由勾股定理可得
设直线EM 的解析式为：y = m1x + n1 ，
则 í,解得： ， :直线EM 的解析式为
当点P 在直线EM 上时，即直线EM 与直线AB 相交，
( 2 ö
得 解得 ，
即此时点P 的坐标为 çè 3 ,1,÷ ,
( 2 ö
综上，PM + PC 的最小值为 5，此时点 P 的坐标为 çè 3 ,1,÷ ;
（3）存在，理由如下：
过点A 作AF 丄 x 轴交直线PM于F ，
此时x = 1 ，则 y = + = ，即 F (çè 1, ，
则S△
当点Q 在点F 右侧时
解得：
( 10 ö
即此时点Q 的坐标为çè 3 , 3,÷ ;
当点Q 在点P 、点 F 之间时，S△APQ < S△AFP = ，不符合题意；
当点Q 在点P 左侧时
解得：xQ = -2 ，
当xQ = -2 时 即此时点Q 的坐标为(-2, -1)；
综上，存在点Q 的坐标为或(-2,-1) 时，S△△AOB ．
【点睛】本题考查了图形与坐标， 待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与 二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是 解题的关键．
31 ．(1) -2
(3)
【分析】（1）把点B(3, 0) 代入y = kx + 6 即可求出 k 的值；
（2）求出 AD = 5 ，OA = 6 ，OB = 3 ，设点P(x, -x +1) .根据S△ADP = S△AOB 得到
求出 ，即可得到点 P 的坐标；
1 1 1
（3）连接BD ，根据S△ABD = 2 AD . OB = 2 AD . DE + 2 OD . DE 得到AD = 2DE ，当CE = CD 时，作CF 丄 DE 于点 F，则 DF = EF ，求出直线y = -x + t ，得到 D (0, t) ，则 AD = 6 - t ，
F (t, t )，得到 DE = 2DF = 2t ，则 6 - t = 2 × 2t ，解得 t = .
此题考查了一次函数的图象和性质、解一元一次方程等知识，数形结合是解题的关键. 【详解】（1）解：Q 直线y = kx + 6 与 x 轴交于点B(3, 0) ，
: 3k + 6 = 0 ，解得 k = -2 ， 即 k 的值为-2 .
（2）由（1）知直线 AB 的函数关系式为y = -2x + 6 ，
当 x = 0 ， y = 6 ， :点A(0, 6) .
Q 直线CD 的函数关系式y = -x +1， 当x = 0 ，y = 1，
当y = 0 ，0 = -x +1，解得 x = 1 ， :点C(1, 0) ，点D(0,1) .
Q 点A(0, 6)，点B(3, 0) ，
: AD = 5 ，OA = 6 ，OB = 3 ， 设点P(x, -x +1) .
Q S△ADP = S△AOB ，
当 时
（3）如图，连接 BD .
1 1 1
Q S△ABD = 2 AD . OB = 2 AD . DE + 2 OD . DE ，
: 3AD = (AD + OD )DE = 6DE ，
: AD = 2DE ，
当CE = CD 时，作CF 丄 DE 于点 F，则 DF = EF ，
设直线CD 的解析式为y = -x + n .
Q C (t, 0) ，
: -t + n = 0 ，解得 n = t ，
: y = -x + t ， : D(0, t) ，
: AD = 6 - t ，F (t, t ) ，
: DE = 2DF = 2t ，
: 6 - t = 2 × 2t ，解得 t = ， 即 t 的值为 .
(2) b = -3
(3)存在，b = -10 + 4 或 0 或-2
【分析】（1）直线l : y = 2x + b ，令 y = 0 ，则 x = - b ，当 y = 4 时， 即可求解；
（2）四边形 ADCE 为平行四边形时，AE = CD ，即可求解；
（3）分当 DE 是菱形的边、DE 是菱形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解： ∵ AB = 5 ，边 OA = 4 ，则点 A 、B 、C 的坐标分别为：(0, 4) 、(5, 4) 、 (5, 0) ，
直线l : y = 2x + b ，令 y = 0 ，则 当y = 4 时
故点D 、E 的坐标分别为
（2）解： 由（1）知点 D 、E 的坐标分别为
点A 、C 的坐标分别为：(0, 4) 、(5, 0) ； 则 ，
四边形ADCE 为平行四边形时，则AE = CD ，即 解得：b = -3 ；
（3）①当DE 是菱形的边时， 点F 对应的点为：F ¢ 或F ¢¢ ,
在菱形DEF¢C 中，DE = DC ，即 解得：b = -10 ± 4 ，
当b = -10 - 4 时，点E(7 + ，4) 不在AB 边上，故该b 值舍去，
故b = -10 + 4 ；
当四边形F ¢¢DEC 为菱形时；
同理可得：b = -2 ；
@当DE 是菱形的对角线时，
则CD = CE ，即 解得：b = 0 ，
综上：b = -10 + 4 或 0 或-2 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定 理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
33 ．(1) A(0, 4) ，B (4, 0)
(2) ① 是，y = x - 4 ； ② 点H 坐标为(12,8) 或(6, 2)
【分析】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定 与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基 础性质．
（1）分别将x = 0，y = 0 代入y = kx - 4k （k ≠ 0 ）求解，再根据S△AOB = 8 ，即可求解；
（2）①过点 E 作EF 丄 x 轴，通过证明 △AOD≌△DFE ，得到 BF = EF ，即可求解；@连接 AE ，可得点 H 与点 E 重合，作点 M 关于直线AE 的对称点 N，可得 N 点坐标，求得直线AN 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：分别将 x = 0 ，y = 0 代入y = kx - 4k (k ≠ 0) ，
得y = -4k ，x = 4 ，即 A(0, -4k) ，B (4, 0) ， ∴ OA = -4k ，OB = 4 ．
由S△ 得，k = -1 ，
即A(0, 4) ，B (4, 0) ．
（2）解：①过点E 作EF 丄 x 轴，如下图：
由题意可得：上AOD = 上DFE = 上ADE = 90° , ∴ 上ADO + 上EDF = 上ADO + 上OAD = 90° .
∴ 上OAD = 上EDF ．
在△AOD 和△DFE 中，
∴ △AOD≌△DFE (AAS)．
∴ DF = OA = 4 ，EF = OD ．
∴ BF = DF - DB = OA - DB = OB - DB = OD ． ∴ EF = BF ．
设E(x, y)，则D(y, 0) ，F (x, 0) ，
∴OD = y，OF = x ．
由题意可得：OF = OD + DF = OD + OA，即 y = x - 4 ， ∴点 E 在定直线y = x - 4 上；
@连接AE ，由题意可得△ADE 为等腰直角三角形，
:∠DAE = 45° .
:四边形OACB 为正方形， : 上BAC = 上DAE = 45° .
: 上EAC = 上BAD ，此时点 H 与点E 重合．
:D 是线段OB 的中点，A (0, 4) ，B (4, 0) ，
: BF = EF = OD = 2 ， : OF = OB + BF = 6 ， : E (6, 2) ，
设直线AE 为y = kx + b ，将E(6, 2) 、A (0, 4) 代入，
得 解得
当x = 4 时，y = ， 即点
作点M关于直线AC 的对称点N ， 得
此时上NAC = 上EAC = 上BAD ， :点H 为直线AN 与BE 的交点， 设直线AN 解析式为y = ax + 4 ， 则
联立 解得 ． 此时H(12,8)．
综上，点H 坐标为(12,8) 或(6, 2) ．
34 ．(1)B ，C，E；B
(2)H 点的坐标为(4, 2)
(3)P 点的坐标为(4, 2) 或(12, 6)
【分析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离 公式和勾股定理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的 关键．
（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到 O，A 的距离，根据等距点和完美等距点做 出判断；
（2）设出 H 点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；
（3）假定存在，设出 N 点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程 可得结论．
: OB = AB
:B 是线段OA 的等距点；
: OC = AC
:C 是线段OA 的等距点；
: OD ≠ AD
:D 不是线段OA 的等距点；
: OE = AE
:E 是线段OA 的等距点； : OA = 6
: OB2 + AB2 = OA2 , OC2 + AC2 ≠ OA2 ，OD2 + AD2 ≠ OA2 , OE2 + AE2 ≠ OA2 :B 是线段OA 的完美等距点；
（2）:点P(m, n) 是直线y = x 上一动点
: m = ±4
:点 P 在第三象限， : P(-4, -2)
设 H 的坐标为(0, t)
解得：t = 4
:H 的坐标为(0, 4)
（3）存在；
:点 N 是线段OA 的“等距点” ， 点 A 的坐标为(6, 0) ， : ON = AN
:设 N 的坐标为(3, b)
∵点P(m, n) 是直线上一动点
∵点 N 为线段OP 的“完美等距点”， : ON = PN
解得b = m - 6
∵点 N 为线段OP 的“完美等距点”， : ON 丄 PN
: △OPN 为等腰直角三角形 : OP = ON
解得m = 4 或m = 12
:P 点的坐标为(4, 2) 或(12, 6) ；
35 ．(1) 3 ，2
(3)d1 = d2 < d3
【分析】（1）过 E 作EH 丄 OC 于H , 由D(-3, 0) , 可得d (D, 菱形OABC) = OD = 3 , 而
E (0, 4), 上AOC = 60° , 有 故d (E , 菱形OABC) = EH = 2 ；
（2）①当图象L 经过点B 时, 知-2k + 6 = 0 ,K = 3, 当图象L 经过点C 时, 2k + 6 = 0 , 得 k = -3 , 由一次函数的图象和性质可知, d (L,△ABC ) = 0 , 则k 的取值范围为k ≥ 3 或k ≤ -3 ； @如图, 设图象L 与y 轴交于D , 与x 轴交于F , 作AE 丄 L 于点E , y = kx + 6 中, 令x = 0 ,
得(0, 6) , 根据d(L,ABC ) = 2, 知DE = AD, 故上DAE = 30° , 从而上DFO = 30° , 即得 F (-6,0)，用待定系数法可得
（3）令x = 4n , y = 6 - 4n , 可得P(4n, 6 - 4n)在直线y = -x + 6 上，设直线y = -x + 6 与x 轴交 于点E ，与y 轴交于点D , 然后根据勾股定理计算即可.
【详解】（1）过 E 作EH丄 OC 于H , 如图:
QD(-3,0), E (0,4) ，
:OD = 3, OE = 4 ，
由题意知, d (D ，菱形OABC) = OD = 3, Q 上AOC = 60° ,
:上EOH = 30° ,
∴d (E , 菱形OABC) = EH = 2 ， 故答案为：3 ，2 ；
（2）①图象L 经过点B 或点C 时，图象L 与 △ABC 只有一个交点,符合d(L,△ABC ) = 0, 当图象L 经过点B 时，
将B(-2, 0) 代入y = kx + 6 , 得-2k + 6 = 0 , 解得k = 3 ,
当图象L 经过点C 时，
将C(2, 0) 代入y = kx + 6 , 得2k + 6 = 0 , 解得k = -3 ,
由一次函数的图象和性质可知，当k > 3 或k < -3 时，图象L 与 △ABC 有两个交点, 满足 d (L,△ABC ) = 0 ,
∴ k 的取值范围为k ≥ 3 或k ≤ -3 ；
②如图, 设图象L 与y 轴交于D , 与x 轴交于F , 作AE 丄 L 于点E .
y = kx + 6 中, 令 x = 0, 得 y = 6,
: D (0, 6) ,
: AD = OD - OA = 6 - 2 = 4 ，
:上DAE = 30° ,
:上ADE = 60° ,
:上DFO = 30° ,
:F (-6,0)，
将 F (-6,0)代入 y = kx + 6, 得 -6 k + 6 = 0, 解得
故答案为： ；
（3）解：:点P(4n, 6 - 4n)为平面内一点， 令x = 4n ，y = 6 - 4n ，则 y = -x + 6 ，
:点P(4n, 6 - 4n)在直线y = -x + 6 上，
设直线y= -x + 6 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点D ,
当x = 0 时，y = 6 ；当 y=0 时，-x + 6 = 0 ，解得 x = 6 ， : OD = OE = 6 ，上ODE = 上OED = 45°
又∵ OA = OC = OB = 2 ， : AD = CE = 4
:当AP 丄 DE 时 ，距离最小，这时 AP = DP = AD = 2 ， 2
: d1 = 2 ，
同理得到d2 = 2 ，d3 = 4 ， : d1 = d2 < d3 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理等知 识，解题的关键是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题．
【分析】（1）求出 A (çè - , 0 ，B (0, 4) ，得出 即可得出答案；
①由 得出直线解析式为y = x + 4 ，作 CM 丄 x 轴于M ，DN 丄 x 于N ，证 明 △DON≌△OCM ，得出 推出 代入函数解析式，计算出m 的值即可得解；@由①可知D(çè , ，C (çè - , ，B (0, 4) , 根据已知求出求出上DOE = 上OCB = 45。， = ，
12
再由OC = OD ,可得 OE = BC = ·、5 ,可将 E 点分两种情况，分别求出OE 解析式，结合两
5
点间距离公式列出方程，即可得解．
【详解】（1）解：在 y = kx + 4 中，当x = 0 时，y = 4 ，即B(0, 4) ，
: Ð AOB 的“度比坐标”为(çè 90。, ；
解 :直线解析式为 ，
如图，作CM 丄 x 轴于M ，DN 丄 x 于N ，
,
: 上OMC = 上OND 设
: 上COD 的“度比坐标”为(90。,1)， : 上COD = 90。， = 1 ，
: 上COM + 上DON = 90。，OC = OD ，
: 上COM + 上MCO = 90。， : 上DON = 上MCO ，
在△DON 和 △OCM 中，
ï
ì上OMC = 上OND
í上OCM = 上DON ， ïlOC = OD
: △DON≌△OCM (AAS)，
: MC = ON = m ，OM = DN = m + 4 ，
( 1 ö
: Cçè - 2 m - 4, m,÷ ,
代入直线 得 解得：m = ，
( 8 24 ö ( 24 8 ö
: D çè 5 , 5 ,÷ , C çè - 5 , 5 ,÷ ,
②由①可知D(çè , ，C (çè - , ，B (0, 4) ,
: 上DOE 的“度比坐标”与上OCB 的“度比坐标”相等，
又: OC = OD ,
当点 E 在第二象限时，OE 平分上COD , : OC = OD ,
: OE 丄 BC ,
则OE 所在的直线经过CD 的中点 F,
则
( 8 16 ö
设OE 所在的解析式为y = k1x ,将Fçè - 5 , 5 ,÷ 代入解析式得：k1 = -2 , : OE 所在的解析式为y = -2x ,
解得n = - (正值已舍)
则
当点 E 在第一象限时，上DOE = 上OCB = 上CDO = 45。， 则OE ∥ CD ,
: OE 所在的解析式为
解得 负值已舍)
则
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【分析】（1）过点 A 作AD ^ BC 于点 D，根据 A(-2, 3) ，B (-2, -1) ，C (1, 3)，得出
根据等积法求出 即可得出答案；
（2）求出直线 BC 的解析式为： 把y = 1代入得 求出 , 根据线段DE 与△ABC 之间的“关联距离”d(DE,△ABC ) = 0 ，求出n = 3 - (çè - = 3 即可；
（3）根据D(m, -2) ，E (m + 2, -4)，得出当-2 ≤ m ≤ 3 时，线段DE 在线段D1E1 和D2E2 之间， 根据y = kx - 2k = k (x - 2)，得出直线 y = kx - 2k 过定点(2, 0) ，画出图形，根据
d (DE, 直线y = kx - 2k ) > 0 ，得出结果即可．
【详解】（1）解：过点 A 作AD ^ BC 于点D，如图所示：
∵ A(-2, 3) ，B (-2, -1) ，C (1, 3)，
: AC = 1- (-2) = 3 ，AB = 3 - (-1) = 4 ，
上BAC = 90。，
∵垂线段最短，
（2）解：∵ D (3,1) ，E (5,1)， : DE 在直线y = 1上，
设直线BC 的解析式为：y = kx + b (k ≠ 0)，把B(-2, -1) ，C (1, 3) 代入得：
解得： ，
:直线BC 的解析式为 把y = 1代入得 解得： ，
:线段DE 与△ABC 之间的“关联距离”d(DE,△ABC ) = 0 ， :线段DE 向左平移的距离为
（3）解：: D (m, -2) ，E (m + 2, -4)，
:当m = -2 时D1 (-2, -2) ，E1 (0, -4)， 当m = 3 时D2 (3, -2) ，E2 (5, -4)，
:当-2 ≤ m ≤ 3 时，线段DE 在线段D1E1 和D2E2 之间， : y = kx - 2k = k (x - 2)，
:直线y = kx - 2k 过定点(2, 0) ，如图所示：
把D1 (-2, -2) 代入y = kx - 2k 得：-2 = -2k - 2k ， 解得：
把E2 (5, -4) 代入y = kx - 2k 得：-4 = 5k - 2k ， 解得： ，
根据图可知，当 且k ≠ 0 时，d (DE, 直线y = kx - 2k ) > 0 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数的解析式，坐标与图形，三角形 面积公式，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质．
38 ．(1)①④
(2)①B(-1.25,1.25) 或(-3.5, 3.5) ；@ -7 ≤ t ≤ -2 或1≤ t ≤ 6 ．
【分析】（1）m 的两个端点坐标分别为(1, 2) 和(3, -2)，根据定义计算检验即可；
（2）①根据解析式得A(-2, 2) ，当 t = -1 时，M (-1, 0) ，N(0,1) ，待定系数法确定直线 MN 解析式为y = x + 1 ，联立y = -x ，求解交点即等差点坐标为(-0.5, 0.5) ；设点B(a, -a) ，根据定 义求解；
@如图，点B 横坐标为 2，可知 A(-2, 2) ，B(2,-2), C(-2,-2), D(2, 2) ，M (t，0) ，N(t +1，1) ，分 别在 x 轴、直线y = 1上，如图，正方形上两点(2, 2), (-2,1.75) 的一个等差点为(-6,1) ，点N(t +1，1) 位于N1 (-6,1) 时，t 取最小值，t = -7 ；正方形上两点(-2, 2), (2,1) 的一个等差点为(6, 0) ，点
M (t，0) 位于M4 (6, 0) 时，t 取最大值，t = 6 ；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方 形内部，故t ≤ -2 ，或，t ≥ 1，所以 -7 ≤ t ≤ -2 或1≤ t ≤ 6 ．
【详解】（1）解：m 的两个端点坐标分别为(1, 2) 和(3, -2)
① P1 (-1，6) ：:-1-1 = 1-3, 6 - 2 = 2 - (-2)
: P1 (-1，6) 是等差点；
@ P2 (2，0) ：: 2 -1 ≠ 1-3, 且2 -3 ≠ 3-1
: P2 (2，0) 不是等差点；
③ P3 (4, -4) ：: 4 -1 ≠ 1-3 ，且 4 -3 ≠ 3-1 : P3 (4, -4) 不是等差点；
④ P4 (5, -6) ：: 5-3 = 3-1 且-6 - (-2) = (-2) - 2
: P4 (5, -6) 是等差点．
故答案为①④ .
（2）解：①:点 A 直线y= -x 上，横坐标为-2 ， : A(-2, 2)
当t = -1 时，M (-1, 0) ，N(0,1)
设直线MN 解析式为y = kx + b(k ≠0) ，则
解得 ，
∴直线MN 解析式为y = x + 1，联立y= -x ，得
解得
∴交点即等差点坐标为(-0.5, 0.5) ；
设点B(a, -a) ，则-0.5- a = a - (-2), 或-0.5- (-2) = (-2) - a ，解得 a = -1.25 或a = -1.75 ∴ B(-1.25,1.25) 或(-3.5, 3.5) ；
②如图，点B 横坐标为 2，以 AB 为对角线构造正方形ACBD ，可知 A(-2, 2) ，
B(2,-2), C(-2,-2), D(2, 2) ，M (t，0) ，N(t +1，1) ，分别在 x 轴、直线y = 1上，
如图，根据等差点定义知，正方形上两点(2, 2) , (-2,1.5) 的一个等差点为(-6,1) ，点N(t +1，1) 位于N1 (-6,1) 时，t 取最小值，t +1= -6 ，t = -7 ；
如图，正方形上两点(-2, 2), (2,1) 的一个等差点为(6, 0) ，点M (t，0) 位于M4 (6, 0) 时，t 取最大值， t = 6 ；
正方形ACBD 的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部， 故t ≤ -2 ，或t + 1 ≥ 2 ，即 t ≥ 1，
综上，-7 ≤ t ≤ -2 或1≤ t ≤ 6 ．
【点睛】本题考查正方形性质， 一次函数，待定系数法，理解新定义是解题的关键，注意动 态问题的多情况分析．