2024-2025学年暑假作业09一次函数与方程、不等式[3个知识点+7个题型+创新题型]-八年级数学暑假提升

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作业 09 一次函数与方程、不等式
【知识点 1 一次函数与一元一次方程的关系】
1 ．一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当 y=0 时的值 Û 方程 kx+b=0（k≠0）的解．
（2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标 Û 方程 kx+b=0（k≠0） 的解
2 ．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解． 【拓展】
方程 kx+b=n（k≠0）的解 Û 函数y=kx+b（k≠0）中，y=n 时的值；方程 kx+b=n（k≠0）的解 Û 函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线 y=n 的交点的横坐标．
【知识点 2 一次函数与一元一次不等式的关系】
因为任何一个一元一次不等式都可以变形为kx + b > 0 或kx + b < 0(k ≠ 0) 的形式，所以解一元 一次不等式可以看成求一次函数y = kx + b 的函数值大于 0 或小于 0 时，自变量的取值范围． 一次函数y = kx + b 与一元一次不等式kx + b > 0 （或 kx + b < 0 ）的关系如下：
一次函数与一元一次 不等式的关系
数的
角度
不等于kx + b > 0(k ≠ 0) 的解集 Û 在函数y = kx + b(k ≠ 0) 中， y>0 时的取值范围
不等式kx + b < 0(k ≠ 0) 的解集 Û 在函数y = kx + b(k ≠ 0) 中， y 0(k ≠ 0) 的解集 Û 直线y = kx + b(k ≠ 0) 在 x 轴 上方的部分所对应的的取值范围
【拓展】
直线y1 = k1x + b1 与直线y2 = k2x + b2 的交点的横坐标即为方程k1x + b1 = k2x + b2 的解；不等式
y1 > y2 （或 y1 < y2 ）的解集就是直线 y1 = k1x + b1 在直线y2 = k2x + b2 上（或下）方部分对应
的的取值范围．如图所示，方程k1x + b1 = k2x + b2 的解为x = a ；不等式k1x + b1 > k2x + b2 的解
集为x > a ；不等式k1x + b1 < k2x + b2 的解集为x < a ．
【知识点 3 一次函数与二元一次方程组的关系】
1．二元一次方程组 , （a1, b1, a2, b2 都不为 0，且a1 , b1 , a2 , b2 ，c1, c2 都是常数）的
解是一次函数y = - x + 和 图象的交点坐标．
【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次 方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条 直线．
2 ．用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组 化为一次函数y = k1x + b1 与y = k2x + b2 ．
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象．
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标．
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解．
【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解．
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条
ìy - x -1 = 0
重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解．如 íly - x + 2 = 0 ,
不等式kx + b < 0(k ≠ 0) 的解集 Û 直线y = kx + b(k ≠ 0) 在 x 轴 下方的部分所对应的的取值范围
的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型 1 图象法求一元一次方程的解】
1 ．如图，已知一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象分别与 x，y 轴交于 A ，B 两点，若OA = 2 ， OB = 1，则关于 x 的方程kx + b = 0 的解为( )
A ．x = -1 B ．x = 1 C ．x = -2 D ．x = 2
2 ．如图，一次函数y = kx + b 与y = x + 1 的图象相交于点P(m, 2) ，则关于x 的方程kx + b = 2 的解是( )
A ．x = 1 B ．x = 2 C ．x = 3 D ．x = 4
3 ．如图，已知直线y = ax - b ，则关于x 的方程ax - b = -1的解为 ．
4 ．根据一次函数 y ＝kx+b 的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于 x 的方程 kx+b ＝0 的解；
（2）代数式 k+b 的值；
（3）关于 x 的方程 kx+b ＝ -3 的解．
【题型 2 代数法求一元一次方程的解】
5 ．若一次函数y = kx + b （k 为常数且k ≠ 0 ）的图象经过点(-3, 0)，则关于 x 的方程 2kx - 5k + b = 0 的解为 ．
6 ．若一次函数y = kx - b （k 为常数且k ≠ 0 ）的图像经过点(-3, 0)，则关于x 的方程 k (x - 7) - b = 0 的解为( )
A ．x = -5 B ．x = -3 C ．x = 4 D ．x = 5
7 ．一次函数y = kx + b 的图象与x 轴交于点A(-3,0)，则关于x 的方程-kx + b = 0 的解为 ( )
A ．x = 3 B ．x = -3 C ．x = 0 D ．x = 2
8 ．若直线y = kx + b （k，b 是常数，k ≠ 0 ），过点A(3, 2) ，则关于 x 的方程kx + 2k + b = 2 的 解为 ．
【题型 3 图象法解不等式（组）】
9 ．在平面直角坐标系中，一次函数y1 = kx + b (k ≠ 0) 与y2 = mx + n (m ≠ 0) 的图象如图所示， 则关于 x 的不等式kx + b > mx + n 的解集为( )
A ．x < 1 B ．x > 1 C ．x < 3 D ．x > 3
10 ．若函数y = kx - b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式k(x - 2) - b > 0 的解集是( )
A ．x < 2 B ．x > 2 C ．x < 4 D ．x > 4
11 ．如图，函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象经过点B(2, 0) ，与函数 y = 2x 的图象交于点A ，则 不等式0 < kx + b < 2x 的解集为( )
A ．0 < x < 1 B ．x > 1 C ．x > 2 D ．1 < x < 2
12 ．如图，一次函数y1 = kx + b 图象经过点 A(2, 0) ，与正比例函数y2 = 2x 的图象交于点B ， 则不等式0 < b 0 B ．x >1 C ．1 < x < 2 D ．0 < x < 1
13 ．已知一次函数y1 = kx +2(k ≠0) 和y2 = -2x + a （a 为常数）的图象如图所示，则关于 x 的不等式(k +2)x > a - 2 的解集为( )
A ．x > 1 B ．x > 3 C ．x < 1 D ．x < 3
【题型 4 由不等式关系结合图像求参】
14．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = kx + 2 的图像与 x 轴交于点A(m, 0)，当x ≤ 3 时， 不等式kx + 2 > 2x -1 恒成立，则 m 的取值范围是( )
A ．m < -1 B ．-2 < m ≤ -1 C ．-2 ≤ m < -1 D ．m > -2
15．已知直线y1 = kx + b 和直线y2 = 2x + m 相交于点A(1, -1) ，且当x > 1 时，总有y1 < y2 成立， 则实数b 的取值范围是( ).
A ．b ≤ 2 B ．0 < b < 2 C ．b > -3 D ．b ≤ -3
16．在平面直角坐标系中，一次函数y1 = k(x +1) - 3, (k ≠ 0) 和y2 = n(x - 3) + 2, (n ≠ 0) ，无论
x 取何值，始终有y2 > y1 ，则 n 的取值范围为( )
A ． B ． C ．n ≤ 且n ≠ 0 D ． 且n ≠ 0
17 ．已知一次函数y1 = mx + 3m -1(m ≠ 0) ，y2 = k (x - 2) + 2(k ≠ 0) ，若无论x 取何值，始终 有y2 > y1 ，则 m 的取值范围是 ．
【题型 5 图象法解二元一次方程组】
18 ．如图，已知函数y = ax + b 和y = kx 的图象交于点 P，则根据图象可得，关于 x、y 的二
元一次方程组 的解是 ( )
A ． B ． C ． D ．
19 ．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 和y = mx + n (m ≠ 0) 相交于点
(2, -1) ，则关于 x ，y 的方程组 的解是 ( )
A ． B ． C ． D ．
20 ．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = x + m 与y = nx +1 的图象分别与y 轴交于点
(0, 4) ，(0,1) ，则关于 x ，y 的二元一次方程组的解为 ( )
A ． B ．
C ． D ．
21 ．如图，一次函数 的图象与y = kx + b 的图象相交于点P(2, n) ，则关于 x，y
的方程组 的解是 ( )
B ．
C ．
D ．
【题型 6 一次函数与方程、不等式多结论问题】
22 ．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y = ax + b 与y = mx + n (a < m < 0) 的图象如 图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y = ax + b 的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；
②方程组 的解为 ， ③当x = 0 时，ax + b = -1；
④方程mx + n = 0 的解为x = 2 ；
⑤不等式mx + n ≥ ax + b 的解集是x ≥ -3 ． 其中结论正确的个数是( )
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
23．一次函数y = mx + n 与y = ax + b 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有
下列五个结论：① a > 0 ；② n < 0 ；③方程mx + n = 0 的解是x = -2 ；④不等式ax + b > 3 的 解集是x > -3 ；⑤不等式0 0 ；③方程ax + 2 = mx + n 的解是x = -2 ；④若mx + n < ax + 2 < 0 ，
则 其中正确的结论个数是 ( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1
25 ．在同一平面直角坐标系中，一次函数y = ax + b 与y = mx + n (a < m < 0) 的图象如图所 示．丽丽根据图象得到如下结论：①在一次函数y = ax + b 的图象中，y 的值随着 x 值的增 大而增大；②方程组 的解为 ；③方程mx + n = 0 的解为x = 2 ；④当x = 0 时，ax + b = -1 ．其中结论正确的个数是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1
26 ．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y = kx + b （ k ，b 为常数， 且k < 0 ）的图像交x 轴于点(5, 0)，且与直线 都经过点A(3,1) ，下列结论
①关于x 的一元一次方程kx + b = 0 的解为x = 5 ；
( 5 ö
②直线y = kx + b 与y 轴交于点çè0, 2 ,÷ ;
③当kx + b > x 时，x > 3 ；
④方程组 的解为 其中正确的结论有 ( )
A ．①④ B ．③④ C ．①②③ D ．①②④
【题型 7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】
27．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验．对函数y = x - 2 的图象和性质进综合行 了研究．探究过程如下，请补充完整．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
4
m
2
1
0
1
2
3
…
(1)自变量x 的取值范围是全体实数．如表是y 与x 的几组对应值，其中，m = ______；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数 图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是______；当 x < 2 时，y 随x 的增大而 ______；
(4)进一步探究：
①不等式x - 2 ≥ 2 的解集是______；
@若关于x 的方程 x - 2 = kx (k ≠ 0) 只有一个解，则k 的取值范围是______．
28 ．如图：
(1)【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质— 应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y = 2 x - 2 - 2 ，下表是 y 与 x 的几组对应值：
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
① a = ．
@描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出 该函数的一条性质： ．
(2)【拓展应用】
①若点A(m, p) ，B (n, p) 均在该函数图象上，请写出 m ，n 满足的数量关系： ． @结合函数y = 2 x - 2- 2 的图象，请写出不等式2x - 2- 2 > x -1 的解集： ．
29．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关 系课题时，对函数y =| x +1| 的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充 完整：
(1)上表是y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整：表格中m 的值为 ，n 的值为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象．
(3)请观察函数的图象，直接写出如下结论：
① 当自变量x = 时，函数的最小值为 ；
② 方程| x +1|> 2 的解集为 ；
③ 函数y =| x +1| 与y = - x + m 的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是(1, 2) 和(a,3) ．当
时，直接写出不等式的解集．
y
…
6
4
2
0
-2
a
2
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
1
0
1
2
3
n
5
6
…
30 ．某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数y = a x + bx + c （a, b, c 是常数， a ≠ b ） 的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
(1)当a = 1 ，b = c = 0 时，即y = x ．当x ≥ 0 时，y = x ；当 x < 0 时，y = __________．
(2)当a = -2 ，b = 1 ，c = 3 时，即y1 = -2x + x + 3 ．
①该函数自变量x 和函数值y1 的若干组对应值如下表：
其中m = __________．
②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数y1 = -2x + x + 3 ，结合图像写出该函数的一条 性质__________．
③已知函数y2 = mx + n (m > 0) 的图像是一条经过点(1, 0) 的直线，则关于x 的不等式 (-2 x + x + 3 )(mx + n) < 0 的解集是__________．
31 ．定义：我们把一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 与正比例函数y= -x 的交点称为一次函数
ly = -x
y = kx + b (k ≠ 0) 的“关联点” ．例如求y = 2x + 3 的“关联点”：联立方程 íìy = 2x +3, ，解得
x
…
-2
-1
0
1
4
…
y1
…
-3
m
3
2
-1
…
ìx
= -1
í
ly
=1
,则 y = 2x + 3 的“关联点”为(-1,1) ．
①一次函数y = 3x + 4 的“关联点”为(-1,1) ；
②若一次函数y = mx + n 的“关联点”为(2, n -1) ，则
③若一次函数y = 3x + 4 和一次函数y = kx + 3 的“关联点”相同，则k = 2 ；
④若一次函数y = kx - 3 的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且一次函数y = kx - 3 上 没有“关联点”，若 P 点为x 轴上一个动点，使得S△△ABO ，则点P 的坐标为
(-1.5, 0) ．以上说法正确是( )
A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④
32 ．定义：对于实数a, b (a ≠ b) ，min {a, b}表示a ，b 两数中较小的数，如min{-1, 2} = -1， 若关于x 的函数y = min {2x + 1, -3x + 2}，且 y > -2 ，则x 的取值范围是 ．
33 ．新定义：对于两个实数a 、b ，我们用 max{a, b} 表示这两个数中最大的数，即
对于函数y = max{2x -1, -x + 2}：
（1）当 x = 1 时，y = ；
（2）若过定点的直线y = kx + 3k -1 与函数y = max{2x -1, -x + 2} 的图象有两个交点，则k 的 取值范围是 ．
34．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(a, b)，点P 的“变换点”P1 的坐标定义如下：当a ≥ b 时，点P1 坐标为(a, -b) ；当 a < b 时，点P1 坐标为(b, -a ) ．线段 上 所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线y = kx + 4 与组成的新的图形有两个交点，则k 的取值范围是 ．
35 ．对于平面直角坐标系xOy 中第一象限内的点P(x, y) 和 △ABC ．已知A(1，2) ，B (3，1) ， C (2, 3)，给出如下定义：过点 P 作 x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为 M．N，若 △ABC 中的任 意一点Q(a, b) 满足a ≤ x ，b ≤ y ，则称四边形PMON 是△ABC 的一个覆盖，点 P 为这个覆 盖的一个特征点．例如P(4，5) ，P1 (3，3) 就是 △ABC 的某两个覆盖的特征点．若直线
l：y = mx + 5(m < 0) 的图象上存在 △ABC 覆盖的特征点，则 m 的取值范围是 ．
1 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．根据一次函数与x 轴交点坐 标可得出答案．
【详解】解：: OA = 2 ， : A(-2, 0) ，
:一次函数y = kx + b 的图象与x 轴交于点A(-2, 0) ， :当y = 0 时，x = -2 ，即 kx + b = 0 时，x = -2 ，
:关于x 的方程kx + b = 0 的解是x = -2 ．
故选：C．
2 ．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将 点P(m, 2) 代入一次函数y = x + 1可得m = 1，从而可得点 P 的坐标为P(1, 2) ，再将点P(1, 2) 代入一次函数y = kx + b 可得k + b = 2 ，由此即可得．
【详解】解：由题意，将点P(m, 2) 代入一次函数y = x + 1得： m +1 = 2 ，解得 m = 1， :点P 的坐标为P(1, 2) ，
:点P(1, 2) 在一次函数y = kx + b 的图象上， : k + b = 2 ，
:关于x 的方程kx + b = 2 的解是x = 1 ， 故选：A．
3 ． x = 0
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次 函数的图象可得当x =0 时，y = -1，由此即可得．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当x =0 时，y = -1，
则关于x 的方程ax - b = -1的解为x = 0 ， 故答案为：x = 0 ．
4 ．（1）x ＝2；（2） -1；（3）x ＝ -1．
【分析】（1）利用函数图象写出函数值为 0 时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出 x ＝1 时对应的函数值即可
（3）利用函数图象写出函数值为-3 时对应的自变量的值即可．
【详解】解：（1）当 x ＝2 时，y ＝0， 所以方程 kx+b ＝0 的解为 x ＝2；
（2）当 x ＝1 时，y ＝ -1 ， 所以代数式 k+b 的值为 -1；
（3）当 x ＝ -1 时，y ＝ -3，
所以方程 kx+b ＝ -3 的解为 x ＝ -1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．
5 ． x = 1
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征与一元一次方程的求解，熟练掌握函 数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
先利用一次函数图象上点的坐标特征得出k 与b 的关系，再代入方程求解．
【详解】解：Q 一次函数y = kx + b （k 为常数且k ≠ 0 ）的图象经过点(-3, 0)
:-3k + b = 0 ，即 b = 3k
Q 方程为2kx - 5k + b = 0 ，把b = 3k 代入
:2kx - 5k + 3k = 0 ，即 2kx - 2k = 0 Qk ≠ 0 ，等式两边同时除以 2k
:x = 1
故答案为：x = 1
6 ．C
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由
y = k(x - 7) - b 与y = kx - b 可得直线y = kx - b 向右平移 7 个单位得到直线y = k(x - 7) - b ，从而 可得直线y = k(x - 7) - b 与x 轴交点坐标，进而求解．
【详解】解：直线 y = k(x - 7) - b 是由直线y = kx - b 向右平移 7 个单位所得， Q y = kx - b 与x 轴交点为(-3, 0) ，
:直线y = k(x - 7) - b 与x 轴交点坐标为(4, 0) ，
:k(x - 7) - b = 0 的解为x = 4 ， 故选：C．
7 ．A
【分析】先根据一次函数y = kx + b 的图象与x 轴交于点A(-3,0)，求出 b = 3k ，然后解方程 即可．
【详解】解：Q 一次函数y = kx + b 的图象与x 轴交于点A(-3,0)，
:-3k + b = 0 ， :b = 3k ，
Q -kx + b = 0 ，
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，正确求出b = 3k 是解题的关 键．
8 ． x = 1
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据直线y = kx + b 过点A(3, 2) ，得出
2 = 3k + b ，把 2 = 3k + b 代入方程kx + 2k + b = 2 ，整理得出k(x -1) = 0 ，根据 k ≠ 0 ，得出 x -1 = 0 ，求出 x 的值即可．
【详解】解：∵直线y = kx + b 过点A(3, 2) ， : 2 = 3k + b ，
把2 = 3k + b 代入kx + 2k + b = 2 得：kx + 2k + b = 3k + b ， 整理得：k (x -1) = 0 ，
∵ k ≠ 0 ，
: x -1 = 0 ，
解得：x = 1 ．
故答案为：x = 1 ．
9 ．B
【分析】本题考查一次函数与不等式，直接利用图象法，找到直线y1 = kx + b (k ≠ 0 ) 在直线 y2 = mx + n (m ≠ 0) 上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知：不等式 kx + b > mx + n 的解集为x > 1 ； 故选 B．
10 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据函 数图象可得函数y = kx - b 与 x 轴的交点坐标为(2, 0) ，且 y 随 x 增大而减小，再由函数
y = k (x - 2) - b 是函数函数y = kx - b 向右平移 2 个单位长度得到的，可得函数
y = k (x - 2) - b 与 x 轴的交点坐标为(4, 0) ，且 y 随 x 增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：由函数图象可知，函数 y = kx - b 与 x 轴的交点坐标为(2, 0) ，且 y 随 x 增大而 减小，
∵函数y = k (x - 2) - b 是函数函数y = kx - b 向右平移 2 个单位长度得到的， :函数y = k (x - 2) - b 与 x 轴的交点坐标为(4, 0) ，且 y 随 x 增大而减小， :关于 x 的不等式k(x - 2) - b > 0 的解集是x < 4 ，
故选：C
11 ．D
【分析】先利用正比例函数解析式确定 A 点坐标，然后观察函数图象得到，当x > 1 时，直 线y = 2x 都在直线y = kx + b 的上方，当x < 2 时，直线y = kx + b 在 x 轴上方，于是可得到不 等式0 < kx + b < 2x 的解集．
【详解】设 A 点坐标为(x, 2) ，
把A(x, 2) 代入y = 2x ， 得2x = 2 ，解得 x = 1 ， 则 A 点坐标为(1, 2) ，
所以当x > 1 时，2x > kx + b ，
∵函数y = kx + b(k ≠ 0) 的图象经过点B(2, 0) ， : x < 2 时，kx + b > 0 ，
:不等式0 < kx + b < 2x 的解集为1< x < 2 ． 故选：D
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次 函数y = ax + b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确 定直线y = kx + b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12 ．B
【分析】本题主要考查两直线交点求不等式的解集，当x >1 时，直线y＝2x 都在直线y = kx + b 的上方，于是可得到不等式0 < b 1 时，2x > kx + b ， :b < (2 - k)x 的解集为x >1，
:一次函数y1 = kx + b 图象交y 轴的正半轴， : b > 0 ，
:不等式0 < b 1．
故选：B．
13 ．A
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一 次不等式， 由图象可以知道，当 x > 1 时，直线 y1 = kx +2(k ≠0) 在直线 y2 = -2x + a 的上方， 即可得出答案．
【详解】解：两条直线的交点坐标为 (1, 3)，且当 x > 1 时，直线y1 = kx +2(k ≠0) 在直线 y2 = -2x + a 的上方，
故关于 x 的不等式(k +2)x > a - 2 的解集为x > 1 ．
故选：A．
14 ．B
【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到 再结合
当x ≤ 3 时，不等式kx + 2 > 2x -1 恒成立，得到(k - 2)x + 3 > 0 ，对 k - 2 进行讨论得到 1 < k ≤ 2 ，进而得到 m 的取值范围，即可解题．
【详解】解：Q 一次函数y = kx + 2 的图像与 x 轴交于点A(m, 0)，
: km + 2 = 0 ，
整理得 ，
Q 当x ≤ 3 时，不等式kx + 2 > 2x -1 恒成立， 整理得(k - 2)x + 3 > 0 ，
当k - 2 > 0 时，有 与当x ≤ 3 时，不等式kx + 2 > 2x -1 恒成立矛盾， 当k - 2 = 0 时，有2 > -1 ，即当 x ≤ 3 时，不等式kx + 2 > 2x -1 恒成立，所以 k = 2 ， : k - 2 < 0 ，即 k < 2 ，有 ，
即 解得k >1， 综上1< k ≤ 2 ，
即 解得-2 < m ≤ -1， 故选：B．
15 ．C
【分析】先把 A 点坐标分别代入两个解析式得到y1 = (-b -1)x + b ，y2 = 2x - 3 ，令y1 < y2 ， 即(-b -1)x + b < 2x - 3 ，整理得(b + 3)x > b + 3 ，根据不等式的性质，要满足不等式的解集 为x > 1 ，则b + 3 > 0 ，从而得到 b 的取值范围．
【详解】解：把 A(1, -1) 代入y2 = 2x + m 得2 + m= -1，解得 m = -3 ，
把A(1, -1) 代入y1 = kx + b 得k + b = -1，解得 k = -b -1，
: y1 = (-b -1)x + b ，y2 = 2x - 3 ，
当y1 < y2 时，即(-b -1)x + b < 2x - 3 ， 整理得(b + 3)x > b + 3 ，
:不等式的解集为x > 1 ，
: b + 3 > 0 ， 解得b > -3 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数值的大小建立不等式，然后 利用不等式的性质确定 b 的范围．
16 ．D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关 键．先判断两直线平行，始终有y2 > y1 ，求解当 y2 = n(x - 3) + 2, (n ≠ 0) 过(-1, -3) 时，
,再利用数形结合的方法解题即可．
【详解】解：由题意可知：∵一次函数y1 = k(x +1) - 3, (k ≠ 0) 的图象过定点(-1, -3) ，
一次函数y2 = n(x - 3) + 2, (n ≠ 0) 过定点(3, 2) ，
∵无论x 取何值，始终有y2 > y1 ，
:两直线平行，才会始终有y2 > y1 ， : k = n ，
当y2 = n(x - 3) + 2, (n ≠ 0) 过(-1, -3) 时， :-4n + 2 = -3 ，
解得： ，
此时两条直线相交，
如图，
: n < 且n ≠ 0 ，
当n ≥ 时，如图，不符合题意；
故选：D
17 ． 且m ≠ 0
【分析】本题考查一次函数的图象及性质．
由题意可知y1 ∥y2 ，且 y2 在y1 的上方，则 即可求得 m 的取值范围． 【详解】解：∵无论 x 取何值，始终有y2 > y1 ，
:两条直线平行且y2 在y1 的上方，
∵ y1 = mx + 3m -1(m ≠ 0) ，y2 = k (x - 2) + 2 = kx - 2k + 2(k ≠ 0)，
解得
:m 的取值范围是 且m ≠ 0 ．
故答案为 且m ≠ 0 ．
18 ．C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元 一次方程组的解．
【详解】解：根据函数图象可知，
函数y = ax + b 和y = kx 的图象交于点P 的坐标是(-3,1) ，
故关于x ，y 的二元一次方程组 的解是 ， 故选：C
19 ．B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，依据直线y = kx + b (k ≠ 0) 和 y = mx + n (m ≠ 0) 相交于点(2, -1) ，就可得出关于 x,y 的方程组的解．
【详解】解：∵直线y = kx + b (k ≠ 0) 和y = mx + n (m ≠ 0) 相交于点(2, -1) ，
:关于 x，y 的方程组 的解是 故选：B．
20 ．A
【分析】本题主要考查了一次函数图象平移问题，坐标与图形变化——平移，两直线的交点 与二元一次方程组的解等知识点，利用一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律推出 “一次函数y= x + m - 3 的图象与y 轴交于点(0,1) ”是解题的关键．
由一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律可得，一次函数y= x + m - 3 的图象与y 轴交于点(0,1) ，而一次函数y = nx +1 的图象与y 轴也交于点(0,1) ，于是可得一次函数
y = x + m - 3 与一次函数y = nx +1 图象的交点为(0,1) ，进而可得关于 x ，y 的二元一次方程
组 的解．
【详解】解：Q 一次函数y = x + m 的图象与y 轴交于点(0, 4) ，
将一次函数y = x + m 的图象向下平移3 个单位得到一次函数y= x + m - 3 的图象，
:一次函数y = x + m - 3 的图象与y 轴交于点(0,1) ， 而一次函数y = nx +1 的图象与y 轴也交于点(0,1) ，
:一次函数y = x + m - 3 与一次函数y = nx +1 图象的交点为(0,1) ， :关于x ，y 的二元一次方程组的解为
故选：A ．
21 ．B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数 图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题．
先把P(2, n)代入 中计算出 n 的值，从而得到P(2,3) ，然后利用方程组的解就是 两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
解：把P(2, n)代入 得 即P(2,3) ，
∵一次函数 的图象与y = kx + b 的图象相交于点P(2,3) ，
∴关于 x，y 的方程组 的解为 故选：B．
22 ．C
【分析】根据一次函数的图象及性质, 一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项 判断即可解答．
【详解】解：∵由图象可知一次函数y = ax + b ，y 的值随着x 值的增大而减小； 故①错误；
∵由图象可知：一次函数y = ax + b 与y = mx + n (a < m < 0) 的图象相交点(-3，2)，
:方程组 的解为 ， 故②正确；
∵由图象可知：一次函数y = ax + b 与y 轴的交点为(0，- 2) ，
:当x = 0 时，ax + b = -2 ， 故③错误；
∵由图象可知：一次函数y = mx + n (a < m < 0) 与x 轴的交点为(2，0)，
:方程mx + n = 0 的解为x = 2 ， 故④正确；
∵由图象可知：一次函数y = ax + b 图象在y = mx + n (a < m < 0) 的图象下方的时x ≥ -3 ， 故⑤正确；
:正确的有3 个；
故选C ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式， 一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
23 ．C
【分析】根据一次函数y = ax + b 经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数y = mx + n 与 x 轴、y 轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤ .
【详解】解：∵一次函数y = ax + b 经过第一、二、三象限， : a > 0 ，故①正确；
∵一次函数y = mx + n 与y 轴交于负半轴，与 x 轴交于(-1, 0) ， : n < 0，方程 mx + n = 0 的解是x = -1 ，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式ax + b > 3 的解集是x > 0 ，故④不正确；
由函数图象可知，不等式0 0 ，n < 0 ，
:mn < 0 ，所以②错误；
Q 一次函数y = ax + 2 与y = mx + n 图象的交点坐标为(-2, -4)，
:x = -2 时，ax + 2 = mx + n ，所以③正确； 把(-2, -4) 代入y = ax + 2 得-4 = -2a + 2 ， 解得a = 3 ，
:一次函数y = ax + 2 的解析式为y = 3x + 2 ， 当y = 0 时，3x + 2 = 0 ，
解得 ，
:一次函数y = ax + 2 与 x 轴的交点坐标为
: 当 时，ax + 2 < 0 ，
: 当 时，mx + n < ax + 2 < 0 ，所以④正确． 故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交 点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键．
25 ．C
【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一 次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
由函数图象经过的象限可判断①,由两个一次函数图象的交点坐标可判断②,由一次函数 与坐标轴的交点坐标可判断③④,从而可得答案．
【详解】解：由一次函数y = ax + b 的图象过二，三，四象限，可知y 的值随着 x 值的增大 而减小，故①不符合题意；
由图象可得方程组 的解为 ，
即方程组 的解为 故②符合题意；
由函数图象可知，一次函数y = mx + n (a < m < 0) 与 x 轴交于(2, 0) ，
:方程mx + n = 0 的解为x =2 ，故③符合题意； 由函数图象可知，直线y = ax + b 过点(0, -2) ，
所以当x =0 时，ax + b = -2 ，故④错误，不符合题意；
综上：符合题意的有②③,共 2 个．
故选：C．
26 ．D
【分析】本题主要考查了根据一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，一次 函数与二元一次方程的关系，函数的图像中两条直线的交点坐标确定不等式的解集即可．根 据一次函数y = kx + b 的图像交x 轴于点(5, 0)，即可判断①；将 A(3,1), (5, 0) 代入直线
y = kx + b 求出解析式，令x =0 求出y 值，即可判断②；根据图像及连函数交点A(3,1) ，即 可判断③与④ .
【详解】解：Q 一次函数y = kx + b （k、b 为常数，且k < 0 ）的图像与x 轴于点(5, 0)， :x = 5 时，y = 0 ，
:关于x 的一元一次方程kx + b = 0 的解为x =5 ；故①正确； 将A(3,1), (5, 0) 代入直线y = kx + b ，则
解得：
:一次函数y = kx + b 的解析式为 ， 令x = 0 ，则 ，
:直线y = kx + b 与y 轴交于点 故②正确； Q 一次函数y = kx + b 与直线都经过点A(3,1) ， :方程组 的解为 故④正确；
由图像可知，当x < 3 时，一次函数y = kx + b 的图像在直线y = x 的上面，
:当 时，x 的取值范围是x < 3 ，故③错误；
故选：D．
27 ．(1) 3
(2)图见解析
(3) (2, 0) ，减小
(4)① x ≥ 4 或x ≤ 0 ；② k < -1 或k ≥ 1
【分析】（1）根据函数 y = x - 2 ，计算出当 x = -1 对应的函数值，从而可以求得m 的值；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象即可求得最低点坐标和增减性；
（4）①观察函数图象，去绝对值即可解一元一次不等式；②观察图象，分成k > 0 ，k < 0 两种情况时，找到正比例函数y = kx (k ≠ 0) 与函数y = x - 2 的图象只有一个交点时k 的取值 范围即可．
【详解】（1）解：当 x = -1 时，y = x - 2 = 3， : m = 3 ，
故答案为：3 ；
（2）解：画出该函数图象的另一部分，如图：
（3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是(2, 0) ； 当x < 2 时，y 随x 的增大而减小；
故答案为：(2, 0) ，减小；
（4）解：①∵ x - 2 ≥ 2
:当x ≥ 2 时， x - 2 = x - 2 ，
即不等式为：x - 2 ≥ 2 ，
解得：x ≥ 4
当x < 2 时， x - 2 = 2 - x ， 即不等式为：2 - x ≥2 ，
解得：x ≤ 0
∴不等式x - 2 ≥ 2 的解集是：x ≥ 4 或x ≤ 0 ；
②观察图象，若关于x 的方程 x - 2 = kx (k ≠ 0) 只有一个解，
即正比例函数y = kx (k ≠ 0) 与函数y = x - 2 的图象只有一个交点，
当k > 0 时，由图象可知y = kx (k ≠ 0) 与x < 2 时的y= -x + 2 的图象必然有一个交点，
∴ y = kx (k ≠ 0) 与x ≥ 2 时的y = x - 2 的图象不能有交点， 即k ≥ 1 ；
当k < 0 时，y = kx (k ≠ 0) 与x ≥ 2 时的y = x - 2 的图象没有交点， ∴ y = kx (k ≠ 0) 与x < 2 时的y = -x + 2 的图象必然有一个交点， 即k < -1 ；
∴ k 的取值范围是k < -1 或k ≥ 1 ；
故答案为：x ≥ 4 或x ≤ 0 ；k < -1 或k ≥ 1 ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，解决本题的关键 是根据图象回答问题．
28 ．(1)①0；②见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x = 2 （答案不唯一）
(2)① m + n = 4 ；② x < 1或x > 5
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质．
（1）①根据函数y = 2 x - 2- 2 ，计算出当 x =3 对应的函数值，从而可以求得 a 的值；
②根据表格的数据，可以画出相应的函数图象，根据函数图象写出该函数的一条性质即可；
（2）①根据图象得出结论；
②观察函数图象，可以得到不等式2x - 2- 2 > x -1 的解集．
【详解】（1）解：①当x =3 时，代入y = 2 x - 2- 2 ，可得 y = 2 × 3 - 2 - 2 = 2 × 1- 2 = 0 ，
∴ a = 0 ，
故答案为：0；
②利用表格中的 x，y 的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点得：
观察函数图象发现：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x = 2 ，
故答案为：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x =2 ；（答案不唯一）
（2）解：①若点A(m, p) ，B (n, p) 均在该函数图象上，则 m ，n 满足的数量关系是：
m + n = 4 ，
故答案为：m + n = 4 ；
②观察图象，不等式2x - 2- 2 > x -1 的解集是x < 1或x > 5 ， 故答案为：x < 1或x > 5 ．
29 ．(1) 2 ，4 ；
(2)见解析；
(3) ① -1 ，0 ；
② x >1 或x < -3 ；
③ -4 < x < 1．
【分析】(1) 根据表格中的数据可知y 与 x 的函数关系式应为y = x +1 ，分别把 x = -3 和 x = 3 代入函数的解析式求出m 、n 的值即可；
(2) 根据表格中的数据，描点、连线即可画出函数图象；
(3) ① 由(2) 中的函数图象可知：当x =0 时，函数有最小值，最小值为y = 1；
② 因为不等式| x +1|> 2 ，所以可得不等式：x +1 > 2 或x +1< -2 ，解不等式求出解集即可；
③ 把点(1, 2) 和(a,3) 代入一次函数 中，利用待定系数法求出m 、a 的值，即可 得到一次函数的解析式为 ，画出函数图象，根据图象写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知y 与 x 的函数关系式应为y = x +1 ，
当x = -3 时，y = x +1 = -3+1 = 2 ， 即 m = 2 ，
当x = 3 时，y = x +1 = 3+1 = 4 ， 即 n = 4 ，
故答案为：2 ，4 ；
（2）解：画图如下，
（3）解： ① 由图象可知：当x = -1 时，函数有最小值，最小值为y = x +1 = -1+1 = 0 ；
故答案为：-1 ，0 ；
② Q 不等式| x +1|> 2 ，
:可得：x +1 > 2 或x +1< -2 ， 当x +1 > 2 时，解得：x >1 ， 当x +1< -2 ，解得：x < -3 ，
:不等式| x +1|> 2 的解集为：x >1或x < -3 ， 故答案为：x >1或x < -3 ；
③ 当一次函数 的图象经过点是(1, 2) 和(a,3) 时，
可得：
解得： ，
:一次函数的解析式为 画函数图象如下，
从图象上可以看出：当 时，-4 < x < 1．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式、函数图象上点的坐 标的求法、函数图象的画法， 熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法是解决本 题关键．
30 ．(1) -x (2)
① 0
②作图见详解，当x < 0 时，y 随x 的增大而增大；当x > 0 时，y 随x 的增大而减小；当x = 0 时，y 有最大值是3
③ -1 < x < 1 或x > 3
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，根据图象交点求不等式的解，掌握一次函数图 象的性质是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质即可求解；
（2）①把x = -1 代入计算即可；
②运用描点、连线即可作图；
③在函数y1 = -2x + x + 3 中，当x < -1或x > 3 时，y < 0 ，当 -1 < x < 3 时，y > 0 ，在函数 y2 = mx - m (m > 0) 中，函数y2 = mx + n (m > 0) 的图像是一条经过点(1, 0) ，当 x < 1时，
y < 0 ，当 x >1 时，y > 0 ，由题意可得(-2 x + x + 3 ) 与(mx + n)异号，由此即可求解． 【详解】（1）解：当 x < 0 时，y = x = -x ，
故答案为：-x ；
（2）解：①当a = -2 ，b = 1 ，c = 3 时，即y1 = -2x + x + 3 ，
:当x = -1 时，y = m = -2× -1 + (-1) + 3 = -2 -1+ 3 = 0 ， 故答案为：0 ；
②作图如下：
:当x < 0 时，y 随x 的增大而增大；当x > 0 时，y 随x 的增大而减小；当x =0 时，y 有最大 值是3；
③根据图示可得，在函数 y1 = -2x + x + 3 中，当 x < -1或 x > 3 时， y < 0 ，当 -1 < x < 3 时， y > 0 ，
在函数y2 = mx - m (m > 0) 中，函数y2 = mx + n (m > 0) 的图像是一条经过点(1, 0) ，
:当x < 1时， y < 0 ，当 x >1 时，y > 0 ， :不等式(-2 x + x + 3 )(mx + n) < 0 ，
: (-2 x + x + 3 ) 与(mx + n) 异号，
:不等式的解集为-1 < x < 1 或x > 3 ．
31 ．B
①联立 求出x，y 的值即可得到答案；
②由定义可知点(2, n -1) 在直线y = -x 上，求出n = -1 ，再将点(2, -2) 代入y = mx + n 即可 求出m 的值；
③将一次函数y = 3x + 4 的“关联点”(-1,1) 代入y = kx + 3 求出 k 的值即可；
④由题意可得直线y = kx - 3 与直线y= -x 平行，从而得出直线为y= -x - 3 ，再求出A(-3, 0) ， B (0, -3) ，即 OA = 3，OB = 3 ，设P(t, 0)，则 AP = -3- t ，计算出 S△
S△ 最后由S△△ABO ，进行计算即可得到答案．
解：①联立 解得： ，
:一次函数y = 3x + 4 的“关联点”为(-1,1) ，故①正确； ②:一次函数y = mx + n 的“关联点”为(2, n -1) ，
:点(2, n -1) 在直线y = -x 上，
:-2 = n -1，
:n = -1，
一次函数y = mx + n 的“关联点”为(2, -2) ， :-2 = 2m -1，
解得： 故②错误；
③:一次函数y = 3x + 4 的“关联点”为(-1,1) ， :把(-1,1) 代入y = kx + 3 得：-k + 3 = 1 ，
解得：k = 2 ，故③正确；
④ Q 直线y = kx - 3 上没有“关联点”，
:直线y = kx - 3 与直线y = -x 平行， :k = -1，
:y = -x - 3 ，
当x = 0 时，y = -3 ，
当y = 0 时，-x - 3 = 0 ，解得 x = -3 ，
: A(-3, 0) ，B (0, -3) ，
: OA = 3，OB = 3，
设P(t, 0)，
: AP = -3 - t ，
解得：t = -1.5 或t = -4.5 ，
:P(-1.5，0) 或(-4.5, 0)，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③ .
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标 轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键．
【分析】本题考查是新定义运算，一次函数的定义，不等式组的应用，根据新定义得出
í
l2x
ì2x
+1< -3x + 2
+1 > -2
或 í
l-3x +
ì2x +1
> -3x + 2
,解不等式组，即可
2 > -2
ì2x
l2x
【详解】解：依题意， í
+1< -3x + 2
+1 > -2
或 í
l-3x +
ì2x +1
> -3x + 2
2 > -2
解第一个不等式组得
解第二个不等式组得
3 1 1 4
:- < x < 或 < x <
2 5 5 3
故答案为 或
.
33 ． 1
【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函 数的图象，数形结合解题是关键．
（1）利用新定义求得即可；
（2）根据题意，当 x < 1时， y = max{2x -1, -x + 2} = -x + 2 ，当 x ≥ 1时 y = max{2x -1, -x + 2} = 2x -1，，再数形结合解题即可．
【详解】解：（1）当 x = 1 时，y = max{1,1} = 1， 故答案为：1；
（2）当 x < 1时， y = max{2x -1, -x + 2} = -x + 2 ，
当x ≥ 1时， y = max{2x -1, -x + 2} = 2x -1， 如图：
当直线y = kx + 3k -1 经过点(1,1) 时，
当y = kx + 3k -1 与直线y = 2x -1平行时，k = 2 ，
: < x < 2 时，直线y = kx + 3k -1 与函数y = max{2x -1, -x + 2} 的图象有两个交点，
故答案为： < x < 2 ．
【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点 坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线y = kx + 4 的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找 出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键．
解：当x = y 时 解得：x = 4 ，
:分界点为点(4, 4)， 如图，
当4 < x ≤ 8 时，线段 变换后的线段的两个端点分别为(4, -4), (8, -2) ， 当-4 ≤ x ≤ 4 时，线段 6 变换后的线段的两个端点分别为(4, -4), (8, 4)，
:直线y = kx + 4 与组成的新的图形有两个交点，且直线y = kx + 4 过定点(0, 4) ， :当直线y = kx + 4 过点A 时，-4 = 4k + 4 ，此时 k = -2 ；
当直线y = kx + 4 过点 B 时，-2 = 8k + 4 ，此时k = - ；
:直线y = kx + 4 与组成的新的图形有两个交点， k 的取值范围是-2 < k ≤ - ． 故答案为：-2 < k ≤ -
35 ．
【分析】由题意知P1 (3, 3) ，当x = 3 ，y ≥ 3 时，直线图象上存在△ABC 覆盖的特征点，则有 3m + 5 ≥ 3 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知P1 (3, 3) ，当 x = 3 ，y ≥ 3 时，直线图象上存在△ABC 覆盖的特征点， : 3m + 5 ≥ 3 ，
解得：
: m 的取值范围为 ．
故答案为
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键与难点在于根据题意列不等式．