2024-2025学年暑假作业07函数的基础[4个知识点+8个题型+创新题型]-八年级数学暑假提升

这是一份2024-2025学年暑假作业07函数的基础[4个知识点+8个题型+创新题型]-八年级数学暑假提升，共59页。
限时练习：40min
完成时间： 月 日 天气：
作业 07 函数的基础
【知识点 1 常量和变量】
1 ．变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量．
2 ．常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量． 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化． 【知识点 2 函数的概念和函数值】
1 ．函数的概念：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都 有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说x 是 自变量 ，y 是x 的 函数 ，又称因变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的 变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即 单对应．
2 ．函数值：
在一个函数中，若存在x = a 时y = b ，则b 就是自变量为a 时的 函数值．
【知识点 3 函数自变量的取值范围】
1 ． 自变量的取值范围：
在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义．
2 ．常见的几种函数解析式中自变量的取值范围：
①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 ．
②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为 0 的一切实数 ．
③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于 0 的一切实数 ．
④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为 0 的一切实数 ．
3 ．在实际问题中与几何图形中的自变量取值：
在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还 要满足几何图形的几何意义．
【知识点 4 函数的表示方法】
1 ．解析式法：
定义：用含有 自变量 x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法．
优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系．
缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达．
判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值．
2 ．列表法：
定义：把一系列 自变量 x 的值与对应的 函数值 y 列成一个表来表示函数关系的方法．
优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值．
缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系．
3 ．图像法：
定义：用图像来表示函数关系的方法．
优点：能直观形象的表达函数关系．
缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系．
判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值．即作 x 轴的垂线，与图像 只能有一个交点．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型 1 常量和变量的判断】
1 ．对于圆的面积公式S = τr2 ，下列说法中正确的是( )
A ． τ 是变量 B ．r2 是常量
C ．S， τ , r 都是变量 D ．S，r 是变量
2 ．某水库蓄满水时的水位高度为150m ，现以每秒40 立方米的速度开闸放水．放水过程中， 水库的水位高度为h(m) ，放水时间为 t (s) ，则150 和 t 分别是( )
A ．常量，常量 B ．变量，变量
C ．变量，常量 D ．常量，变量
3 ．在球的表面积公式V = 4τR2 中，下列说法正确的是( )
A ．V， π , R 是变量，4 为常量 B ．V， π 是变量，R 为常量
C ．V，R 是变量，4 ， π 为常量 D ．以上都不对
【题型 2 函数的判断】
4 ．下列曲线中，能表示y 是 x 的函数的是( )
A ． B ． C ． D．
5．下列式子：① y = 3x - 5② y = ③ y = ④ y2 = x ⑤y = x 其中y 是 x 的函数的个数 是( )
A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个
6 ．下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是( )
①圆的周长 C 是半径 r 的函数；
②表达式y = 中，y 是 x 的函数；
③下表中，n 是 m 的函数；
④图中，曲线表示y 是 x 的函数．
A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④
【题型 3 函数自变量的取值范围】
7 ．函数 中， 自变量 x 的取值范围是( )
A ． B ． C ．x < 且 x≠1 D ．x ≥ 且 x≠1
m
-3
-2
-1
1
2
3
n
-2
-3
-6
8
3
2
8 ．在函数 中， 自变量x 的取值范围是 ．
9 ．函数 的自变量 x 的取值范围是 ．
10 ．函数y = (x + 2)-1 + (x - 3)0 中，自变量 x 的取值范围是 ． 【题型 4 求函数的解析式】
11 ．某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过 3 千米，付费 14 元；超过 3 千 米且不超过 15 千米的部分，每千米付费 2.50 元．某人乘该类出租车行驶了x(3< x ≤ 15) 千 米，则乘车费用y （元）关于里程数 x （千米）的函数解析式为 ．
12 ．等腰三角形的周长是60cm ，底边长是 xcm ，一腰长为ycm，则y 与x 之间的函数解析 式为 ，自变量x 的取值范围是 ．
13．在 2025 年春晚的舞台上，名为《秧 BOT》的创新节目惊艳亮相！ 这场科技与艺术的跨 界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱 好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x (h ) 和搬运货 物的重量y(kg ) 记录如下表：
则y 与x 之间的函数关系式为( )
搬运时间（h ）
0.5
1
2
3
4
…
搬运货物的重量 y (kg )
120
160
240
320
400
…
A ．y = 160x B ．y = 120x
C ．y = 8x + 80 D ．y = 80x + 80
14．如图，在 Rt△ABC 中， -1 时，x 的取值范围是______．
③写出这个函数的一条性质：______．
29 ．如图，数轴上点O 表示的数是 0，点 A 表示的数是-3 ．
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
1
2
1
m
…
点P 是数轴上一动点，表示的数是x ，它与点 A 之间的距离AP 用y 表示．
(1)填写下表，在平面直角坐标系内画出y 关于x 的图像；
(2)若y = 5 ，则x 的值是______；
(3)下列说法正确的序号是______；
①变量x 是变量y 的函数；
② y 随x 的增大而减小；
③图像经过第一、二、三象限；
④当x = -3 时，y 有最小值．
(4)若AP < 4OP ，则x 的取值范围是______． 【题型 8 动点问题的函数图象】
30 ．如图① , E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，点 P 从点 B 出发沿折线 B -E-D 运动到点 D 停止，点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1cm/s ．现 P ，Q 两 点同时出发，设运动时间为 x（s），△BPQ 的面积为y（cm2），若 y 与 x 的对应关系如图② 所示，则矩形 ABCD 的面积是( )
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
…
y
…
2
1
______
1
2
______
…
A ．96cm2 B ．84cm2 C ．72cm2 D ．56cm2
31 ．如图 1，四边形 ABCD 是菱形，对角线AC, BD 相交于点 O ，P ，Q 两点同时从点 O 出 发，以 1 厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P ，Q 的运动路线：点 P 为
O - A - D - O ，点 Q 为O - C - B - O ．设运动的时间为 x 秒，P ，Q 间的距离为y 厘米，y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则菱形ABCD 的面积为( )
A ．2 cm2 B ．2cm2 C ． cm2 D ．
32 ．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , D 为斜边AB 的中点，动点P 从B 点出发，沿
B → C → A 运动，如图 1 所示，设S△ DPB = y ，点 P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图 象如图 2 所示，则y 的最大值为( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
33．如图 1，四边形ABCD 是平行四边形，连接BD ，动点P 从点A 出发沿折线AB → BD → DA 匀速运动，回到点 A 后停止．设点 P 运动的路程为 x，线段AP 的长为y，图 2 是y 与 x 的函 数关系的大致图象，下列结论中不正确的是( )
A ． BD = 10 B ． AD = 12
C ．平行四边形ABCD 的周长为 44 D ．当x = 15 时， △APD 的面积为 20
34 ．十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号f (x)的形式来表示关于x 的多项式，把x 等于 某数n 时的多项式的值用f (n)来表示．例如x =1 时，多项式f (x ) = 3x + 2 的值可以记为f (1) ， 即f (1) = 3 × 1+ 2 = 5 ．如果定义f (x) = x2 + 2x +1，则 f (3) = ．
35 ．定义：P 是平面内某一点，Q 是图形W 上任意一点，将P, Q 两点间距离的最小值称为 点P 与图形W的“点图距” ．如图，在等边 △ABC 中，点A 的坐标为(3, 0)，点 B 、C 在y 轴 上．记动点P(t, 0) 与等边 △ABC 的“点图距”为y ，则y 随t 变化的图像是( )
A．
C．
B．
D．
36 ．关于x 的新函数定义如下：
（1）当 x = 0 时，y = 1:
（2）当 x = (p 是正整数，q 是整数，q ≠ 0 ，且p ，q 不含除 1 以外的公因数）时，
（3）当x 为无理数时，y = 0 ．
例：当x = 时，y = ；当 x = - 时，y = ．
以下结论：①当x = 、时， y = 0 ；
②若a 、b 是互不相等且不为 0 的有理数，当x = a 时，函数值记为y1 ，当 x = b 时，函数值 记为y2 ，当 x = a . b 时，函数值记为y3 ，则一定有y1y2 = y3 :
③若 ，则对应的自变量x 有且只有四种不同的取值；
④若2023 ≤ x ≤ 2024 ，则满足 的自变量x 的取值共有 5 个． 正确的个数有( )
A ．①③④ B ．②④ C ．①④ D ．②③
37 ．对于有理数a 、b ，定义了一种新运算“※”为 如：
(1)计算：①2※(-1) = ________ ；②(-4)※(-3) = _________；
(2)若f (x) = (x - 3) ※2 + 5 ，且 x < 3 ，求 f (x) 的表达式．
(3)若A = -x3 - 2x2 + 7 ，B = -x3 - 3x2 +1，且 A※B = 11 ，求 2x3 + 2x 的值．
1 ．D
【分析】本题考查了常量与变量， 在某一问题中，保持不变的量叫做常量，可以取不同数值 的量叫做变量．根据常量与变量的定义解答即可．
【详解】解：对于圆的面积公式 S = πr2 ， π 是常量，S，r 是变量． 故选 D．
2 ．D
【分析】本题考查变量与常量判断， 根据恒定不变的量叫常量，变化的量叫变量直接判断即 可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
150 不变，是常量；t 是变化的，是变量． 故选：D．
3 ．C
【分析】本题考查了常量与变量， 在某一问题中，保持不变的量叫做常量，可以取不同数值 的量叫做变量．
根据常量与变量的定义解答即可．
【详解】解：在球的表面积公式 V = 4πR2 中，V、R 是变量，4 、 π 为常量． 故选 C．
4 ．A
【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．
根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于 每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．
【详解】解：A 、x 的值与y 的值一一对应，是函数，符合题意；
B、部分x 的值对应多个y 的值，不是函数，不符合题意；
C、部分x 的值对应多个y 的值，不是函数，不符合题意；
D、部分x 的值对应多个y 的值，不是函数，不符合题意． 故选 A．
5 ．B
【分析】本题主要考查的是函数的概念， 根据函数的定义进行判断即可，掌握函数的定义是 解题的关键．
【详解】解：① y = 3x - 5 ，y 是x 的函数；
不是x 的函数；
是x 的函数；
④ y2 = x ，当x 取一个值时，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数；
⑤ y =| x | ．y 是x 的函数；
所以其中y 是x 的函数的个数是 3， 故选：B ．
6 ．C
【分析】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念需要理解：①有两个变量；②一个变 量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函 数值有且只有一个值与之对应，即单对应．根据函数的定义分别判断即可．
【详解】解：①∵ C = 2πr ，:圆的周长C 是半径r 的函数，正确；
②表达式 中，对于x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值与之对应， y 是x 的函数， 正确；
③n 是m 的函数，正确；
④如图中，对于x 的每一个取值，y 有不唯一确定的值与之对应，y 不是x 的函数． 故选：C．
7 ．D
【分析】根据被开方数大于等于 0 且分母不能为 0，列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，2x -1≥0，
解得 ．
x -1≠0，
解得 x≠1，
:x≥ 且 x≠1， 故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
8 ．x > -2 且x ≠ 3
【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零 指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的 条件以及零指数幂运算法则，建立关于x 的不等式组，然后求解即可获得答案．
ìx + 2 > 0
lx - 3 ≠ 0
【详解】解：根据题意，可得 í ,
解得x > -2 且x ≠ 3，
即自变量x 的取值范围是x > -2 且x ≠ 3． 故答案为：x > -2 且x ≠ 3．
9 ．x > -2 且x ≠ 1
【分析】本题考查了零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，求函数的自变量取值范围， 根据零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：根据题意，得 ， 解得x > -2 且x ≠ 1，
故答案为：x > -2 且x ≠ 1．
10 ．x ≠ -2 且x ≠ 3
【分析】根据题意，得 根据负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数 幂的条件解答即可．
本题考查了负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件，熟练掌握条件是解题的关 键．
【详解】解：根据题意，得 故自变量 x 的取值范围是x ≠ -2 且x ≠ 3．
故答案为：x ≠ -2 且x ≠ 3．
11 ．y = 2.5x + 6.5
【分析】本题考查列函数解析式，理解题意，根据题中等量关系列函数解析式即可． 【详解】解：由题意，乘车费用 y （元）关于里程数 x （千米）的函数解析式为
y = 14 + (x - 3)×2.5 = 2.5x + 6.5 ，
故答案为：y = 2.5x + 6.5 ．
12 ． 0 < x < 30
【分析】本题考查函数关系式、函数的自变量的取值范围、三角形三边的关系， 等腰三角形 的性质，根据题意可以列出相应的函数解析式，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角 形的性质可以确定x 的取值范围，从而本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
:0 < x < 30 ，
即y 关于x 的函数解析式是 ，自变量x 的取值范围是0 < x < 30 ， 故答案为
13 ．D
【分析】本题主要考查了列函数关系式， 观察表格可知，搬运时间每增加 1 小时，搬运货物 的重量增加 80 千克，据此求解即可．
【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加 1 小时，搬运货物的重量增加 80 千克，
: y = 160 + 80 (x - 1) = 80x + 80 ， 故选：D．
14．
【分析】根据 S△ABD=S△ABC-S△BCD，列式进行计算即可． 【详解】解∵∠C=90° , BC=3，AC=6，
又∵CD=x，
即： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，列函数解析式，结合图形得出 S△ABD=S△ABC-S△BCD 是解题的关键．
15 ．(1)S = -5x + 40(0 < x < 8)
(2)3
【分析】本题考查的是列一次函数关系式，不等式组的应用；
（1）由 P 在第一象限，且x + y = 8 ，可得 0 < x < 8 ，再利用面积公式列函数关系式即可；
（2）由 20 < S < 30 可得20 < -5x + 40 < 30 ，再解不等式组即可得到答案； 【详解】（1）解：QP 在第一象限，且x + y = 8 ，
:y = 8 - x ，
:x > 0 且8 - x > 0 ，
:0 < x < 8 ，
∵ A (10, 0)，
: OA = 10 ，
: S = -5x + 40(0 < x < 8) ．
（2）解：∵ 20 < S < 30 ， : 20 < -5x + 40 < 30 ，
解得：2 < x < 4 ；
∵x 为整数， : x = 3 ；
16 ．B
【分析】本题考查函数图象，根据液面面积的变化得到水上升高度的变化解答即可．
【详解】解： 开始水面面积变大，上升速度逐渐变慢；后来水面面积变小，上升速度逐渐变 快；然后到达瓶颈位置面积不变，直线上升，
故符合 B 图象， 故选：B．
17 ．D
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解： 该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与 乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以 A、B 不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙 池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所 以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时 比连通部分快．
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得 出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
18 ．A
【分析】根据题意和题目中的数据，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得，
当x =0 时，两个杯子的水量相差v = 200 ，
当x = 4 时，两个杯子的水量相差v = 0 ，
当x =8 时，两个杯子的水量相差v = 200 ， 故选：A．
【点睛】本题考查从函数图像获取信息， 解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 解答．
19 ．B
【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不 同的原因是解题的关键．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判 断．
【详解】解： 注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所 给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为 B．
故选：B．
20 ．C
【分析】根据实际情况分析结合图象即可得到答案， 此题考查了函数图象，读懂题意，找出 图象是解题的关键．
【详解】根据题意可得：甲先步行到中点改骑自行车，即先慢后快；
乙先骑自行车到达中点后改为步行，即先快后慢．最后同时到达终点， 故选 C．
21 ．D
【分析】本题考查函数的图象识别， 理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据 路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可．
【详解】解：根据题意，在前 20 分钟，离家的距离随时间增加而增加， 当时间为20～30 分钟时，路程保持不变，
当时间为30～40 分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前 20 分钟时，增加的要快， 因此只有 D 符合，
故选：D．
22 ．A
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象所给信息，结合一次函数的性质，逐一分析即 可解答，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
【详解】解：乙用18 - 3 = 15 （分钟）追上了甲，则乙每分钟比甲多走 150 ÷ (18 - 3) = 10 （米 ) ，
: ①正确，符合题意；
乙用18 - 3 = 15 （分钟）追上了甲， : ②不正确，不符合题意；
甲的速度为150 ÷ 3 = 50 （米 / 分钟），则甲到达B 地所用时间为1200 ÷ 50 = 24 （分钟）， 乙的速度为50 +10 = 60 （米 / 分钟），则乙到达B 地所用时间为1200 ÷ 60 = 20 （分钟）， : 当x = 20 + 3 = 23 时乙到达B 地，
: 乙比甲早24 - 23 = 1（分钟）到达终点 B ， : ③正确，符合题意；
由③可知，点Q 表示乙到达中点，则点Q 的横坐标为 23，
甲出发后 23 分钟距A 地50× 23 = 1150 （米) ，则当 x =23 时，甲、乙两人之间的距离为 1200 -1150 = 50 （米) ，
: 点Q 的纵坐标为(23,50) ， : ④不正确，不符合题意． 综上，①③正确．
故选：A．
23 ．B
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结 论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：①普通列车的速度是 设动车的速度为x 千米/ 小时，
根据题意，得 解得：x = 250 ，
动车的速度为 250 千米/ 小时， 故①错误；
②如图，出发后 3 小时，两车之间的距离为 0，可知点B 的实际意义是两车出发后 3 小时相 遇，
故②正确；
③由x =0 时，y = 1000 知，甲地和乙地相距 1000 千米， 故③正确；
④由图象知x = t 时，动车到达乙地， :x = 12 时，普通列车到达甲地，
即普通列车到达终点共需 12 小时， 故④错误；
故选：B．
24 ．D
【分析】本题考查从函数图象获取信息， 一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是 解题关键．由图象可知两地相距 300 千米，且当x =3 时，快车到达终点，即可判断①；分 别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出时，两车的路程 即可判断③ .
【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为 300 千米，当x =3 时，快车到达实 验中学，
: a =3 ，故①正确；
快车的速度为 慢车的速度为 ， 相遇时，即100x + 60x = 300 ，
解得： 故②正确；
当 时，快车行驶的路程为 慢车行驶的路程为 ， :两车相距300 -150 - 90 = 60km ，故③正确；
综上可知①②③正确．
故选：D．
25 ．D
【分析】本题考查的从函数图像上获取信息的能力， 根据已知信息和函数图象的数据，依次 解答每个选项．
【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200m ，故 A 正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了13 - 8 = 5 (min ) ，所以公共汽车的速度 为1200÷ 5 = 240 (m/min )，故 B 正确；
小明先出发 8 分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小 明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8 + 480 ÷ 240 = 10 (min )，即 7 : 50 相遇， 即在7 : 50 与小明离学校的距离一致，故 C 正确．
小明从家到学校的平均速度为1200 ÷ 20 = 60m/min ，故 D 错误， 故选：D
26 ．(1) 60 ，1.7
(2) 2.5
(3)故小明的平均速度24 km ／h ，小明爸爸的平均速度 60 km ／h
【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题 的关键．；
（1）由图象即可求解；
（2）由图象即可求解；
（3）结合图象得小明的平均速度： 小明爸爸的平均速度 即可求解； 【详解】（1）解：由图象得
小明家到甲地的路程为：60 km ， 小明在乙地逗留的时间为：
2.5 - 0.8 = 1.7 （ h ）， 故答案：60 ，1.7 ；
（2）解：由图象得
小明出发2.5 h 后爸爸驾车出发， 故答案：2.5 ；
（3）解：有图象得
小明的平均速度：
60 - 24 4 - 2.5
= 24 （ km ／h ），
小明爸爸的平均速度：
故小明的平均速度24 km ／h ，小明爸爸的平均速度 60 km ／h ．
27 ．(1) -3 ，0
(2)见解析 (3) 3
【分析】本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据表格求出当 x = 0 、x = 3 时，y 的值即可；
（2）描点，连线，画出函数图像即可；
（3）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：当 x = 0 时，y = 0 × 0 - 2 - 3= -3 ，即 m = -3 ；
当x = 3 时，y = 3 × 3 - 2 - 3 = 0 ，即 n = 0 ， 故答案为：-3 ，0 ．
（2）解：描点，连线，函数的图象如图所示：
（3）解：如图，作一条直线y= -2.7 ，交函数 y = x x - 2 - 3 的图象于3 点，
: 当y= -2.7 时，对应的自变量有3 个．
28 ．(1)任意实数 (2) 0
(3)见解析
(4)①2 ；② -3 < x < 3 ；③图象关于y 轴对称，当x < 0 时，y 随x 的增大而增大，当x > 0 时，y 随x 的增大而减小
【分析】本题考查了求函数值，画函数的图象；
（1）根据函数解析式即可求解；
（2）将 x =2 代入解析式，即可求解；
（3）根据描点法画出函数图象，即可求解；
（4）①根据函数图象，即可求解；
②观察函数图象，即可求解；
③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解．
【详解】（1）解：在函数 y = 2 - x 中，自变量x 可以是任意实数；
（2）当 x = 2 时，m = 2 - 2 = 0
（3）如图所示，
（4）①根据函数图象可得，函数的最大值为2 ；
②根据函数y = 2 - x ，可得 y = -1 时，x = -3 或x = 3 ， 根据函数图象，当y > -1 时，x 的取值范围是-3 < x < 3 ；
③函数y = 2 - x 的图象关于y 轴对称，当x < 0 时，y 随x 的增大而增大，
当x > 0 时，y 随x 的增大而减小
29 ．(1)0 ，3，画图见解析
(2)2 或-8 (3)④
x > 1 或
【分析】本题考查数轴动点问题，两点之间距离，图象及性质，一元一次不等式．
（1）利用题意列出算式即可，描点画图；
（2）当 y = 5 时，列式计算即可；
（3）观察图象即可；
（4）将 AP, OP 距离代数式列出，计算一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：∵点P 是数轴上一动点，表示的数是x ，点 A 表示的数是-3 ，
:当x = -3 时，AP = 0 ，即：y = 0 ， :当x = 0 时，AP = 3 ，即：y = 3 ， 将表格中得坐标标出，画图如下：
;
（2）解：∵ y = 5 ，点 A 表示的数是-3 ， : AP = 5 ，
:-3 + 5 = 2 或-3 - 5 = -8 ，
: x = -8 或x = 2 ，
故答案为：2 或-8 ；
（3）解：∵变量y 取一个数值，变量x 有两个数值与之对应，不符合函数定义，故①不正确； ∵在所画图象中，y 随x 的增大而减小和增大而增大均有，故②不正确；
∵距离不为负数，即不经过第三象限，故③不正确；
∵通过观察图象可知，当x = -3 时，y 有最小值，故④正确， :故答案为：④;
（4）解：∵ AP < 4OP ，
: 根据题意知：AP =| -3 - x | ，OP =| x | ， :| -3 - x |< 4 | x | ，
解得：x > 1 或x < - ，
故答案为：x > 1 或x < - ．
30 ．C
【分析】过点 E 作 EH⊥BC，由三角形面积公式求出 EH=AB=6，由图 2 可知当 x=14 时， 点 P 与点 D 重合，则 AD=12，可得出答案．
【详解】解： 从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P 运动到点 E 时，x ＝10 ，y ＝30， 过点 E 作 EH⊥BC，
由三角形面积公式得 解得 EH ＝AB ＝6，
:BH=AE=8,
由图 2 可知当 x ＝14 时，点 P 与点D 重合，
:ED=4,
:BC=AD ＝12，
:矩形的面积为 12×6 ＝72．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象， 三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方 法是解题的关键．
31 ．A
【分析】根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在 AC 上运动；第二 P 在 AD， Q 在 CB；第三两者在 DB 运动．在根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可．
【详解】解：根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在 AC 上运动
由图像可知，此过程运动时间为 2s，运动完成 P、Q 两点相距2 cm
由菱形性质得 同理第三个过程运动完成时 P、Q 两点相距 2cm
: BD = 2 cm
故选 A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的相关性质．
32 ．A
【分析】本题考查动点问题的函数图象， 解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决 问题．根据已知条件和图象可以得到BC 、AC 的长度，当x = 4 时，点 P 与点 C 重合，此时
S△△ABC ，从而可以求出函数的最大值．
【详解】解：根据函数图象可得，当 x = 4 时，点 P 与点 C 重合， 则BC = 4 ，AC = 7 - 4 = 3 ，
∵ 上ACB = 90° ,点 D 为AB 的中点，
:当x = 4 时，S△△ 此时函数有最大值，则y 的最大值为 3，
故选：A．
33 ．D
【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理， 解题关键是准确从图象 中获取信息，应用相关知识求解即可．
【详解】解：当点 P 运动到点 B 处时，x = 10 ，即 AB = 10 ，当点 P 运动到点 D 处时， x = 20 ，所以 BD = 20 -10 = 10 ，故 A 正确，不符合题意；
当点 P 运动到点 D 处时，y = 12 ，即 AD = 12 ，故 B 正确，不符合题意；
:平行四边形ABCD 的周长为2(10 + 12) = 44 ，故 C 正确，不符合题意； 当x = 15 时，点 P 在BD 中点处，如图，
此时VADP 的面积是VABD 面积的一半，
作BH ^ AD ，
∵ AB = BD = 10 ， : AH = DH = 6 ，
:△APD 的面积为 ，故 D 错误，符合题意．
故选：D．
34 ．16
【分析】本题考查了实数的运算， 理解新运算的形式，并正确的进行计算是解题的关键．根 据题意把x =3 ，代入 x2 + 2x +1计算即可．
【详解】解：根据题意，f (x) = x2 + 2x +1，
:f (3) = 32 + 2× 3 +1 = 16 ， 故答案为：16．
35 ．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质， 勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键 是正确分类讨论．
根据等边三角形的性质和勾股定理求出 然后根据题 意分 4 种情况讨论，然后分别求解即可．
【详解】解：∵点P(t, 0)，点 B 、C 在y 轴上
:当t < 0 时，点P(t, 0) 与等边 △ABC 的“点图距”为PO 的长度， : y = -t ；
当 t > 0 时，
∵ △ABC 是等边三角形，OA 丄 BC ，点 A 的坐标为(3, 0)， : 上OAB = 上OAC = 30° , OA = 3
: AB = 2OB ，AB2 - OB2 = OA2
: (2OB)2 - OB2 = 32
: OC = OB = ，AC = BC = AB = 2 如图所示，过点 P 作PD 丄 AB 于点 D
当PO = PD 时，
: 上BAO = 30°
: AP = 2PD = 2PO : OA = PA + PO = 3
: OP = PD = 1 ，AP = 2
:此时动点P(t, 0) 与等边 △ABC 的“点图距”y = 1
:当0 ≤ PO ≤ 1 时，OP < PD
:动点P(t, 0) 与等边 △ABC 的“点图距”为OP 的长度， : y = t (0 ≤ t ≤ 1) ；
当1 < PO ≤ 3 时，OP > PD
:动点P(t, 0) 与等边 △ABC 的“点图距”为PD 的长度，
当t > 3 时，动点P(t, 0) 与等边 △ABC 的“点图距”为AP 的长度 : y = AP = OP - OA = x - 3(t > 3)
ì-t (t < 0)
综上所述
故选：B．
36 ．C
【分析】本题考查函数的概念， 弄清所给的函数的概念，结合不等式的知识进行推断是解题 的关键．
①根据函数的定义求值即可；
②举一个反例说明即可；
③根据定义，由y 的值求出相应的x 值即可；
④根据y 的范围，设 ，求出20223 ≤ q ≤ 2024p ，再由p 的可能取值，确定q 的所有可 能取值即可．
【详解】解：① Q 、 是无理数， : 当x = /5 时，y = 0 ；
故①符合题意；
② Q a 、b 是互不相等且不为 0 的有理数，
设 则 ，
设 则
故②不符合题意；
时 或 或 故③不符合题意；
:x 一定是有理数，且x ≠ 0 ，
设 则
:2023p ≤ q ≤ 2024p ，
:p 的可能取值为 1 ，2 ，3，
当p = 1 时，q 可以取 2023 ，2024，共 2 个， 当p = 2 时，q 可以取 4047，共 1 个，
当p = 3 时，q 可以取 6070 ，6071，共 2 个， 的自变量x 的取值共有 5 个，
故④符合题意；
故选：C
37 ．(1)8 ，-6
(3)20
【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；
（2）由x < 3 ，判断出x - 3 < 2 ，根据新定义的运算得出(x - 3) ※2 的值，进而得出函数关系；
（3）确定 A ，B 的大小关系，再根据新定义的运算求出x 的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：①2※ (-1) = 3 × 2 - 2 × (-1) = 8 ；
故答案为：8 ，-6 ；
（2）Qx < 3 ，
: x - 3 < 2 ，
22 7
:f (x) = (x - 3) ※ 2 + 5 ，且 x < 3 ，f (x) 的表达式为y = 2x - + 5 = 2x - ；
3 3
（3）-x3 - 2x2 + 7 - (-x3 - 3x2 + 1)
= -x3 - 2x2 + 7 + x3 + 3x2 -1
= x2 + 8 > 0 ，
则无论x 取何值，恒有-x3 - 2x2 + 7 > -x3 - 3x2 + 1 ，即 A > B ，
QA ※ B = 11 ，
:3(-x3 - 2x2 + 7) - 2(-x3 - 3x2 + 1) = 11， 解得x = 2 ，
: 2x3 + 2x = 2 × 8 + 2 × 2 = 20 ．
【点睛】本题考查了新定义运算，函数表达式，理解新定义运算是正确解答的前提．