2024-2025学年山东省聊城市七年级下学期数学期末试卷

这是一份2024-2025学年山东省聊城市七年级下学期数学期末试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024—2025 学年第二学期期末考试七年级数学试题
（时间：120 分钟，分值：120 分）
一、选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1 ．方程 ， ，2x+3y -z=5 ，x2 -y=1 中，是二元一次方程的 有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
2 ．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是( )
A ．对洛阳市区空气质量的调查
B ．对某批次汽车的抗撞击能力的调查
C ．对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查
D ．对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查
3 ．下列运算正确的是( )
A ．2a2 . a3 = 2a5 B ．(2ab2 )3 = 6a3b5 C ．a2 + a3 = a5 D ．a6 ÷ a2 = a3
4 ．解二元一次方程组 用代入消元法消去 x，得到的方程是( )
A ．2y = -2 B ．2y = -36
C ．12y = -2 D ．12y = -36
5 ．下列说法正确的是( )
A ．相等的角是对顶角
B ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离
C ．平行于同一条直线的两直线平行
D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
6 ．下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是( )
A ．a2 -1 B ．a2 + 2a -1 C ．x3 + x2 + x D ．a2 - 6a + 9
7 ．如图，直线 l 与正五边形ABCDE 的边AB、DE 分别交于点 M、N，则 上1+ 上2 的度数为 ( )
A ．216° B ．180° C ．144° D ．120°
8 ．如图，AB∥CD∥EF ，若 上B = 55° , 上E = 150° ,则 上BCE 的度数是( )
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°
9 ．已知 的解为 则 m 等于 ( )
A ．4 B ．16 C ．8 D ．32
10 ．某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．
李老师拿空水杯先接了14s 的温水，又接了8s 的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会 儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210mL 、温度为40°C 的水（不计热损失）．下列三个 结论：
①李老师的水杯容量为400mL；
②李老师接满水后，水杯中水温为56° （不计热损失）；
③小明同学的接水时间为11s ． 其中正确的是( )
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
11．清代诗人袁枚创作了一首诗（苔）：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹 开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为 0.0000083 米，
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温 水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度 =温水的体积×温水升高的温度”．
用科学记数法表示为 ．
12 ．若am = 7 ，an = 3 ，则 am+ 2n = ．
13 ．一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少180° ,则这个多边形的边数是 ．
14 ．已知方程组 ，则代数式 (x + 3y)(3x -y ) 的值为 ．
15 ．如图，在 △ABC 中，上A = 84° ,点 O 是7ABC 、 7ACB 角平分线的交点，点P 是 7BOC 、上OCB 角平分线的交点，若上P = 100° ,则 7ACB 的度数是 ．
三、解答题（共 8 小题，共 75 分）
16 ．解方程组：
17 ．分解因式：
(1) 2a2 - 8a + 8
(2) (x2 + 1)2 - 4x2
18 ．先化简，再求值：(a +2)2 - a (a - 4) - 3a ，其中 ．
19 ．如图，点F 在AC 上，FG TAB 于点G , FB 与CD 相交于点H ，且
上BHC + 上GFB = 180° .
(1)求证：CD 丄 AB ．
(2)若CD 平分上ACB, 上ACB = 40° ,求 上AFG 的度数．
20 ．电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势， 目前已经成为消费者购车首选，某汽车制 造商 2023 年计划生产安装 240 辆电动汽车，如果 1 名熟练工和 2 名新工人每月安装 8 辆电 动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车，
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶 10 小时；如果 将速度提升 20 千米/小时，行驶 6 小时后，还可以继续行驶 40 千米，求该汽车在充满电时 的续航里程？
（续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．）
21．为了让学生更好地看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题 日活动．
【收集数据】为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷．
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查结果统计图
【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查所抽取的学生________人，并补全条形统计图：
（2）扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数为__________．
“科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查问卷
请选择您感兴趣的领域，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）．
A ．卫星太空加油□
B ．华为鸿蒙系统□
C．DeepSeek 的接入□
D ．《哪吒 2》层级渲染□
E ．宇宙机器人□
【做出决策】请合理安排讲座，补全活动日程表：
（3）学校有 600 名学生参加本次活动，其中选择聆听 B 、D 讲座的学生各有多少？
（4）在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，则 B 报告应选______号汇报 厅，D 报告应选______号汇报厅．
22 ．从边长为 a 的正方形中剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一 个长方形（如图 2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ； （请选择正确的一个）
A. a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 B. b2 + ab = b (a + b)
C. a2 - b2 = (a + b)(a - b)
D. a2 + ab = a (a + b)
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
。已知 x2 - 4y2 = 12 ，x + 2y = 4 ，求x - 2y 的值．
“科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表
地点（座位数）时间
1 号汇报厅（200
座）
2 号多功能厅（100
座）
8 : 00 - 9 : 30
E
______
10 : 00 -11: 30
C
______
13 : 00 -14 : 30
______
设备检修暂停使用
②计算： (2 +1)×(22 +1) × (24 +1) × (28 +1) × (216 +1)．
23 ．如图。所示，在Ð ABC 中，若上1 = 上2 = 上3 ，则称 BD ，BE 分别为Ð ABC 的“三分 线” ．其中，BD 是“邻AB 三分线” ，BE 是“邻BC 三分线”．
(1)如图②,在 △ABC 中，上A = 45° , 上ABC = 75° ,若Ð ABC 的邻AB 三分线BD 交AC 于 点D ，则 上BDC = ________ ° ;
(2)如图③,在 △ABC 中，BP 是Ð ABC 的邻AB 三分线，CP 是Ð ACB 的邻AC 三分线，若
上A = 45° ,求 Ð BPC 的度数；
(3)在△ABC 中，上ACD 是△ABC 的外角， Ð ABC 的三分线与上ACD 的邻AC 三分线交于点 P ．若上A = m ，上ABC = n ，直接写出 Ð BPC 的度数．(用含m 、n 的代数式表示)
24．【发现问题】如图。，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB 和CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN 上一点 P．
【提出问题】小明提出：上BPD，上ABP 和上CDP 三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把 ÐBPD 分成两部分进行研究．
【解决问题】
(1)探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
(2)探究二：如图② , 上P，上AMP，上CNP 的数量关系为 ；
如图③,已知 上ABC = 25° , 上C = 60° , AE P CD ，则 上BAE = °
(3)利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④,射线 ME，NF 分别平分上BMP 和
上CNP，ME 交直线CD 于点 E ，NF 与上AMP 内部的一条射线MF 交于点 F，若上P = 2上F ， 求上FME 的度数．
1 ．B
【分析】二元一次方程满足的条件：含有 2 个未知数，未知数的项的次数是 1 的整式方程． 【详解】解：2x -3y=4 是二元一次方程；
是分式方程；
是二元一次方程； 2x+3y -z=5 是三元一次方程； x2 -y=1 是二元二次方程．
故选 B．
2 ．C
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象 的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不 大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查 得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多， 而抽样调查得到的调查结果比较 近似判断．
【详解】解： A、对洛阳市区空气质量的调查， 适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意；
B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意；
C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意；
D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查， 适宜采用抽样调查方式，本选项 不符合题意．
故选：C．
3 ．A
【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、积的乘方与幂的乘方运算以及合并同类项， 熟练 掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的运算法则、积的乘方与幂的乘方运算 法则以及合并同类项法则计算各项即可判断出结果．
【详解】解：A 、2a2 . a3 = 2a5 ，计算正确，故选项 A 符合题意；
B 、 (2ab2 )3 = 8a3b6 ，原选项计算错误，故选项 B 不符合题意；
C 、 a3 与a2 不是同类项，不能合并，原选项计算错误，故选项 C 不符合题意；
D 、 a6 ÷ a2 = a4 ，项 D 错误，不符合题意；
故选：A
4 ．D
【分析】本题主要考查了用代入消元法消去系数为 1 的未知数项，从而达到消元的目的，掌 握此知识点是解答本题的关键．
将①变形代入@即可消去 x，得到方程12y = -36 ．
解 ， ①变形为x = -19 - 7y ,
将其代入@可得：-19 - 7y- 5y = 17 ， 即12y = -36 ．
故选：D．
5 ．C
【分析】本题主要考查了对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质等知识， 理 解并掌握相关定义和定理是解题关键．
根据对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故该说法错误，不符合题意；
B、直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做点到这条直线的距离，故该说法错误，不符合 题意；
C、平行于同一条直线的两直线平行，故该说法正确，符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故该说法错误，不符合题意； 故选：C．
6 ．D
【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解， 熟练运用完全平方公式．是解题的关 键
利用完全平方公式a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 逐项判断即可解答． 【详解】解：A 、x 2-1，不能用完全平方公式进行因式分解；
B 、a2 + 2a -1 ，不能用完全平方公式进行因式分解；
C 、x3 + x2 + x ，不能用完全平方公式进行因式分解；
D 、a2 - 6a + 9 = (a - 3)2 ，能用完全平方公式进行因式分解；
故选：D．
7 ．C
【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等， 熟练掌握多边形的内角和公式是解题的 关键；
先根据多边形的内角和计算出上A = 上E = 108° ,再根据四边形的内角和是 360 度求出
上AMN+ 上ENM ，结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形ABCDE ，
: 上AMN+ 上ENM = 360° -108°× 2 = 144° ,
∵ 上AMN = 上1, 上ENM = 上2 ， : 上1+ 上2 = 144° ;
故选：C.
8 ．C
【分析】本题考查的是平行线的性质， 解题的关键是由AB∥CD∥EF ，根据平行线的性质
可得上ABC = 上BCD ，上CEF + 上ECD = 180° ,即可求解． 【详解】解：Q AB Ⅱ CDⅡEF ，上B = 55° , 上E = 150° , :上ABC = 上BCD = 55° , 上CEF + 上ECD = 180° ;
:上ECD = 180° - 上CEF = 30° ,
:上BCE = 上BCD - 上ECD = 25° .
故选：C．
9 ．B
【详解】解：将 x=3 ，y=-1 代入得： ， 解得：m=2 ，n=1，
则（2mn）m=（2×2×1）²=16．
故选 B .
10 ．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用．。根据水量等于水速 乘时间列式计算，即可作答．②结合“开水的体积× 开水降低的温度= 温水的体积× 温水升高 的温度．”即可列式14× 20 ×（t - 30）= 280t - 8400 ，结合题意列式280t - 8400 = 8 × 15 × (100 - t)，
解方程，即可作答．③设小明接温水的时间为xs ，接开水的时间为ys ，列出二元一次方程 组，再解方程，即可作答．
【详解】解：①依题意：
14 × 20 + 8 × 15 = 280 +120 = 400 (ml)， :李老师的水杯容量为400ml ．
②接入水杯的温水吸收的热量为：14 × 20 × (t - 30) = 280t - 8400 ；
由题意：280t - 8400 = 8 × 15 × (100 - t)， 解得t = 51，即水温约 51°C ；
③设小明接温水的时间为xs ，接开水的时间为ys ，
解得 ， x + y = 11，
:小明同学的接水时间为11s ．
综上，①③正确， 故选：B．
11 ．8.3 × 10-6
【分析】此题考查用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，绝对值小于 1 的数也可以利用科 学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，其中1≤| a |< 10, n 由原数左边起第一个不为零的数字前 面的 0 的个数所决定，据此即可求解．
【详解】解：0.0000084 = 8.3 × 10-6 ． 故答案为：8.3 × 10-6 ．
12 ．63
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； 先把所求式子变形为am+2n = am . a2n = am . (an)2 ，再代值计算即可.
【详解】解：∵ am = 7 ，an = 3 ，
: am+2n = am . a2n = am . (an)2 = 7 × 32 = 63；
故答案为：63.
13 ．7
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360° ,与边 数无关．设这个多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式（n - 2）.180° 与外角和定理列出 方程，求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为 n，
根据题意，得（n - 2）×180° = 3 × 360° -180° , 解得n = 7 ．
故答案为：7．
14 ．7
【分析】本题考查了解二元一次方程组，由 ① + ② 得3x -y = 7 ，由① - ② 3x + 3y = 1 ．然 后代入(x + 3y)(3x -y ) 计算即可．
解
① + ② ,得3x -y = 7
① - ② ,得x + 3y = 1
: (x + 3y)(3x - y ) = 1 × 7 = 7 故答案为：7
15 ．56°
【分析】设∠BCP=∠PCO=x ，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°,推出 x+y=80°,推出 2x+2y=160°,推出∠OBC=180°-160°=20°,可得∠ABC=40°,由此即可解决问题． 【详解】解：设∠BCP=∠PCO=x ，∠BOP=∠COP=y，
∵∠P=100° ,
:x+y=80° ,
:2x+2y=160° ,
:∠OBC=180°-160°=20° , ∵BO 平分∠ABC，
:∠ABC=40° , ∵∠A=84° ,
:∠ACB=180°-40°-84°=56° .
故答案为：56° .
【点睛】本题考查三角形的外角的性质， 三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解 题的关键思想学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
16 ．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元， 消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用加减消元法求解即可；
（2）用加减消元法求解即可．
① + ② ,得
5x = 10
: x = 2
把x =2 代入①,得
4 + y = 7 : y = 3
把②代入①,得
整理，得
x - y = -6③
②+③ ,得
2x = -14
: x = -7
把x = -7代入②,得
-7 + y = -8 : y = -1
17 ．(1) 2(a - 2)2
(2) (x -1)2 (x + 1)2
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分 解．因式分解常用的方法有：。提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解 法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解；
（2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：2a2 - 8a + 8
= 2 (a2 - 4a + 4)
= 2 (a - 2)2 ；
（2）解：(x2 + 1)2 - 4x2
= (x2 +1- 2x)(x2 +1+ 2x)
= (x -1)2 (x + 1)2 ．
18 ．5a + 4 ，6
【分析】本题考查了整式的化简求值， 先根据完全平法公式，单项式与多项式的乘法法则计
算，再合并同类项，然后把 代入计算即可．
【详解】解：(a +2)2 - a (a - 4) - 3a
= a2 + 4a + 4 - a2 + 4a - 3a
= 5a + 4 ，
当a = 时，
原式
19 ．(1)见解析
(2) 上AFG = 20°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质；
（1）根据对顶角相等可得 上BHC = 上DHF ，从而可得 上DHF + 上GFB = 180° ,然后利用平 行线的判定可得CD∥FG ，从而可得 上AGF = 上ADC ，再根据垂直定义可得 上AGF = 90° , 从而可得上ADC = 90° ,即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得上ACD = 20° , 然后利用（1）的结论可得：CD∥FG ，从而利 用平行线的性质可得上ACD = 上AFG = 20° ,即可解答．
【详解】（1）
证明：Q 上BHC + 上GFB = 180° , 上BHC = 上DHF ，
:上DHF + 上GFB = 180° ,
: CD ⅡFG ，
:上AGF = 上ADC ， 又Q FG 丄 AB ，
:上AGF = 90° ,
:上ADC = 90° , : CD 丄 AB ；
（2）解：QCD 平分 Ð ACB ，且 上ACB = 40° ,
:上ACD = 上ACB = 20° , 由（1）得：CD∥FG ， :上ACD = 上AFG = 20° .
20 ．(1)每名熟练工每月安装 4 辆电动汽车，每名新工人每月安装 2 辆电动汽车
(2)该汽车的续航里程为 400 千米
【分析】（1）设每名熟练工每月安装x 辆电动汽车，每名新工人每月安装y 辆电动汽车，根 据“1 名熟练工和 2 名新工人每月安装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车”，再列方程组解题即可；
（2）设该汽车的续航里程为 m 千米．根据“充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶 10 小时；如果将速度提升 20 千米/小时，行驶 6 小时后，还可以继续行驶 40 千米”可得方程， 再解方程即可．
【详解】（1）设每名熟练工每月安装x 辆电动汽车，每名新工人每月安装y 辆电动汽车 根据题意，可得
解得： ，
答：每名熟练工每月安装 4 辆电动汽车，每名新工人每月安装 2 辆电动汽车．
（2）设该汽车的续航里程为 m 千米． 根据题意，可得 ， 解得：m = 400 ，
答：该汽车的续航里程为 400 千米．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本 题的关键．
21 ．（1）40 人，图见解析；（2）72° ；（3）90 人和 180 人；（4）2 ，1． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用．
（1）用选择 A 的学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出选择 D 的学生人数 补全条形图即可；
（2）用 360 度乘以选择 E 的学生人数所占的比例进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可；
（4）根据人数进行合理安排即可．
【详解】（1）解：本次调查所抽取的学生人数为：4 ÷10% = 40 （人）；
选择 D 的学生人数为：40 - 4 - 6 -10 - 8 = 12 ，补全条形图如图：
故答案为：40；
（2）解：领域“E”对应扇形的圆心角的度数为： 故答案为：72° ;
（3）解：选择聆听 B 报告学生有 选择聆听 D 报告学生有 （人）；
（4）解：由（3）知：聆听 B 报告学生有 90 人，聆听 D 报告学生 180 人， ∵ 1 号多功能厅 200 座，2 号多功能厅 100 座，
:B 报告应选 2 号汇报厅，D 报告应选 1 号汇报厅．
故答案为：2 ，1．
22 ．(1)C
(2)。3 ；②232 -1
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）。把x2 - 4y2 利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x + 2y = 4 代入即可
求解；
②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是a2 - b2 ，第二个图形的面积是 (a + b)(a - b)，
则a2 - b2 = (a + b)(a - b) ．
故选：C；
（2）解：。∵ x2 - 4y2 = (x + 2y)(x - 2y) ，x + 2y = 4 ， :12 = 4 (x - 2y)
得：x - 2y = 3 ；
②(2 +1)×(22 +1) × (24 +1) × (28 +1) × (216 +1)
= (2 -1)× (2 +1)×(22 +1) × (24 +1) × (28 +1) × (216 +1) = (22 -1) × (22 +1) × (24 +1) × (28 +1) × (216 +1)
= (24 -1) × (24 +1) × (28 +1) × (216 +1)
= (28 -1) × (28 +1) × (216 +1)
= (216 -1) × (216 +1)
=232 -1 ．
23 ．(1) 70
(2) 上BPC = 90°
(3)当BP 是“邻AB 三分线”时，上；当 BP 是“邻BC 三分线”时，
【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理；
（1）根据Ð ABC 的邻AB 三分线BD 交AC 于点D ，得出上上ABC = 25° , 进而根据 三角形的外角的性质，即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得7ABC + 7ACB = 135° ,进而根据新定义，以及三角形内角和 定理可得上P = 180° - (上PBC + 上PCB) = 90° ;
（3）根据题意画出符合的所有情况，。当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线” 时，②当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线” 、“邻AC 三分线”时，根据三角形内角和定理，即 可求解．
【详解】（1）解：:在△ABC 中，上A = 45° , 上ABC = 75° , : Ð ABC 的邻AB 三分线BD 交AC 于点D ，
: 上BDC = 上A + 上ABD = 45° + 25° = 70° 故答案为：70 ．
（2）解：:在△ABC 中，BP 是Ð ABC 的邻AB 三分线，CP 是Ð ACB 的邻AC 三分线
: 上A = 45°
:7ABC + 7ACB = 135°
: 上P = 180° - (上PBC + 上PCB) = 180° - × 135° = 90° （3）分为两种种情况：
情况一：如图 1，
当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线” 、“邻AC 三分线”时，
由外角可得：上上
情况二：如图 2，
当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线” 、“邻AC 三分线”时， 由外角可知：上PCD = 上ACD = m + n)，
综上所述，当BP 是“邻AB 三分线”时，上；当 BP 是“邻BC 三分线”时，
24 ．(1) 上BPD = 上ABP + 上CDP ，理由见解析
(2) 上P = 上AMP - 上CNP ，145；
(3) 上FME = 90°
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出
上BPD = 上ABP + 上CDP ，由此结论来解决问题．
探究一：由平行线的性质推出 上BPN = 上ABP，上DPN = 上CDP ，得到
上BPN+ 上DPN = 上ABP + 上CDP，即可解决问题；
探究二：如图②,由平行线的性质推出 上MKP = 上CNP ，由三角形外角的性质即可得到
上AMP = 上P + 上CNP ；
如图③,由平行线的性质推出 上ALC = 上C = 60° ,求出 上ALB = 180° - 上ALC = 120° ,由三 角形外角的性质得到上BAE = 上B + 上ALB = 145° ;
如图④,由探究一的结论得到
上P = 上AMF + 上PMF + 上CNF + 上PNF，上F = 上AMF + 上CNF，而上P = 2上F ，推出
上上AMP，又上上PMB ，得到上上AMB = 90° . 【详解】（1）解： 上BPD = 上ABP + 上CDP ，理由如下：
如图。，
: ABⅡMN Ⅱ CD ，
: 上BPN = 上ABP，上DPN = 上CDP ， : 上BPN+ 上DPN = 上ABP + 上CDP ， : 上BPD = 上ABP + 上CDP ．
（2）如图② ,
上AMP = 上P + 上CNP ，理由如下：
: AB∥CD ，
: 上MKP = 上CNP ，
: 上AMP = 上P + 上MKP ，
: 上AMP = 上P + 上CNP ．
如图③,延长 EA交BC 于 L，
∵ AE Ⅱ CD ，
: 上ALC = 上C = 60° ,
: 上ALB = 180° - 上ALC = 120° ,
: 上BAE = 上B + 上ALB = 25° + 120° = 145° .
故答案为：上AMP = 上P + 上CNP，145 ．
（3）∵射线ME，NF 分别平分上BMP 和上CNP ， :上上PMB，上CNF = 上PNF ，
如图④ ,
由探究一的结论得：上P = 上AMF + 上PMF + 上CNF + 上PNF，上F = 上AMF + 上CNF ， ∵ 上P = 2上F ，
: 上AMF + 上PMF + 上CNF + 上PNF = 2上AMF + 2上CNF ， ∵ 上CNF = 上PNF ，
: 上AMF + 上PMF = 2上AMF ，