2024-2025学年湖南省永州市宁远县八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省永州市宁远县八年级下学期期末考试数学检测试卷，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025 年上期期末质量监测试卷 八年级数学
一、单选题（共 30 分）
1 ．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
2 ．一个容量为 50 的样本,在整理频率分布时,将所有频率相加,其和是( )
A ．50 B ．0.02 C ．0.1 D ．1
3 ．对于一次函数y = - x + b ， 使 x1、x2 对应的函数值不具有关系y1 > y2 的条件是( )
A ．x1 > x2 ，且 x1、x2 为任意两实数 B ．x1 < x2 ，且 x1、x2 为任意两实数
C ．0 < x1 < x2 D ．x1 < x2 < 0
4 ．下列说法中，你认为正确的是( )
A ．四边形具有稳定性 B ．等边三角形是中心对称图形
C ．任意多边形的外角和是360 D ．矩形的对角线一定互相垂直
5 ．一个 n 边形的每一个外角等于其相邻内角的 ，则 n 的值为( )
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
6 ．D、E、F 分别为 △ABC 三边的中点， △DEF 为面积为 6，则 △ABC 的面积为( )
A ．3 B ．9 C ．12 D ．24
7．如图，在 △ABC 中，上A = 100° , P 是 △ABC 内一点，过点P 作PD 丄 AB 于点D ，PE 丄 BC 于点E，PF 丄 AC 于点F ，若 PD = PE = PF ，则 Ð BPC 的度数为( )
A ．110° B ．120° C ．130° D ．140°
8 ．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将
“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分 别为(-2, 0) ，(0, 0) ，则“技”坐标是( )
A ．(-1, -1) B ．(1,1) C ．(-1,1) D ．(1, -1)
9 ．如图，一架长2.5m 的梯子AB 靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A 到墙根O 的距离为
0.7m ，如果梯子的顶端 B 下滑0.4m 至B¢ 处，那么梯子底端将滑动( )
A ．0.9m B ．0.8m C ．0.7m D ．0.6m
10 ．甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先到终点的人 原地休息．已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发 的时间 t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为 60 米/分；②乙走完全 程用了 30 分钟；③乙用 12 分钟追上甲；④乙到达终点时甲离终点还有 380 米；其中正确 的结论有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
二、填空题（共 24 分）
11 ．在平面直角坐标系xOy 中，作点P(1, -1) 关于y 轴的对称点P1 ，再将点P1 向上平移 3 个 单位，得到点P2 ，则点P2 的坐标为 ．
12．如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地ABC 种蔬菜，用栅栏CD 将三角形菜地分成 面积相等的两部分．若上ACB = 90° , AC = 12m ，BC = 5m ，则栅栏CD 的长为 m ．
13 ．研究人员为了预估某试验田中玉米的长势情况，随机测量了 40 株玉米的株高（单位： cm ），玉米株高的最大值是59cm ，最小值是 40cm ，如果取组距为 4cm ，那么可以将这 40 个数据分成 组．
14 ．如图，经过点 B（ -2 ，0）的直线 y ＝kx+b 与直线 y ＝4x+2 相交于点 A（ -1 ， -2）， 则不等式 4x+2＜kx+b 的解集为 ．
15 ．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标 A 的位置为(2，90° )，目标 B 的位置为 ．
16 ．如图，在矩形ABCD 中，AB = 4 ，BC = 8 ．将该矩形沿对角线BD 折叠，则图中阴影部 分面积是 ．
17 ．若一次函数y = kx + 2 （k 是常数，k ≠ 0 ）的图象经过第二、一、四象限，则 k 的值可 以是 （写出一个即可）．
18 ．如图，四边形ABCD 是正方形， △BCE 是等边三角形，连接AE ，上AEC = ．
三、解答题（共 66 分）
19 ．已知点C 、D 在线段AB 上，且AC = BD ，AE = BF ， Ð E = Ð F = 90° . 求证：
DE = CF ．
20．为积极响应市领导倡导的“阳光体育运动”的号召，某校八年级全体同学参加了一分钟跳 绳比赛．八年级共有 600 名同学（其中女同学 320 名），从中随机抽取部分同学的成绩，绘 制频数分布直方图如图．
.
(1)共抽取了______名同学的成绩；
(2)若规定男同学的成绩在 130 次以上（含 130 次）为合格，女同学的成绩在 120 次以上（含
120 次）为合格．
①在被抽取的成绩中，男、女同学分别有______名、______名成绩合格；
②估计该校八年级约有多少名同学成绩合格？
21 ．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-4,1) ，B (1,1) ，C (-3, 4)．
(1)①画出△ABC ；
②判定△ABC 的形状是______三角形；
(2)①画出△ABC 关于 x 轴对称的 △A¢B ¢C ¢ ;
②已知点 P 是y 轴上一点，若S△A¢B¢P = S△A¢B¢C¢,则点 P 的坐标是______．
22 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，D 是BC 的中点，过点A 作AE Ⅱ BC ，且 AE = DC ， 连接CE ．
(1)求证：四边形ADCE 是矩形：
(2)若AB = 5 ，BC = 8 ，求四边形 ADCE 的面积．
23 ．如图， △ABC 中，BC = 20 ，AC = 14 ，CE 平分 Ð ACB ，AE 丄 CE ，延长AE 交BC 于 点F ，D 是AB 的中点，求DE 的长．
24 ．我国古代人民利用物理学的杠杆平衡原理制作出了杆秤（如图），它是中华民族衡重的 基本量具之一．称重时，可以用秤杆上秤锤到绳纽的水平距离，即秤锤绳所对应的秤杆上刻 度线来读出秤钩上所挂物体的质量．若秤钩所挂物重为x 斤，秤杆上秤锤到绳纽的水平距离 为ycm ，且秤杆上末端刻度线到绳纽的水平距离为32cm ，下表中为若干次称重时所记录的 一些数据．
(1)求出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；
x / 斤
0
1
2
3
4
y/cm
2
5
8
11
14
(2)当秤钩所挂物重为 8 斤时，求秤杆上秤锤到绳纽的水平距离为多少cm ？
25 ．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求 的最小值．
解题思路：如图，作线段BC ，分别构造直角边为 1 ，x 和4-x ，2 的两个直角三角形，当 点A ，D ，E 在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在Rt△AFE 中，由勾股定理，得
AE 2= AF 2+ EF 2 ，即 所以求得的最小值为 5．
根据以上解题思路，解决以下问题：
求 的最小值．
求 为正数，0 < x < c ）的最小值．
(3)如图，在矩形ABCD 花园中，AB = 30 米，BC = 80 米，计划要铺设BE ，EC 两条小路， 点E 在AD 上．要使BE + EC 最小，设AE= x 米．求最小值是多少？
26 ．如图 1，在平面直角坐标系中，直线l1 交 x 轴于点 A，交y 轴于点 B，点 A 坐标为(3，0) ， 直线l2：y = 3x 与直线l1 ，相交于点 C，点 C 的横坐标为 1．
(1)求直线l1 的解析式；
(2)如图 2，点 D 是 x 轴上一动点，过点 D 作 x 轴的垂线，分别交l1 ，l2 于点 M，N，当MN = 2 时，求点 D 的坐标；
(3)在 x 轴上是否存在一点 E，使得△ACE 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 E 的坐标； 若不存在，说明理由．
1 ．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解： 从左数第一、四个是轴对称图形， 也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不 是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．
故选 B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
2 ．D
【详解】所有小组频数之和等于数据总数，所有频率相加等于 1.
3 ．A
【分析】先根据一次函数 判断出函数图象的增减性，再根据y1 > y2 进行判断即 可．
解：∵直线 ， :y 随 x 的增大而减小，
:若y1 > y2 ，则x1 < x2 ，符合条件的有 B 、C 、D，不符合条件的有 A；
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的增减性．即一次函数 y=kx+b（k≠0）中，当 k＞0，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 ，y 随 x 的增大而减小．
4 ．C
【分析】根据四边形具有不稳定性、等边三角形是轴对称图形， 但不是中心对称图形，多边 形的外角和等于 360 度及矩形的对角线相等但不一定垂直作答．
【详解】解：A、四边形不具有稳定性，故选项错误；
B、等边三角形不是中心对称图形，故选项错误；
C、正确；
D、矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，故选项错误． 故选 C．
【点睛】多边形内角与外角；等边三角形的性质；多边形；矩形的性质．
5 ．C
【分析】根据内外角互补关系，以及倍分关系，先求出外角度数，再用外角和 360°除以一
个外角度数即可得结果．
【详解】解：因为 n 边形的每个外角和它相邻内角的和为 180° , 又因为每个外角都等于它相邻内角的 ，
所以外角度数为 因为多边形的外角和为 360° , 所以 n=360÷45=8．
故选 C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角关系，以及多边形的外角和为 360° . 解题的 关键是掌握多边形的外角和等于 360 度．
6 ．D
【分析】根据中位线定理可证△DEF ∽△ABC ，相似比为 ，所以 S△BAC = 4S△DEF = 4 × 6 = 24 ．
【详解】解：QD，E，F 分别为△ABC 三边的中点， ,
:△DEF ∽△ABC ，相似比为 ，
△DEF △BAC ，
:S : S = 1: 4
即S△BAC = 4S△DEF = 4 × 6 = 24 ， 故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质， 熟练掌握三角形中 位线定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7 ．D
【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得BP, CP 分别平分
上ABC, 上ACB ，根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵点P 作PD 丄 AB 于点D ，PE 丄 BC 于点E，PF 丄 AC 于点F ， PD = PE = PF ，
: BP, CP 分别平分上ABC, 上ACB ，
: 上A = 100° ,
: 上ABC + 上ACB = 180° -100° = 80° ,
:Ð BPC = 180° - (上PBC + 上PCB) = 140° ;
故选 D．
8 ．B
【分析】本题考查坐标确定位置， 解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系．根 据“创”“新”的坐标分别为(-2, 0) ，(0, 0) ，可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“技”的 坐标即可．
【详解】解：由“创”“新”的坐标分别为(-2, 0) ，(0, 0) ，可得如下图的坐标系，
则“技”的坐标为(1,1) ， 故选：B．
9 ．B
【分析】根据 BO 丄 AO 可求出BO 的长，由此可求出B¢O 的长，在Rt △ A¢ OB ¢ 中，根据勾股 定理可求出A¢O 的长，由此可求出A¢ A的长．
【详解】解：: BO 丄 AO ， : 上AOB = 90° ,
在Rt△AOB 中，AB = 2.5 ，AO = 0.7 ，
（米）， :梯子的顶端B 下滑0.4m 至B¢ 处，
: BB ¢ = 0.4 ，则 B¢O = BO - BB ¢ = 2.4 - 0.4 = 2 ，A¢B ¢ = AB = 2.5 ， :在Rt△A¢ OB ¢ 中 ，
: A¢A = A¢O - AO = 1.5 - 0.7 = 0.8 （米）， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键．
10 ．C
【分析】根据甲先出发4 分钟行走240 米可得甲步行速度，故①符合题意；设乙的速度为： x 米/分，根据路程等于速度乘以时间可得乙的速度为80 米/分，从而得到乙走完全程的时间， 故②符合题意；直接观察图象可得乙追上甲的时间为(16 - 4) = 12 分；故③符合题意；再由 乙到达终点时，甲离终点距离是：2400 - (4 + 30) ×60 = 360 米，故④不符合题意
【详解】由题意可得：甲步行速度 米/分，故①符合题意；
设乙的速度为：x 米/分，
由题意可得：16 × 60 = (16 - 4) x ，
解得：x = 80
:乙的速度为80 米/分；
:乙走完全程的时间为分，故②符合题意；
由图可得：乙追上甲的时间为：(16 - 4) = 12 分；故③符合题意；
乙到达终点时，甲离终点还有2400 - (4 + 30) ×60 = 360 米，故④不符合题意； 故正确的结论为：①②③ ,
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，明确题意，读懂函数图象是解题的关键．
11 ．(-1, 2)
【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握坐标变换的性质是解题关键． 利用关于y 轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用 平移的性质得出答案．
【详解】解：:点P(1, -1) 关于y 轴的对称点为点P1 ， :点P1 (-1, -1) ，
:将点P1 向上平移 3 个单位，得到点P2 ，
:点P2 的坐标为(-1, -1 + 3)，即 (-1, 2) ．
故答案为：(-1, 2) ．
12 ．6.5
【分析】本题考查了勾股定理， 斜边上的中线等于斜边的一半，中线与面积，正确掌握相关 性质内容是解题的关键．先运用勾股定理算出 结合栅栏CD 将三 角形菜地分成面积相等的两部分．得出CD 是△ABC 的中线，即可作答．
【详解】解：: 上ACB = 90° , AC = 12m ，BC = 5m ，
:用栅栏CD 将三角形菜地分成面积相等的两部分． : CD 是△ABC 的中线，
故答案为：6.5 ．
13 ．5
【分析】本题主要考查了求组距， 用玉米株高的最大值减去最小值，所得的差除以 4，若能 整除，所得的商即为分成的组数，若不能整除，那么所得的商加 1 即为组数，据此求解即可．
解
:可以将这 40 个数据分成4 +1 = 5 组， 故答案为：5．
14．x＜ -1．
【分析】根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解．
【详解】观察函数图象可知：当 x＜ -1 时，直线y ＝kx+b 在直线y ＝4x+2 的上方， ∴不等式 4x+2＜kx+b 的解集为 x＜ -1．
故答案为 x＜ -1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等 式的解集是解题的关键．
15 ．(4，30° )
【分析】圆的圈数为横坐标，线所在度数为纵坐标解答即可．
本题考查了描述位置的新方法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据圆的圈数为横坐标，线所在度数为纵坐标，
得目标 B 的位置为(4，30° )， 故答案为：(4，30° )．
16 ．10
【分析】首先根据折叠图形和平行线的性质得出 BE = DE ，然后设 BE = DE = x ，则 AE = 8 - x ，根据勾股定理求出 x 的值，最后根据三角形的面积计算公式得出答案． 【详解】解：根据折叠得：上CBD = 上EBD ，
∵四边形ABCD 是矩形， : ADⅡBC ，
: 上EDB = 上CBD ， : 上EBD = 上EDB ， : BE = DE ，
设BE = DE = x ，则 AE = 8 - x ，
在Rt△ABE 中，AE2 + AB2 = BE2 ， : (8 - x )2 + 42 = x2 ，
解得：x = 5 ，
即DE = 5 ，则S阴影 = 5 × 4 ÷ 2 = 10 ， 故答案为：10．
【点睛】本题主要考查的是矩形折叠的性质以及勾股定理的应用， 属于中等难度的题型．解 答折叠问题的时候，我们首先要明确对应边和对应角，将所求的线段放入直角三角形中，从 而得出线段的长度．
17 ．-1（答案为不唯一，只要满足 k < 0 即可）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，直接利用函数经过的象限进而得出k < 0 即可， 掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y = kx + 2 的图象经过第二、一、四象限， : k < 0 ，
: k 可以取-1，
:故答案为：-1（答案为不唯一，只要满足 k < 0 即可）． 18 ．135° ##135 度
【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质， 等角对等边等知识，综合运用这 些知识点是解题关键．
根据等边三角形的性质和正方形的性质可得BE = BC ，上EBC = ∠BEC = 60° ,再由等边对 等角和三角形内角和定理可得上BEA 的度数，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， :AB = BC ，上ABC = 90° ,
QVBCE 是等边三角形，
: BE = BC ，上EBC = ∠BEC = 60° ,
: AB = BE， ∠ABE = 90° - 60° = 30° ,
: Ð AEC = 上BEA + 上BEC = 135° , 故答案为：135° .
19 ．见解析
【分析】先证明 AD = BC ，然后根据 HL 证明Rt△AED≌Rt△BFC ，根据全等三角形的性质 即可得证．
【详解】证明：∵ AC = BD ，
: AC + CD = BD + CD 即AD = BC ，
∵ Ð E = Ð F = 90°
在Rt△AED 与Rt△BFC 中，
: Rt △AED≌Rt△BFC (HL) ， : DE = CF ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20 ．(1)60
(2)①21 ，27；②484 名
【分析】（1）根据直方图进行计算即可；
（2）①根据直方图进行计算即可；②利用样本估计总体的思想进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，抽取的人数为：1+ 2 + 6 +14 + 5 + 2 +1+ 2 +13 + 8 + 4 + 2 = 60 ； 故答案为：60 ．
（2）①男同学成绩合格的人数为14 + 5 + 2 = 21；女同学成绩合格的人数为：13 + 8 + 4 + 2 = 27 ； 故答案为：21, 27 ；
（名），
:估计该校八年级约有 484 名同学成绩合格．
【点睛】本题考查直方图， 以及利用样本数量估计总体数量，解题的关键是从直方图中有效 的获取信息．
21 ．(1)①见解析；②等腰
(2)①见解析；②(0, -4) 或(0, 2)
【分析】本题考查了坐标与圈形变化： 轴对称、勾股定理、三角形的面积， 熟练掌握这些知 识是解题的关键．
（1）①根据VABC 各点坐标画出VABC 即可；②根据勾股定理及等腰三角形的定义可判断 VABC 的形状；
（2）①画出VABC 关于 x 轴对称的 △A¢B ¢C ¢ 即可；②由S△A¢B¢P = S△A¢B¢C¢求出点 P 的坐标即可； 【详解】（1）①如图所示；
② QA(-4,1) ，B (1,1) ，C (-3, 4)，
:AB = BC ，
:△ABC 是等腰三角形， 故答案为：等腰；
（2）①如图所示；
② Q S△A¢B¢P = S△A¢B¢C¢ ,
: 点C¢ 与点 P 到A¢B¢ 的距离相等，
Q 点 P 是y 轴上一点， : P(0, -4) 或(0, 2) ．
故答案为：(0, -4) 或(0, 2) ．
22 ．(1)见解析
(2)S矩形ADCE=12
【分析】（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求证 ；
（2）利用勾股定理求出线段 AD 的长度即可求解． 【详解】（1）证明：Q AB = AC ，D 为BC 的中点， : AD 丄 BC ，
Q AE Ⅱ BC
: AE Ⅱ DC ，
Q AE = DC ，
: 四边形ADCE 是平行四边形， Q 上ADC = 90° ,
: 四边形ADCE 是矩形．
（2）解：Q AB = AC ，D 是BC 的中点， :上ADB = 90° ,
Q BC = 8 ，
:BD = DC = 4 ，
Q 四边形ADCE 是矩形， : S矩形ADCE = AD·DC=12
【点睛】本题考查了矩形的判定定理、勾股定理的应用．掌握相关结论进行几何推导是解题 关键．
23 ．DE = 3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理．根据CE 平分
Ð ACB ，AE 丄 CE ，运用 ASA 易证明△ACE ≌ △FCE ．根据全等三角形的性质，得 AE = EF ，CF = AC ，从而在△ABF 中，根据三角形的中位线定理就可求解．
【详解】解：Q AE 丄 CE ，
:上AEC = 上FEC = 90° , 又Q CE 平分 Ð ACB ， 上ACE = 上FCE ，
在 ΔACE 和△FCE 中，
ï
ì上AEC = 上FEC
íCE = CE ， ïl上ACE = FCE
:△ACE≌△FCE (ASA )，
: AE = EF ，FC = AC = 14 ，
:BF = BC - FC = 6 ，
又QD 是AB 的中点， : AD = BD ，
:DE 是△ABF 的中位线，
24 ．(1) y = 3x + 2 ( 0 ≤ x ≤ 10 )；
(2)26 厘米．
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
（1）依题意，设 y 与x 之间的函数关系式为y = kx + b （k ≠ 0 ），待定系数法求解析式即可 求解；
（2）将 x =8 代入（1）的解析式即可求解；
【详解】（1）解：由表格数据的变化规律可知：当 x =0 时，y = 2 ，以后x 每增加 1 斤，y 增加3 cm
: y 是x 的一次函数，设y = kx + b ，则 k = 3 ，b = 2
:函数的解析式为：y = 3x + 2
:秤杆上末端刻度线到秤纽的水平距离为32 cm ，即 0 ≤ y ≤ 32
由y = 32 代入y = 3x + 2 ，解得 x = 10
:自变量x 的取值范围0 ≤ x ≤ 10
（2）当 x =8 时，代入y = 3x + 2
解得y = 3 × 8 + 2 = 26
:当秤钩所挂物重为 8 斤时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是 26 厘米．
25 ．(1)13
(3)100 米
【分析】本题考查矩形的性质， 勾股定理，求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关 键．
（1）类比题干给出的方法，进行求解即可；
（2）类比题干给出的方法，进行求解即可；
（3）利用矩形的性质可得BE + CE = + ，再直接利用结论求解即可； 【详解】（1）解：如图：作线段 BC ，分别构造直角边为 2，x 和12 - x ，3 的两个直角三角 形，
: AD = ，
当点 A，D ，E 在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在Rt△AFE 中， 由勾股定理，得AE2 = AF2 + EF2 ，
即AE = = 13 ，
: + (0 < x < 12) 的最小值为 13．
（2）解：如图，同法（1）可得：
的最小值为
（3）解：:矩形ABCD ，
: 上A = 上D = 90°, AD = BC = 80m, CD = AB = 30m ， : AE = xm ，
: DE = (80 - x)m ，
由勾股定理，得
由（2）中结论可得：BE + CE 的最小值为米；
26 ．(1)直线l1 的解析式为
(2)点 D 的坐标为 或
(3)存在，点 E 的坐标为(3 - , 0)或(3 + , 0)或 或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解 题的关键是：
（1）先求出 C 的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
设D ，则 求出 根据MN = 2 ，列 出关于 m 的方程，然后求解即可；
（3）过点C 作CH 丄 x 轴于点H ，则H(1, 0) ，利用勾股定理可得 AC ，设E(x, 0)，则
AE = x - 3 ，分三种情况：当AE = AC 时，当AC = CE 时，当EA = EC 时，分别求出点E 的 坐标即可；
【详解】（1）解：∵直线l2：y = 3x 与直线l1 相交于点 C，点 C 的横坐标为 1， : C (1，3) ，
设直线l1 的解析式为y = kx + b ，把 A(3，0) 、C (1，3) 代入，得：
ì3k + b = 0
ílk + b = 3 ，
解得：
:直线 l1 的解析式为
解：设D ，则
∵ MN = 2 ，
解得 或
( 5 ö ( 13 ö
:点 D 的坐标为çè9 , 0,÷ 或 çè 9 , 0,÷ ;
（3）解：存在．理由如下：
如图 1，过点C 作CH 丄 x 轴于点H ，则H(1, 0) ，
: AH = 3 -1 = 2 ，CH = 3 ，
在Rt△ACH 中
设E(x, 0)，则 AE = x - 3 ，
当AE = AC 时 ， 解得： 或 ，
或 当AC = CE 时，
Q CH 丄 x 轴，即CH 丄 AE ，
: AH = EH ，即 AE = 2AH = 4 ， :E (-1, 0)；
当EC = EA 时，(x -1)2 + 32 = (3 - x )2
解得：
综上所述，点E 的坐标为或 或(-1, 0) 或