2024-2025学年湖南省永州市宁远县七年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省永州市宁远县七年级下学期期末考试数学检测试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
七年级数学
时量：120 分钟 满分：120 分
一、单选题（共 30 分）
1 ．下列图案中，不是轴对称图形的是( )
..
A．
B．
C．
D．
2 ．下列计算正确的是( )
A ．3a2 - a2 = 2 B ．(-3a3 )2 = 6a6
C ．(a - 2)2 = a2 - 4 D ．a3.a2 = a5
3 ．下列各式不能用平方差公式计算的是( )
A ．(2x + b)(2x - b) B ．(2x + b)(b - 2x)
C ．(2x - b)(-2x - b) D ．(2x + b)(-2x - b)
4 ．下列各数：-0.9, π , , , 0,1.2020020002 …(每两个2 之间多一个0 )中是无理数的有 ( )个．
A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
5 ．若 x＜y，则下列式子中错误的是( ).
A．x－2＜y－2 B．x＋2＜y＋2 C ． D ．-2x＜-2y
6 ．关于x ，y 的方程组的解，满足x -y < 4 ，则 k 的取值范围是( )
A ．k > 5 B ．k ≥ 5 C ．k < 5 D ．k ≤ 5
7 ．2020 年某市受“新冠”疫情影响，有 2 万名学生参加线上学习并进行了一次数学考试，为 了解这些学生的数学成绩，从中抽取 100 名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的 是( )
A ．2 万名学生是总体 B ．每位学生的数学成绩是个体
C ．这 100 名学生是总体的一个样本 D ．100 名学生是样本容量
8 ．如图，直线a Ⅱb ，点 A 在直线b 上，上BAC = 108° , ÐBAC 的两边与直线 a 分别交于
B 、C 两点．若上1 = 42° ,则 上2 的大小为( )
A ．30° B ．38° C ．52° D ．72°
9 ．下列说法错误的是( )
A ．在同一平面内，直线 a∥b，若 c 与a 相交，则 b 与c 也相交
B ．在同一平面内，直线 a 与 b 相交，c 与a 相交，则b∥c
C ．在同一平面内，两条不平行的直线是相交线
D ．直线 AB 与 CD 平行，则 AB 上所有点都在 CD 的同侧
10 ．如图，AD ∥ BC ,若△ ABC 的面积是 15，则△ DBC 的面积是( )
A ．7.5 B ．12 C ．14 D ．15
二、填空题（共 24 分）
11 ．若x < < x +1，且 x 为整数，则x = ．
12 ．若 则a + b 的平方根是 ．
13 ．已知2x . 4x .8y = 64，则x + y = .
14 ．如图，三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转90° 到三角形AB ¢ C ¢ 的位置. 已知上BAC = 35° ,则
上B ¢ AC = 度.
15 ．如图，直线 AB 、 CD 交于点O ， OE 是 上AOD 的平分线， 已知 上COB + 上AOD = 300° , 则上COE 的度数为 ．
16 ．(x - 2y)2 ＋ ＝(x + 2y)2 ．
17 ．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B 到点 C 的方向平移到 △DEF 的位置，AB = 10 ，DO = 4 ，若平移距离为 7，则阴影部分面积为 ．
18 ．数字“8”在古代深受古人喜爱，由于释迦牟尼的生日是中国农历的四月初八，古人们更 加崇拜“8”字．后又“8”的谐音为“发”，与发财致富有关，所以，“8”成为了我们中国人口中最 吉利的数字．若一个正整数各数位上的数字之和为 8，且这个数能被 8 整除，我们就称这个 数为“发财数” ．例如：数字 2024，因为2 + 0 + 2 + 4 = 8 ，且2024 ÷ 8 = 253 ，所以 2024 是“发 财数” ．1232 “发财数”（填是或不是），求所有三位“发财数”的和是 ．
三、解答题（共 66 分）
ì 4x - 5 ≤ 3①
l2x + 2 > x -1② .
19 ．解不等式组 í ,并把此不等式组的解集在数轴上表示出来
20 ．如图， △ABC 在平面直角坐标系中，根据要求作答．
(1)请画出△ABC 绕点 O 旋转180° 后的△A1B1C1 ；
(2)请画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90° 后的 △A2BC2 ，并写出 C2 坐标．
21 ．为进一步推动“双减”工作落地生效，某校立足于“减负、提质、增效”的工作方针，从学 校实际出发，积极优化课后服务课程设置．如图，某校园内有一块长为(4a - b) 米，宽为
(2a + b) 米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为(a + b) 米的正方形地块修建一个乒乓 球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化．
(1)用含 a ，b 的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）；
(2)当a = 5 ，b = 4 时，求绿化部分的面积．
22 ．如图，已知AE 丄 FC 于点E ， Ð 3 = Ð 4 ，上1+ 上2 = 90° , 求证：上F + 上BAF = 180° （把 下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据）．
证明：Q AE 丄 FC ，
:上AEC = 90° ,
:上1+ 上AEB = 90° .
Q 上1+ 上2 = 90° ,
:上AEB = _________，
: AD∥________（_______）．
:上4 + _________ = 180° （_________）， Q Ð 3 = Ð 4 ，
: 上3+ ________ = 180° .
:__________ Ⅱ CF （__________）．
:上F + 上BAF = 180° .
23 ．2024 年，中国空间站工程将陆续实施天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天舟 八号货运飞船、神舟十九号载人飞船等 4 次飞行任务，为了解学生对“航空航天知识”的掌握 情况，某中学随机抽取学生进行测试，并对测试结果进行整理和分析，将成绩划分为
A(90 ≤ x ≤ 100) ，B(75 ≤ x < 90) ，C(60 ≤ x < 75) ，D(x < 60) 四个等级，并绘制了如下统计 图（不完整）．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)求出本次调查抽取的总人数，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求等级为D 的学生人数所对应的扇形圆心角的度数；
(3)若该中学共有 3000 名学生，且全部参加这次测试，利用题中信息，估计学生的测试成绩 A 等的总人数．
24．六一儿童节是孩子们最期待的节日，为了让孩子们度过一个快乐、充实且有意义的节日， 某校精心筹备了六一游园活动，组织六年级 350 名师生集体外出游园．现有甲、乙两种客车， 甲种客车载客量为 45 人／辆，乙种客车的载客量为 30 人／辆，拟租用甲、乙两种客车共 9 辆，若一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲种客车多少辆？
25 ．我们定义：一个整数能表示成a2 + b2 （ a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“理想 数”，例如，10 是“理想数”，理由：因为10 = 12 + 32 所以 10 是“理想数”．
(1)解决问题：已知 53 是“理想数”，请将它写成 a2 + b2 （ a ，b 是整数）的形式；
(2)探究问题：已知x2 + 2y2 - 4x + 4y + 6 = 0 ，则x + y = ______
(3)融会贯通：已知s = 2x2 + y2 + 2xy +12x + k （ x、y 是整数，k 是常数）要使 S 为“理想数”， 试求出符合条件的k 值，并说明理由；
(4)举一反三：已知实数x ，y 满足 求y- x 最值．
26 ．已知：直线EF 分别交直线AB ，CD 于点 G ，H，且上AGH + 上DHF = 180° .
(1)如图 1，求证：ABⅡCD ；
(2)如图2，点 M，N 分别在射线GE ，HF 上，点 P ，Q 分别在射线GA ，HC 上，连接MP ， NQ ，且上MPG + 上NQH = 90° ,分别延长MP ，NQ 交于点K，求证：MK 丄 NK ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接KH，若 KH 平分上MKN，且 HE 平分上KHD，若
上DHG = 5上MPG ，请直接写出 上KMN 的度数．
1 ．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定 义．
根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形；进行逐一判断即可．
【详解】解：A 项不是轴对称图形，B 、C 、D 都是轴对称图形.
故选 A.
2 ．D
【分析】根据整式的加减乘除运算法则逐个分析即可.
【详解】解：选项 A：3a2 - a2 = 2a2 ，故选项 A 错误；
选项 B：(-3a3 )2 = 9a6 ，故选项 B 错误；
选项 C：(a - 2)2 = a2 - 4a + 4 ，故选项 C 错误；
选项 D：a3 . a2 = a3+2 =a5 ，故选项 D 正确.
故答案为:D.
【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，熟练掌握运算法则及公式是解决此类题的关 键.
3 ．D
【分析】根据平差公式的形式判断即可．
【详解】A 、(2x + b)(2x - b) 可以用平方差公式；
B 、(2x + b)(b - 2x) = (b + 2x)(b - 2x) ，可以用平方差公式；
C 、(2x - b)(-2x - b) = - (2x - b)(2x + b)，可以用平方差公式；
D 、(2x + b)(-2x - b) = - (2x + b)(2x + b) ，不能用平方差公式；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的基本形式是解决问题的关键．
4 ．C
【分析】根据无理数的概念直接进行解答即可．
解 每两个2 之间多一个0 )是无理数，是有理数．
故无理数有3 个．
故选 C．
【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
5 ．D
【详解】解：A ．因为 x＜y，所以根据不等式的性质，在不等式两边同时减去 2，得 x-2< y-2，故 A 正确；
B ．因为 x＜y，所以根据不等式的性质，在不等式两边同时加上 2，得 x＋2＜y＋2 ，故 B 正确；
C ．因为 x＜y，所以根据不等式的性质，在不等式两边同时除以 2，得 故 C 正确；
D ．因为 x＜y，所以根据不等式的性质，在不等式两边同时乘以-2，得-2x＞-2y，故 D 错误． 故选 D．
6 ．C
【分析】将 2 个方程相加得出x -y = k -1，根据不等式的解集的情况，得出 k -1 < 4 ，进而 即可求解．
解 由 ① + ② 得：4x - 4y = 4k - 4
: x - y = k -1， : x - y < 4 ，
: k -1< 4
解得：k < 5 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出x -y 的表达式是解答此题的关键．
7 ．B
【分析】根据总体的定义（要调查的全体对象）、个体的定义（组成总体的每一个调查对
象）、样本的定义（被抽取的个体组成一个样本）、样本容量的定义（样本中个体的数目称为 样本容量）逐项判断即可得．
【详解】解：A 、2 万名学生的数学成绩是总体，则此项说法错误，不符合题意；
B、每位学生的数学成绩是个体，则此项说法正确，符合题意；
C、这 100 名学生的数学成绩是总体的一个样本，则此项说法错误，不符合题意；
D、样本容量是 100，则此项说法错误，不符合题意； 故选：B．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量， 熟记定义是解题关键，需注意的是，样 本容量指的是样本中个体的数目，它只是一个数字，不带单位．
8 ．A
【分析】此题考查了平行线的性质，平角的概念，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，首先根据平行线的性质得到上BAD = 上1 = 42° ,然后结合平角的概念求解即可． 【详解】如图所示，
∵ aⅡb
: 上BAD = 上1 = 42° ∵ 上BAC = 108°
: 上2 = 180° - 上BAD - 上BAC = 30° .
故选：A．
9 ．B
【分析】根据平行公理和两直线的位置关系判断即可确定正确的选项．
【详解】A.如果 b 与 c 不相交就平行,那么就相当于过 a ，c 交点可以作两条直线与 b 平行了， 这与平行公理矛盾，故 A 选项正确；
B. 因为 b 与 c 的关系可能相交，也可能平行，故 B 选项错误；
C. 在同一平面内，两条不平行的直线是相交线，故 C 选项正确；
D.如果 AB 上的点不在 CD 的同侧，那么 AB ，CD 就会相交，故 D 选项正确.
【点睛】本题主要考查了平行公理和两直线的位置关系， 相对比较简单，只要把握了相应的 知识点，来进行正确的判断即可.
10 ．D
【分析】根据平行线间的距离相等， 可得两三角形等高，根据两三角形等底等高，可得两三 角形面积相等．
【详解】解：ADⅡBC，
AD 与 BC 间的距离相等，
△ABC 与△DBC 等底等高，
△DBC 的面积等于△ABC 的面积， 故选 D．
【点睛】本题考查了平行线间的距离，平行线间的距离相等，等底等高的三角形的面积相等．
11 ．2
【分析】本题考查了二次根式的估值求参数值的问题，熟练掌握二次根式的估值计算是解题 的关键．利用二次根式的估值方法进行计算即可．
【详解】解：: < < ，
又 : x = 2 ，
故答案为：2 ．
12 ．
【分析】利用平方、算术平方根的非负性求出 a ，b，进而可求出 a + b 的平方根． 解 ，
: a - 3 = 0 ， b - 5 = 0 ，
: a = 3 ， b = 5 ，
: a + b = 3 + 5 = 8 ，
: a + b 的平方根
故答案为： ．
【点睛】本题考查非负数的性质、求一个数的平方根、二次根式的性质等， 解题的关键是利 用平方和算术平方根的非负性求出 a ，b．
13 ．2.
【分析】先把等式化简，再根据化简后的等式求解.
【详解】解：2x . 4x .8y = 2x ×22x ×23y = 23(x+y) = 64 = 26
所以x + y = 2.
故答案为 2.
【点睛】此题重点考查学生对幂的乘方和同底数幂的乘法的理解，掌握同底数幂的乘法法则 是解题的关键.
14 ．55
【分析】根据旋转的性质，可得∠BAB’=90°,再利用角的和差关系即可 【详解】解：∵三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转90° 到三角形AB ¢ C ¢ 的位置.
:∠BAB’=90° , ∵ 上BAC = 35° ,
: 上B ¢ AC = ∠BAB’- ÐBAC =90°-35°=55° .
故答案为 55.
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 15 ．105°
【分析】本题考查了对顶角的性质， 邻补角互补求角度，以及角平分线的定义，熟练掌握各 知识点是解题的关键．先根据对顶角相等得到上COB = 上AOD = 150° , 再根据邻补角互补求 出上AOC = 30° ,然后结合角平分线的定义以及 上COE = 上AOC + 上AOE 即可求解．
【详解】解：∵ 上COB + 上AOD = 300° , 上COB = 上AOD ，
: 上COB = 上AOD = 150° , ∵ 上AOD + 上AOC = 180° , : 上AOC = 30° ,
∵ OE 是上AOD 的平分线，
: 上COE = 上AOC + 上AOE = 105° , 故答案为：105° .
16 ．8xy.
【分析】由 (x - 2y)2 = x2 - 4xy2 + 4xy,(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 , 从而可得答案． 【详解】解：(x - 2y)2 + 8xy = (x + 2y)2 ,
故答案为：8xy.
【点睛】本题考查的是两个完全平方公式之间的关系，掌握两个完全平方公式是解题的关键．
17 ．56
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质， 掌握全等形的面积相等是解题的关 键．
根据平移的性质分别求出BE 、DE ，根据题意求出OE ，根据全等三角形的性质、梯形的面 积公式计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质知，BE = 7 ，DE = AB = 10 ，
: OE = DE - DO = 10 - 4 = 6 ， :平移，
:S△ABC = S△DEF ，
: S四边形ODFC = S梯形 ， 故答案为：56．
18 ． 是 2128
【分析】本题考查了新定义，数的整除，熟练掌握知识点是解的关键． ①根据定义直接验证即可；
②若一个三位数是“发财数”，则百位数必定小于等于 8，且个位数为偶数．设该三位数十位 上的数是 a，个位数是 b，按照百位数等于 8 ，7 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1 进行讨论计算即可．
【详解】解：①: 1+ 2 + 3 + 2 = 8 ，1232 ÷ 8 = 154 ，
: 1232 是“发财数”， 故答案为：是；
②若一个三位数是“发财数”，则百位数必定小于等于 8，且个位数为偶数．
设该三位数十位上的数是 a，个位数是 b，当百位数等于 8 时，a + b = 8 - 8 = 0 ，故 a = b = 0 ，而 800 能被 8 整除，故 800 是“发财数”；
当百位数等于 7 时，a + b = 8 - 7 = 1，故 a = 1 且b = 0 或者a =0 且b = 1，而 710 和 701 都不 能被 8 整除，所以它们都不是“发财数”；
当百位数等于 6 时，a + b = 8 - 6 = 2 ，要求 b 为偶数，所以b = 2 或b = 0 ，当 b = 2 时，
a = 0 ；当 b = 0 时，a = 2 ；经计算 602 不能被 8 整除，620 不能被 8 整除，即 602 、620 不 是“发财数”；
当百位数等于 5 时，a + b = 8 - 5 = 3 ，要求 b 为偶数，所以b = 2 或b = 0 ，当 b = 2 时，
a = 1；当 b = 0 时，a = 3 ；经计算 530 不能被 8 整除，512 能被 8 整除，即 530 不是“发财
数” ，512 是“发财数”；
当百位数等于 4 时，a + b = 8 - 4 = 4 ，要求 b 为偶数，所以b = 4 或b = 2 或b = 0 ，当b = 2 时， a = 2 ；当b = 0 时，a = 4 ；当b = 4 时，a = 0 ；经计算 422 、404 不能被 8 整除，440 能被 8 整除，即 422 和 404 不是“发财数” ，440 是“发财数”；
当百位数等于 3 时，a + b = 8 - 3 = 5 ，要求 b 为偶数，所以b = 4 或b = 2 或b = 0 ，当b = 2 时， a = 3 ；当 b = 0 时，a = 5 ；当b = 4 时，a = 1；经计算 332 、350 、314 不能被 8 整除，即
350 、332 和 314 不是“发财数”；
当百位数等于 2 时，a + b = 8 - 2 = 6 ，要求 b 为偶数，所以b = 6 或b = 4 或b = 2 或b = 0 ，当 b = 6 时a = 0 ，当b = 4 时，a = 2 ；当b = 2 时，a = 4 ；当b = 0 时，a = 6 ；经计算 242 、260 和 206 不能被 8 整除，224 能被 8 整除，即 242 、260 和 206 不是“发财数” ，224 是“发财
数”；
当百位数等于 1 时，a + b = 8 -1 = 7 ，要求 b 为偶数，所以b = 6 或b = 4 或b = 2 或b = 0 ，当 b = 6 时a = 1 ；当b = 4 时，a = 3 ；当b = 2 时，a = 5 ；当b = 0 时，a = 7 ；经计算 116 、134 和 170 不能被 8 整除，152 能被 8 整除，即 116 、134 和 170 不是“发财数”,152 是“发财数”； 综上所述，三位“发财数”共有如下几个： 800 ，512 ，440 ，224 ，152，
∴所有三位“发财数”的和是800 + 512 + 440 + 224 +152 = 2128 ， 故答案为：2128．
19 ．原不等式组的解集是-3 < x ≤ 2 ，数轴表示见解析．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式 组的解集．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间 找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式①,得 x ≤ 2 ； 解不等式②,得 x > -3 ；
∴原不等式组的解集是-3 < x ≤ 2 ；
把不等式组的解集在数轴上表示出来，如下：
.
20 ．(1)图见详解
(2)图见详解，(-1, 4)
【分析】（1）作出 A 、B 、C 关于原点O 对称的对应点A1 、B1 、C1 ，顺次连接即可；
（2）作出 A 、B 、C 绕点B 按逆时针方向旋转90° 后的对应点A2 、B 、C2 ，顺次连接即可 得到图形，再写出点C2 的坐标即可．
此题考查了旋转的作图，准确找到变化后的对应点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求，
（2）解：如图所示， △A2BC2 即为所求，C2 坐标为(-1, 4) ．
21 ．(1) (7a2 - 2b2 ) 平方米
(2)绿化部分的面积为 143 平方米
【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积， 求解代数式的值，列出正确的运算式 是解本题的关键；
（1）由 S阴影部分 = S长方形 - S正方形 ，再列式计算即可；
（2）把 a = 5 ，b = 4 代入（1）中化简后的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： S阴影部分 = S长方形 - S正方形
= (4a - b)(2a + b) - (a + b)2
= 8a2 + 4ab - 2ab - b2 - (a2 + 2ab + b2 )
= 8a2 + 2ab - b2 - a2 - 2ab - b2
= (7a2 - 2b2 ) 平方米；
（2）当 a = 5 ，b = 4 时，
7a2 - 2b2
= 7 × 52 - 2× 42
= 143（平方米），
答：绿化部分的面积为 143 平方米．
22 ．上2 ；BE ；内错角相等，两直线平行； ÐBAD ；两直线平行，同旁内角互补；
ÐBAD ；AB ；同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的性质与判定， 熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根 据平行线的性质与判定即可证明．
【详解】证明：Q AE 丄 FC ，
:上AEC = 90° ,
:上1 + 上AEB = 90° .
Q 上1+ 上2 = 90° ,
: 上AEB = 上2 ，
: AD ⅡBE （内错角相等，两直线平行）．
:上4 + 上BAD = 180° （两直线平行，同旁内角互补）， Q Ð 3 = Ð 4 ，
:上3 + 上BAD = 180° .
: AB Ⅱ CF （同旁内角互补，两直线平行）．
:上F + 上BAF = 180° .
故答案为：上2 ；BE ；内错角相等，两直线平行； ÐBAD ；两直线平行，同旁内角互补；
ÐBAD ；AB ；同旁内角互补，两直线平行．
23 ．(1)50 人，见详解
(2) 36°
(3)1200 名
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用， 读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）由图得B 等级有 10 人，占20% ，可求抽取的总人数，从而可求出C 等级的人数，即可 补全条形统计图；
（2）用 360 度乘以D 级所占的比例即可求出扇形统计图中等级为D 的学生人数所对应的扇 形圆心角的度数；
（3）用总人数乘 A 等级所占的比例即可．
【详解】（1）解：由图得：B 等级有 10 人，占20% ， :10 ÷ 20% = 50 （人) ，
等级C 的人数：50 - 20 -10 - 5 = 15 （人) ， 条形图如图所示：
（2）解：等级为 D 的学生人数所对应的扇形圆心角的度数为；
解 （名）
答：估计学生的测试成绩A 等的总人数有 1200 人．
24 ．至少租用甲种客车 6 辆
【分析】本题主要考查了不等式的应用， 根据不等关系列出不等式，是解题的关键．设需要 租用甲种客车x 辆，则租用乙种客车(9 - x)辆，根据总人数为 350 人，列出不等式，解不等 式即可．
【详解】解：设需要租用甲种客车x 辆，则租用乙种客车(9 - x)辆，根据题意得：
45x + 30(9 - x) ≥ 350 ， 解得： ，
Q x 为整数，
:x 取最小整数 6，
答：至少租用甲种客车 6 辆．
25 ．(1) 53 = 72 + 22
(2)1
(3) k = 36 ，理由见解析
(4)y- x 的最小值为 ，无最大值
【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用， 熟练掌握以上知识点，理解理想数的定 义是解此题的关键．
（1）根据理想数的定义求解即可；
（2）利用完全平方公式配方得出(x - 2)2 + 2(y +1)2 = 0 ，利用非负数的性质求出 x = 2 ， y = -1，代入代数式计算即可得解；
（3）配方得出 s =(x + y)2 + (x + 6)2 + (k - 36) ，再结合理想数的定义求解即可；
（4）表示出 y - x = x 结合非负数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：53 = 72 + 22 ；
（2）解：∵ x2 + 2y2 - 4x + 4y + 6 = 0 ， : x2 - 4x + 4 + 2y2 + 4y + 2 = 0 ，
: (x - 2)2 + 2(y +1)2 = 0 ， ∵ (x - 2)2 ≥ 0 ，(y +1)2 ≥0 ，
: x - 2 = 0 ，y +1 = 0 ， : x = 2 ，y = -1，
: x + y = 2 + (-1) = 1；
（3）解：k = 36 ，理由如下：
s = 2x2 + y2 + 2xy +12x + k = (x + y)2 + (x + 6)2 + (k - 36) ，
∵S 为“理想数”， : k - 36 = 0 ，
: k = 36 ；
解
: y - x 的最小值为 ，无最大值．
26 ．(1)见解析
(2)见解析
(3) 60°
【分析】（1）对顶角相等，得到上DHF = 上EHC ，进而得到上AGH + 上EHC = 180° , 即可得 证；
（2）过 K 作KO Ⅱ AB ，则 KO ⅡCD ，推出 上MKO + 上NKO = 90° ,即 上MKN = 90° ,即可 得证；
（3）过 M 作MT Ⅱ AB ，过 K 作KR Ⅱ AB ，易得MT Ⅱ AB Ⅱ CD ⅡKR ，设 上DHG = 5x ， 上MPG = x ，推出 上RKH + 上MKR = 180° -10x + x = 45° ,求出 x 的值，即可得出结果．
【详解】（1）证明：: 上AGH + 上DHF = 180° ,
又:上DHF = 上EHC ，
: 上AGH + 上EHC = 180° , : AB ⅡCD ；
（2）证明：如图，由（1）知，AB ⅡCD ，
过 K 作KO ⅡAB ，
: AB ⅡCD ，
: KO ⅡCD ，
: KO ⅡAB ，
: 上MPG = 上MKO ，
: KO ⅡCD ，
:上NQH = 上NKO ，
:上MPG + 上NQH = 90° , : 上MKO + 上NKO = 90° , 则上MKN = 90° ,
即MK 丄 NK ．
（3）解：如图，过 M 作MT Ⅱ AB ，过 K 作KR Ⅱ AB ，
: AB ⅡCD ，
: MT Ⅱ AB Ⅱ CD ⅡKR ， : KH 平分上MKN ，
: 上MKH = 上NKH = 45° , : 上DHG = 5上MPG ，
:设上DHG = 5x ，上MPG = x ， : HE 平分上KHD ，
: 上KHM = 上DHG = 5x ， : 上KHD = 10x ，
: 上KHQ = 180° -10x ， : CD ⅡKR ．
: 上RKH = 上KHQ = 180° -10x ， : MT Ⅱ AB ⅡKR ，
: 上TMP = 上MKR = 上MPG = x ，上TMH = 上MHD = 5x ， : 上MKH = 45° ,
: 上RKH + 上MKR = 180° -10x + x = 45° , : x = 15° ,
: 上KMN = 上TMH - 上TMP ，
: 上KMN = 5x - x = 4x = 60° .
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义，垂直的定义， 解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角．