2024-2025学年湖南省湘西州七年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省湘西州七年级下学期期末考试数学检测试卷，共36页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
2025 年上学期期末质量检测试卷
七年级 数学
注意：本卷包括三道大题，总分值：120 分，考试时长：120 分钟．
一、选择题（每小题只有 1 个正确选项，共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）．
1 ．在-1 ，0 ，-、/3 ，2 这四个数中，无理数是( )
A ． B ．-1 C ．0 D ．2
2 ．DeepSeek 是字节跳动基于云雀模型开发的人工智能．它能够处理多种自然语言任务，包 括文本生成、知识问答、推理计算、阅读理解等， 以高效准确的表现为用户提供帮助．平移 如图所示的DeepSeek 图标，能得到的图形是( )
A ． B ． C ． D．
3 ．2025 年央视春晚，宇树科技的人形机器人在节目《秧 Bt 》中， 它们将中国传统秧歌的 韵味与现代机器人技术巧妙融合，呈现出令人震撼的视觉效果．如果用(30, 50) 表示机器人 从起点向右移动30cm 、向前移动50cm ，那么机器人从起点向左移动40cm 、向前移动60cm 可以表示是( )
A ．(40, 60) B ．(-40, -60) C ．(40, -60) D ．(-40, 60)
4 ．下列计算正确的是( )
A ． B ． C ． = 2 D ． = 3
5．若四组不同样本数据的散点分布情况如图所示，则图中两个量没有明显关系的是( )
A．
B．
C．
D．
6．如图，学校为七年级（2）班教室的多媒体设备更换了新的投影仪．为了拍照清晰，张老 师把投影仪调到了如图所示形状，然后抽象出如下数学问题：已知ABⅡED ，
上B = 150°, 上D = 70° ,则 Ð C 的度数是( )
A ．120° B ．130° C ．140° D ．150°
7 ．《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十 三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋 中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋 轻了 13 两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？如果设每枚黄金重x 两， 每枚白银重y 两，可列出的方程组是( )
8 ．实数 a 、b 在数轴上对应点的位置如图，则的结果是 ( )
A ．2a - b B ．b - 2a C ．b D ．-b
9．关于x ，y 的二元一次方程组 的解满足x + y＞1，则m 的取值范围是( )
A ．m＜2 B ．m＞2 C ．m＜6 D ．m＞6
10 ．如图，一个机器人从点 O 出发，向正东方向走1m 到达点A1 ；再向正北方向走1m 到达
点A2 ；再向正西方向走 2m到达点A3 ；再向正南方向走 2m到达点A4 ；再向正东方向走 3m
到达点A5 ； ……按如此规律走下去，当机器人走到点A2025 时，点A2025 的坐标为( )
A ．(-506,506) B ．(507,-506) C ．(-506,507) D ．(506, -506)
二、填空题（共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）．
11 ．若(m - 2)x + 3ym-1 = 4 是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的值是 ．
12 ．如图，若上1+ 上2 = 180° , 上3 = 70° ,则 上4 = ．
13 ．如图所示为羽毛球正手发球的示意图，球拍所在直线a 与手臂所在直线b 平行(a P b)； 已知发球时，球拍与水平方向l 的夹角上1 = 30° ,则手臂与竖直方向 m 所成的角
上2 = ．
14 ．已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2, 3)，先将它向左平移 5 个单位长度，再将
它向下平移 4 个单位长度，得到的对应点坐标为 ．
15 ．科研人员发现：A 、B 两种花卉的最佳生长温度t 分别在12 ≤ t ≤ 30 (°C) 和16 ≤ t ≤ 32 (°C) 之 间．若把这两种花卉放在一起种植，请用不等式表示最佳的生长温度 t 应控制的范围为 (°C)．
16 ．青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞出 40 只青蛙， 作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出 50 只青蛙，其中有标记的青蛙 有 5 只，请你估计一下这个池塘里有青蛙 只．
17 ．已知关于 x 的不等式组 只有两个整数解，则 m 的取值范围是 ．
18 ．请结合对话，回答下列问题：
若 的小数部分是b ，则 - b 的值是 ．
三、解答题（本题共 8 个小题，共计 66 分）．
19 ．计算
20 ．解方程组
21 ．解不等式组 并把他们的解集在数轴上表示出来．
22 ．为了让学生感受端午节文化内涵，丰富学生的生活经验，在端午节某学校开展了“粽享 时光 浓情端午”体验活动．本次体验活动制作了四种不同口味的粽子：原味（记为 A），甜 枣（记为 B），绿豆（记为 C），板栗（记为 D）．为了解学生对四种口味粽子的喜爱情况，
学校对喜欢不同口味粽子的学生人数进行了调查统计，并将调查情况绘制成了如下两幅不完 整的统计图，根据以上信息回答下列问题：
(1)本次调查统计的学生总数为___________人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)据统计有 2000 名学生参与了这次体验动，请你估计喜欢板栗味粽子的人数；
(4)如果你是该活动负责人，你将如何安排四种口味粽子的数量，请结合数据说明你的理由．
23．把 △ABC 放在直角坐标系中如图所示位置，现将向上平移 2 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度就得到△A1B1C1 ．
(1)请你在图中画出三角形；
(2)在平移过程中，求线段AC 扫过的面积；
(3)若点P 在x 轴上，且S△APC = S△ABC ，请你写出点 P 的坐标，并说明理由．
24 ．根据以下素材，探究完成任务．
如何设计新能源公交车采购方案？
素材（1）
为响应绿色出行政策，某公交公司计划采购一批新能源公交车．现有 A 型（纯 电动）和 B 型（插电式混动）两种车可供选择．
素材（2）
若第一次采购 3 辆 A 型车和 2 辆 B 型车，总费用为 306 万元；第二次采购 2 辆 A 型车和 5 辆 B 型车，总费用为 468 万元．
素材（3）
若公司计划第三次采购 A 型车和 B 型车共 10 辆，且 B 型车不少于 4 辆，总费 用不超过 660 万元．
25．小明家有一块长为 240 米，宽为 120 米的长方形菜地，小明爸爸计划把这块菜地分成两 块小长方形，分别种植两种不同品种的西瓜．已知 A 种西瓜和 B 种西瓜的单位面积产量比 为1:1.6 ，如果 A、B 两种西瓜的总产量比要求为5 : 8 ，请你通过计算说明该如何合理的划分 这块菜地来种植这两种西瓜．
26．某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河 两岸是平行的，如图1所示，AB∥CD ，PQ ^ AB ，PQ 丄 CD ，上MPQ = 上NQP = 30° , 灯P 射线从PM 开始绕P 点逆时针旋转，同时，灯Q 从QN 开始绕Q 点顺时针旋转．若灯P 、灯Q 转动的速度分别是a 度/秒、b 度/秒，且满足 a + b - 5 + (b - 2)2 = 0 ．
(1)填空：a = ___________ ，b = ___________；
(2)设旋转时间为t 秒（0 ≤ t ≤ 100 ），当 PM∥QN 时，求t 的值．
(3)如图 2，若两灯同时转动，在灯Q 射线到达QD 之前，两灯射出的光束交于点E ．点F 在
问题解决
任务（1）
探求两种车型的单价．
请运用适当方法，求出A 型车与B 型车的单价．
任务（2）
探究采购方案．
探究符合要求的A 型车与 B 型车 的采购数量．
任务（3）
确定 B 型车最多可以采购的数量，以及此 时采购 A 型车的数量．
确定一种符合要求的采购方案．
射线PB 上，且上PQE = k . 上PEF ，则在转动过程中，是否存在一点F ，使得 k 为定值？若存 在，请求出上QEF 的度数和k 的值；若不存在，请说明理由．
1 ．A
【分析】本题主要考查了有理数和无理数的定义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的 关键．
根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：-1 ，0 ，2 是有理数，-、是无理数， 故选：A．
2 ．C
【分析】本题考查图形的平移， 根据平移前后图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发 生改变，进行判断即可．
【详解】解：由题意，平移如图所示的DeepSeek 图标，能得到的图形是
故选：C．
3 ．D
【分析】本题考查正负数的意义， 用有序数对表示位置，根据向右为正，则向左为负，再根 据表示方法进行表示即可．
【详解】解：∵ (30, 50) 表示机器人从起点向右移动30cm 、向前移动50cm ， :向左移动40cm 、向前移动 60cm 可以表示为(-40, 60) ；
故选 D．
4 ．A
【分析】本题考查了根式的运算，解题的关键是掌握根式运算的相关规则． 依次对每个选项进行根式运算，根据根式的性质判断其正确性．
计算正确；
B 、 选项错误； C 、 = 2 ，选项错误；
D ． 选项错误．
故选：A．
5 ．D
【分析】本题考查两个变量之间的关系，逐项分析各图象，进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，y 随着x 的增大呈增大的趋势；不符合题意；
B、由图象可知，y 随着x 的增大呈下降的趋势；不符合题意；
C、由图象可知，y 随着x 的增大呈下降的趋势；不符合题意；
D、由图象可知，两个量没有明显关系，符合题意； 故选：D．
6 ．C
【分析】本题考查平行线的判定和性质， 过点C 作CF ∥ AB ，进而得到CF Ⅱ AB Ⅱ ED ，根 据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：过点C 作CF∥ AB ，
∵ AB ⅡED ，
: CF Ⅱ AB ⅡED ，
: 上B + 上BCF = 180°, 上D + 上DCF = 180° ,
: 上B + 上BCF + 上D + 上DCF = 360° ,即： 上B + 上BCD + 上D = 360° , ∵ 上B = 150°, 上D = 70° ,
: 上BCD = 140° ;
故选 C．
7 ．B
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题 目中的等量关系．
根据题意可得等量关系，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x 两，每枚白银重y 两， 由题意得
故选：B．
8 ．C
【详解】首先由数轴可得 a < b < 0 ，然后利用二次根式与绝对值的性质，即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：a < b < 0 ，
: a - b < 0 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式， 实数与数轴，实数的性质等等，正确得到a - b < 0 是解题的关键．
9 ．B
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m 当 作已知数表示出x + y 的值，再得到关于m 的不等式．首先解关于x 和y 的方程组，利用m 表示出x + y ，代入x + y > 0即可得到关于m 的不等式，求得m 的范围．
解 ① + ② 得：4x + 4y = 4m - 4 ，
则x + y = m -1 ，
根据题意得：x + y = m -1 > 1， 解得m > 2 ．
故选：B．
10 ．B
【分析】本题考查点的坐标规律探究，先写出前几个点的坐标，进而推出 A4n+1 (n +1, -n) ， 进行求解即可．
【详解】解：由题意可知：
A1 (0,1) , A2 (1,1) , A3 (-1,1) , A4 (-1, -1) , A5 (2, -1) , A6 (2, 2) , A7 (2, -2) , A8 (-2, -2) , A9 (3, -2) … ， : A4n+1 (n + 1, -n) ，
: 2025÷ 4 = 506…1，
:点A2025 的坐标为(507,-506) ；
11 ．0
【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程的形式及其特点：含有 2 个未知 数，未知数的项的次数是 1 的整式方程．根据二元一次方程的定义列出方程求解可得答案． 【详解】解：∵ (m - 2)x + 3ym-1 = 4 是关于x 、y 的二元一次方程，
: m -1 = 1，且 m - 2 ≠ 0 ， 解得m = 0 ，
故答案为：0．
12 ．110° ##110 度
【分析】先依据 Ð 1+ Ð 2 = 180° , 利用平行线的判定定理得出直线a P b ，再根据平行线的性 质以及对顶角相等求出 Ð 4 的度数．本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握同旁内 角互补，两直线平行以及两直线平行，同位角相等、同旁内角互补等性质是解题的关键．
【详解】解：∵ Ð 1+ Ð 2 = 180° , : a P b ．
∵ a P b ， Ð 3 = Ð 5 = 70° , : Ð 4 = 180° - 70° = 110° ( 故答案为：110° .
13 ．60° ##60 度
【分析】本题考查的是平行线的性质，由题意可得：上1 = 30° , Ð 1+ 上3 = 90° ,可得
上3 = 60° ,结合 a Ⅱb ，进一步可得答案.
【详解】解：如图，
由题意可得：上1 = 30° , Ð 1+ 上3 = 90° ,
: 上3 = 60° , : a Ⅱb ，
: 上2 = 上3 = 60° , 故答案为：60°
14 ．(-3, -1)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握“左右平移改变横坐标， 左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减”是解题的关键．根据平面直角坐标系中点的平 移规律，分别对横坐标和纵坐标进行平移计算，从而得到平移后点的坐标．
【详解】解：: 点向左平移5 个单位长度，横坐标需要减去5 ，点 A 的横坐标为2 ， : 平移后横坐标为2 - 5 = -3 ．
: 点向下平移4 个单位长度，纵坐标需要减去4 ，点 A 的纵坐标为3 ， : 平移后纵坐标为3 - 4 = -1．
综上，得到的对应点坐标为(-3, -1) ， 故答案为：(-3, -1) ．
15 ．16 ≤ t ≤ 30
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用不等式解集确定方法 得出答案．
【详解】解：:A 、B 两种花卉的最佳生长温度 t 分别是12 ≤ t ≤ 30 (°C) 和16 ≤ t ≤ 32 (°C) 之间， :把这两种花卉放在一起种植，用不等式表示最佳的生长温度 t 应控制的范围为：16 ≤ t ≤ 30 ． 故答案为：16 ≤ t ≤ 30 ．
16 ．400
【分析】本题主要考查的是利用抽样调查的方式估算样本容量， 属于中等难度的题型．根据 样本得出比例是解决这个问题的关键．从池塘中捕捞出 50 只青蛙，其中有标记的青蛙有 5 只，即在样本中有标记的所占比例为 ，而在整体中有标记的共有 40 只，根据所占比例即 可解答．
【详解】解：:从池塘中捕捞出 50 只青蛙，其中有标记的青蛙有 5 只， :在样本中有标记的所占比例为 ，
:池塘里青蛙的总数为 故答案为：400
17 ．0 ≤ m < 1 ##1 > m ≥ 0
【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，求解不等式组的解集为 m < x < 2.5 ，再根据整数解的含义可得答案．
【详解】解： í ,
ìx - m > 0①
l6 - 2x > 1② 由①得x > m ，
由②得x < 2.5 ，
:原不等式组有且只有两个整数解，
: m < x < 2.5 ，且x 的整数值为1 ，2 ， : 0 ≤ m < 1 ．
故答案为：0 ≤ m < 1 ．
18 ．2
【分析】本题考查了无理数的估算， 根据无理数的估算方法得 然后代入求解即 可，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【详解】解：:8 < 25 < 27 ， : < < ，
: 的小数部分
故答案为：2 ．
【分析】本题需要依次对各项进行化简，包括立方根、绝对值、算术平方根以及乘方运算，
、/3 -
然后再进行加减计算得出结果．具体为分别计算 3/-8 、
2 、 ·、 、(-1)2025 ，再按照
顺序进行运算．本题主要考查了立方根、绝对值、算术平方根和乘方的运算， 熟练掌握这些 运算的性质和规则是解题的关键．
【详解】解：原式 = -2 - (2 - )+ 2 - (-1)
20 ．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关 键．用加减消元法解二元一次方程组即可．
解 ， ① ×2 + ② 得：7x = 7 ，
解得：x = 1 ，
把x =1 代入①得：2 -y = 1， 解得：y = 1，
:原方程组的解为 ．
21 ．-3 < x ≤ 4 ，图见解析
【分析】本题考查了解不等式组， 在数轴上表示不等式组的解集．分别解两不等式，求出不 等式组的解集，并在数轴上表示即可．
解
解不等式①,可得 x ≤ 4 ，
解不等式②,可得 x > -3 ，
:该不等式组的解集是-3 < x ≤ 4 .
将不等式组的解集在数轴上表示出来，如下图所示，
22 ．(1)200
(2)图见解析
(3)200 名
(4)多准备原味和绿豆味的粽子，理由见解析
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联， 用样本估计总体，正确读懂 统计图是解题的关键．
（1）用喜欢 B 的人数除以其人数占比即可得到答案；
（2）根据（1）所求求出喜欢 C 的人数，再补全统计图即可；
（3）用 2000 乘以样本中喜欢板栗味粽子的人数占比即可得到答案；
（4）喜欢原味和绿豆味的粽子的人数比较多，因此多准备原味和绿豆味的粽子． 【详解】（1）解：40 ÷ 20% = 200 人，
:本次调查统计的学生总数为 200 人；
（2）解：喜爱 C 的人数：200 - 80 - 40 - 20 = 60 人，
补全条形统计图如下所示：
解 名；
答：2000 名学生中喜欢板栗味粽子的人数约为 200 名；
（4）解：多准备原味和绿豆味的粽子，理由如下：
:调查的消费者中，买原味和绿豆味粽子的人数分别占比和
:会多准备原味和绿豆味的粽子．
23 ．(1)图见解析
(2)20
(3) (-0.5,0) 或(2.5,0) ，理由见解析
【分析】本题考查作图-平移变换、三角形的面积；
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）直接求出四边形 AA1C1C 的面积即可．
（3）设P (m, 0) ，根据题意可列方程为 求出m 的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如下图：
（2）解：在平移过中，线段 AC 扫过的面积为5× 4 = 20 ；
（3）解：点 P 的坐标为(-0.5,0) 或(2.5, 0) ；
理由如下：设P (m, 0) ，由S△△ABC 得 解得 或m = 2.5
:点P 的坐标为(-0.5,0) 或(2.5, 0) ．
24 ．任务（1）A 型车单价为54 万元，B 型车单价为 72 万元;任；任务（2）见解析；任务
（3）B 型车最多可以采购 6 辆，此时 A 型车可以采购 4 辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；
（1）设 A 型车单价为x 万元，B 型车单价为 y 万元，利用总价=单价×数量，结合两次采购 的费用和数量列二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购 B 型车m 辆，则采购 A 型车（10 - m）辆，根据第三次采购的数量和费用即可得 出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数，即可得出m 的值，得出购买方案；
（3）根据（2）中方案选择 B 型车最多可以采购的数量即可．
【详解】解：任务（1）：设 A 型车单价为x 万元，B 型车单价为 y 万元， 根据题意得
解得 ，
答：A 型车单价为54 万元，B 型车单价为 72 万元；
任务（2）：设采购 B 型车m 辆，则采购 A 型车(10 - m) 辆， 根据题意得 54 (10 - m) + 72m ≤ 660 ，
解得 又m ≥ 4 ，
由于m 为车辆数，需取整数，故m 的值为 4 ，5 ，6， :有以下三种采购方案：
①采购 A 型车 6 辆，采购 B 型车 4 辆；
②采购 A 型车 5 辆，采购 B 型车 5 辆；
③采购 A 型车 4 辆，采购 B 型车 6 辆； 任务（3）：
由任务 2 知，B 型车最多可以采购 6 辆，此时 A 型车可以采购 4 辆．
25 ．见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 分别左右分割和上下分割两种情况讨论，然 后列方程组求解即可．
【详解】解： 左右分割时，如图（1），设 A 、B 两种西瓜种植区域分别为长方形ABFE 和长 方形EFCD ，此时设 AE = xm，DE = ym
根据题意得
解得
:过这块地的长边上离一端 120 米（即长边中点），作这条边的垂线，把这块土地分为两块 长方形土地，一块种 A 种西瓜，另一块 B 种西瓜．
上下分割时，如图（2），设 A 、B 两种西瓜种植区域分别为长方形AGHD 和长方形 GBCH ， 此时设AG = am，BG = bm，根据题意得
解得
:过这块地的长短边上离一端 60 米（即短边中点），作这条边的垂线，把这块土地分为两块 长方形土地，一块种 A 种西瓜，另一块 B 种西瓜．
综上：过这块地的长边上离一端 120 米（即长边中点），作这条边的垂线，把这块土地分为 两块长方形土地，一块种 A 种西瓜，另一块 B 种西瓜；或过这块地的长短边上离一端 60 米 （即短边中点），作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，一块种 A 种西瓜，另 一块 B 种西瓜．
26 ．(1) 3 ，2
(2) 24 或60 或96
(3)存在，上QEF = 195° ,
【分析】（1）利用绝对值和平方数非负性，列方程求解 a 、b ；
（2）分 PM 、QN 在PQ 不同侧的情况，依据平行线性质列角度等式求t ；
（3）设转动时间，用t 表示相关角，结合ÐPQE = k .ÐPEF 推导Ð QEF 表达式，根据定值 条件确定k 与Ð QEF ．
本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的性质、角度的动态计算与定值探究， 熟 练掌握平行线性质及通过分类讨论、用变量表示角度来分析定值问题是解题的关键．
【详解】（1）解：: a + b - 5 + (b - 2)2 = 0 ， a + b - 5 ≥ 0 ，(b - 2)2 ≥ 0 : a + b - 5 = 0 且 b - 2 = 0
解得b = 2 ，a = 3
故答案为：3 ，2 ．
（2）解：当 PM 、QN 都在PQ 的右侧时，
∵ a = 3 ，b = 2 ，
: 上QPM = 30° + 3t ，上PQN = 30° + 2t ， ∵ PM∥QN ，
: 上QPM + 上PQM = 180°,
: 30° + 3t + 30° + 2t = 180°,
解得t = 24 ；
当PM 在PQ 的左侧，QN 都在PQ 的右侧时，
∵ a = 3 ，b = 2 ，
: 上QPM = 360° - 30° - 3t = 330° - 3t ，上PQN = 30° + 2t ， ∵ PM∥QN ，
: 上QPM = 上PQN,
:330° - 3t = 30° + 2t,
解得t = 60 ；
当PM 、QN 都在PQ 的左侧时，
∵ a = 3 ，b = 2 ，
: 上QPM = 360° - 30° - 3t = 330° - 3t ，上PQN = 360° - 30° - 2t = 330° - 2t ， ∵ PM∥QN ，
: 上QPM + 上PQM = 180°, :330° - 3t + 330° - 2t = 180°, 解得t = 96 ；
综上，当PM∥QN 时，求t 的值为24 或60 或96；
（3）解：在转动过程中，存在一点F ，使得 k 为定值，
理由：设灯P 射线转动时间为t 秒，
,
Q Ð EQD = 90° - 30° - 2t = 60° - 2t
: ÐPQE = 30° + 2t ， 又Q Ð QPE = 30° + 3t ，
: Ð PEQ = 180 - Ð QPE - Ð PQE = 120° - 5t ， ∵ 上PQE = k . 上PEF ，
:当时，在转动过程中，存在一点 F，使得 k 为定值，
此时 ，上 ．