2024-2025学年湖南省湘西州八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省湘西州八年级下学期期末考试数学检测试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题注意：本卷包括三道大题，总分值：120 分，考试时长：120 分钟．
一、单选题（每小题 3 分，共计 30 分）
1 ．、的结果为( )
A ．3 B ．-3 C ． ±3 D ．9
2 ．下列各组数据中能作为直角三角形的三条边长的是( )
A ．3 ，4 ，5 B ．3 ，3 ，1 C ．4 ，5 ，7 D ．2 ， ，5
3 ．如图，。ABCD 中，上D = 25° ,则 上A = ( )
A ．50° B ．65° C ．115° D ．155° 4 ．点A (2, y1 ) 和B (1, y2 ) 都在直线y = x - 2上，则y1 与y2 的关系是( )
A ．y1 ≥ y2 B ．y1 ≤ y2 C ．y1 < y2 D ．y1 > y2
5 ．下列计算正确的是( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．如图，在菱形ABCD 中，连接AC 、BD ，若 上CDB = 70° ,则 上ACD 的度数为 ( )
A ．40° B ．30° C ．20° D ．50°
7 ．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x；
②将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y 与本数x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间 x．
其中，变量y 与变量 x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A ．①②③ B ．①③ C ．①② D ．②③
8 ．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人 10 次射击的平均成绩都是 9.2 环， 方差分别是s = 0.25 ，s = 0.12 ，s = 0.46 ，s = 0.35 ，在本次射击测试中，这四 个人成绩最稳定的是( )
A ． 甲 B ． 乙 C ．丙 D ．丁
9 ．如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为AB ，点 P 是AB 的中点，A¢B¢ 表示云梯AB 在沿墙下滑过程中的某个位置，点 A，B，P 的对 应点分别为点A¢ , B¢ , P¢ , 在云梯的下滑过程中，下列关于OP 与OP¢ 的长度关系 判断正确的是( )
A ．OP > OP¢ B ．OP = OP¢ C ．OP < OP¢ D ．无法确定
10．某校艺术节歌唱比赛中，有15 位评委对选手的表现打分，某位选手所得15 个 分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分， 剩余13 个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的 是( )
A ．平均数 B ．众数 C ．方差 D ．中位数
二、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）
11 ．若式子、在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
12 ．将直线y = 2x + 3 向下平移 3 个单位长度得到的直线为 ．
13 ．为提升学生的综合素养，某校举行了“新时代好少年，爱党爱国，强国有我” 的主题演讲活动．参赛学生最终得分按照“内容”“表达”“ 效果”分别占50% ，20% ， 30% 计算．若 1 号参赛学生的得分为：“内容”得分 96 分，“表达”得分 95 分，“效 果”得分 90 分，则 1 号参赛学生的最终得分为 分．
14 ．如图，A, B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点 C，连接AC 和BC ，并分别找 出它们的中点M ，N．若测得MN = 20 米，则A, B 两点间的距离为 米．
15 ．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90° ,分别以三边为边长向外作正方形，如果其 中两个正方形的面积分别是 5 ，6，那么字母 M 所代表的正方形的面积是 ．
16 ．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ^ AC .若 BD = 10, AC = 6 ，则 CD 的长是 .
17 ．已知直线y = -x + 8 与 x 轴交于点 A，点 O 为坐标原点，点P (x，y ) 是该直线 上一动点，当 △OPA 的面积等于 24 时，点 P 的坐标为 ．
18 ．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝AC＝10，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 M 在线段 AC 上，且 AM＝2，点 P 为线段 BD 上的一个动点，则 MP+PB 的最小 值是 ．
三、解答题（本题共 8 道大题，共计 66 分）
19 ．计算：（ + ）（ - ）．
20 ．已知一次函数y = kx + b 的图象经过(1, 5) 和(-1,1) 两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x = -4时，求y 的值．
21 ．如图所示，在 △ABC 中，AB = 15, BC = 12, AC = 9, CD 丄 AB ，垂足为 D．
(1)判断△ABC 的形状，并说明理由．
(2)求CD 的长．
22 ．思思同学在平时的数学学习中喜欢钻研和思考问题，他想要证明命题“被一 条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形”是真命题，于是她先作了如图所示 的四边形ABCD ，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ， 平分 Ð ABC ．求证：四边 形ABCD 是 ．
(1)填空，补全已知和求证；
(2)按思思同学的想法完成证明过程．
23 ．某区八年级学生进行体质健康测试，抽取 50 名女生在一分钟内的仰卧起坐 数量（单位：个），数据整理如下：
a ．50 名女生仰卧起坐频数分布表
一分钟仰卧起坐个数（单位： 个）
频 数
百分 比
31 ≤ x ≤ 40
1
2%
41 ≤ x ≤ 50
a
10%
b ．50 名女生仰卧起坐频数分布直方图
c ．51 ≤ x ≤ 60 数据如下：52，
53 ，53 ，53 ，53 ，55 ，55 ，55 ，55 ，55 ，55 ，56 ，56 ，56 ，56 ，58 ，59 ，60，
\l "bkmark1" 60 ，60
\l "bkmark2" (1)频数分布表中a = ，b = _______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)在51 ≤ x ≤ 60 这组数据中，众数为________；
(4)1 分钟 53 个（不含 53）以上的同学可另外加分，那么根据抽取的结果预估全 校 1000 人中一共有多少人可另外加分？
24．汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国 各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法. 某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共 120 件（2 种服装都要），其进 价与售价如表所示：
若设甲汉服的数量为x 件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y 元.
(1)求y 与x 之间的函数关系式，写出自变量范围；
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的 2 倍，请问当甲汉服购选多少件时，
51 ≤ x ≤ 60
20
40%
61 ≤ x ≤ 70
16
32%
71 ≤ x ≤ 80
8
b%
合计
50
100%
价格类型
进价（元/件）
售价（元/件）
甲
80
100
乙
100
200
该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。
25 ．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），连接 AE ，P 为点B 关于直线AE 的对称点，上BAE = a ．
(1)求上APD 的大小（用含a 的式子表示）；
(2)用等式表示线段AF 、PF 和PD 之间的数量关系，并说明理由；
(3)已知AB = 2 ，连接PC ，若PC P AE ，M ，N 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两 个动点，且 连接EM ，AN ，则EM + AN 的最小值为 ．
26 ．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (a, b) ．如果存在点Q(a¢, b¢ ) ，满足 a ¢ = a - b ，b¢ = a + b ，则称点Q 为点P 的“非常点”．
(1)如图 1，在Q1 (-1, 3) ，Q2 (3, -1) ，Q3 (-1, -1) 中，点P (1, -2) 的“非常点”是______；
(2)若点P (a, b) 在第一象限，且a > b，判断△POQ 的形状并证明；
(3)直线y = x + 2 与x 轴、y 轴分别交于G 、H 两点，若线段GH 上存在点P 的 非常点Q，则线段OP 长度的最大值为_________．
1 ．A
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解： = 3 ；
故选 A．
2 ．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方 法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方 与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
【详解】解：A 、32 + 42 = 52 ，则 3 ，4 ，5 能作为直角三角形的三条边长，选项正确；
B 、12 + 32 ≠ 32 ，则 3 ，3 ，1 不能作为直角三角形的三条边长，选项错误；
C 、42 + 52 ≠ 72 ，则 4 ，5 ，7 不能作为直角三角形的三条边长，选项错误；
D 、22 + ( )2 ≠ 52 ，则 2 ， ，5 不能作为直角三角形的三条边长，选项错误； 故选：A．
3 ．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题 的关键．根据行四边形的性质可得ABⅡCD ，再利用平行线的性质，即得答案．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: ABⅡCD ，
:上A + 上D = 180° ,
:上A = 180° - 上D = 180° - 25° = 155° .
故选 D．
4 ．D
【分析】本题考查比较一次函数的函数值的大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵ y = x - 2 ，k = 1 > 0 ，
: y 随x 的增大而增大， ∵ 2 > 1，
: y1 > y2 ；
故选 D．
5 ．C
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对 A 项和 B 项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对 C 项和 D 项进行运算即可．
【详解】解：A 、 和 ，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B 、 故此选项不符合题意；
C 、 故此选项符合题意；
D 、 故此选项不符合题意； 故选：C．
6 ．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，以及求余角，设 AC 、BD 相交于点 O，由菱形的性 质可得出上COD = 90° ,在利用余角的定义即可求出答案．
【详解】解：设 AC 、BD 相交于点 O， ∵四边形ABCD 是菱形，
: BD 丄 AC ，
: 上COD = 90° , ∵ 上CDB = 70° ,
: 上ACD = 90° - 上CDB = 20° , 故选：C．
7 ．B
【分析】本题考查了函数图象．熟练掌握函数图象是解题的关键．
分析①②③中y 随着 x 的变化情况，然后与图中y 随 x 的增大而减小对比，判断作答即可． 【详解】解： 由题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y 随着行驶时间 x 的 增大而减小；可以用如图所示的图象表示，故①符合要求；
将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y 随着本数 x 的增大而增大；不能用如 图所示的图象表示，故②不符合要求；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随着与放水时间 x 的增大而减
小．可以用如图所示的图象表示，故③符合要求；
故选：B．
8 ．B
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系， 根据方差越小，成绩越稳定进行求解即 可．
【详解】解：: s = 0.25 ，s = 0.12 ，s = 0.46 ，s = 0.35 ， : s < s < s < s ，
:这四个人成绩最稳定的是乙， 故选：B．
9 ．B
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关 键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 即可解答．
【详解】解：Q AO 丄 BO ，点 P 是AB 的中点，点P¢ 是A¢B¢ 的中点，
:在滑动的过程中OP¢ 的长度不变． 故选：B．
10 ．D
【分析】本题考查了平均数， 众数，方差和中位数，去掉一个最高分和最低分后不会对数据 的中间的数产生影响，即中位数，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
【详解】解： 统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的 中间的数产生影响，即中位数，
故选：D ．
11．x≥4
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-4≥0，
:x≥4，
故答案为：x≥4．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件， 掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题
的关键．
12 ．y = 2x
【分析】本题考查了一次函数的平移规律，熟练掌握是解题关键． 根据一次函数的平移规律作答即可．
【详解】解：将直线 y = 2x + 3 向下平移 3 个单位长度得到的直线为y = 2x + 3 - 3 = 2x ， 故答案为：y = 2x ．
13 ．94
【分析】本题考查加权平均数．利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，
96 × 50% + 95 × 20% + 90 × 30%
= 48 + 19 + 27
= 94 （分），
即 1 号参赛学生的最终得分为 94 分， 故答案为：94．
14 ．40
【分析】本题考查三角形中位线定理， 三角形中位线定理：三角形的中位线长平行于第三边 且等于第三边的一半．熟记性质是解决实际问题的关键．由M 、N 分别是AC 、BC 的中点 可知，MN 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：QM ，N 分别为AC 、BC 的中点，
:MN 是△ABC 的中位线， QMN = 20 米，
: AB = 2MN = 2 × 20 = 40 （米）． 故答案为：40．
15 ．11
【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理得 AC2 + BC2 = AB2 ，结果正方形的面积 即可得答案．
【详解】由勾股定理得 AC2 + BC2 = AB2
∵在Rt△ABC 中，上C = 90° , 分别以三边为边长向外作正方形，正方形的面积分别是 5 ，6， : AB2 = 11
即字母 M 所代表的正方形的面积是 11.
故答案为：11
16 ．4
【分析】利用平行四边形的性质可得 AO 、BO 的长，继而根据勾股定理可求得 AB 的长， 即可得 CD 的长.
【详解】∵▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，BD=10,AC=6，
∵AB丄AC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
:CD=AB=4， 故答案为 4.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键.
17 ．(2，6) 或(14，- 6)
【分析】先求出 A(8，0) ，得到 OA = 8 ，再根据 得到yP = ±6 ，由此求解即可． 【详解】解：在 y = -x + 8 中，当y = -x + 8 = 0 时，x = 8 ，
:A(8，0) ， :OA = 8 ，
: yP = 6 ，
:yP = ±6 ，
在y = -x + 8 中，当y = -x + 8 = 6 时，x = 2 ，则P(2，6)；
在y = -x + 8 中，当y = -x + 8 = -6 时，x = 14 ，则P(14，- 6) ；
综上所述，点 P 的坐标为(2，6) 或(14，- 6)
故答案为：(2，6) 或(14，- 6)．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出点 P 的纵坐标是解题的关键．
18 ．4
【分析】过 P 点作 PH丄BC 于 H，过 M 点作 MN丄BC 于 N，如图，根据菱形的性质得到
AB=BC，BO 平分∠ABC，AO丄BD，再判断△ABC 为等边三角形得到∠ABC=∠ACB=60°,则 ∠OBC=30°,所以 PHBP，则 MP+PB=MP+PH，所以 MP+PH 的最小值为 MN 的长， 然后利用含 30 度角的直角三角形三边的关系和勾股定理求出 MN 即可．
【详解】解：过 P 点作 PH丄BC 于 H，过 M 点作 MN丄BC 于 N，如图，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AB=BC，BO 平分∠ABC，AO丄BD， ∵AB=AC=10，
∴AB=AC=BC=10，
∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60° ,
∴∠OBC=30° ,
∴MP+PB=MP+PH，
当 M、P、H 共线时，MP+PH 的值最小， 即 MP+PH 的最小值为 MN 的长，
∵AM=2，
∴CM=10-2=8，
在 Rt△MNC 中，∵∠MCN=60° , ∴CN CM=4，
∴MN= = = 4 ，
即 MP+PB 的最小值为4 ．
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把 PB 转化为 PH 是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．
19 ．3
【分析】直接利用平方差公式进行计算即可得．
【详解】解：( + )( - )
= ( )2 - ( )2
= 5 - 2
= 3 ．
【点睛】题目主要考查二次根式的乘法及平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20 ．(1) y = 2x + 3
(2) -5
【分析】（1）把(1, 5) 和(-1,1) 两点坐标代入y = kx + b 中，建立方程组，求出k ，b 的值即可 得结果．
（2）令（1）中求得的解析式中 x = -4 ，求出 y 即可．
【详解】（1）解：把(1, 5) 和(-1,1) 两点坐标代入y = kx + b 中得，
ìk + b = 5
íl-k + b = 1 ， 解得 ，
:一次函数的解析式为：y = 2x + 3 ．
（2）当x = -4 时，y = 2 × (-4) + 3 = -5 ， : 当x = -4 时，y 的值为-5 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及知自变量的值求函数值，熟练掌握待 定系数法是解题关键．
21 ．(1)直角三角形，见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理逆定理， 等积法求线段的长，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题
的关键：
（1）直接利用勾股定理逆定理进行求解即可；
（2）利用等积法进行求解即可．
【详解】（1）解△ABC 是直角三角形，理由如下：
Q AB2 = 152 = 225, BC2 = 122 = 144, AC2 = 92 = 81，
:BC2 + AC2 = AB2 ，
:△ABC 是直角三角形，且上ACB = 90° ;
（2）QCD 丄 AB
: CD 是△ABC 的高
.
22 ．(1) BD ，菱形
(2)见解析
【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法，是解题的关键：
（1）根据题意，补全已知和求证即可；
（2）根据平行四边形的性质结合角平分线的性质，推出 AB = AD ，即可得证． 【详解】（1）解：补全已知和求证如下：
已知：如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，BD 平分 Ð ABC ．求证：四边形ABCD 是 菱形；
故答案为：BD ，菱形；
（2）∵平行四边形ABCD ，
: ADⅡBC ，
: 上ADB = 上CBD ， ∵ BD 平分 Ð ABC ， : 上ABD = 上CBD ，
: 上ADB = 上ABD ，
: AB = AD ，
:平行四边形ABCD 是菱形．
23 ．(1)5 ，16
(2)见解析 (3)55
(4)780 人
【分析】本题考查了频数分布直方图， 样本估计总体，中位数的定义，正确掌握相关性质内 容是解题的关键．
（1）根据频数、频率、总数之间的关系列式计算，即可作答．
（2）结合（1）的结论进行作图即可；
（3）结合排序后位于数据中间位置的数，为中位数，进行作答即可；
（4）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，
a = 50 × 10% = 5，
b = 8 ÷ 50 × 100% = 16% ， 故答案为：5 ，16；
（2）解：如图所示：
（3）解：根据51 ≤ x ≤ 60 这组数据，
52 ，53 ，53 ，53 ，53 ，55 ，55 ，55 ，55 ，55 ，55 ，56 ，56 ，56 ，56 ，58 ，59 ，60 ，60 ，60 共有20 个数，排在中间位置为第10 和11个数
即
:中位数为55 ，
故答案为：55 ；
（4）解：依题意
:那么根据抽取的结果预估全校 1000 人一共780 人可加分
24 ．(1) y = -80x +12000(0 < x < 120)
(2)当甲汉服购进40 件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次 不等式的应用，二元一次方程的应用，读 懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键；
（1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式；
（2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的 2 倍，得出 x 的取值范围，再根据函数的性 质求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：由题意得 y = (100 - 80)x +(200 -100)(120 - x) = -80x + 12000, :y 与 x 之间的函数关系式为y = -80x +12000(0 < x < 120) ；
（2）解：:乙的数量不能超过甲的数量的2倍，
: 120 - x ≤ 2x, 解得x ≥ 40 ，
: 40 ≤ x < 120 ，
由（1）知，y = -80x +12000 ， :-80 < 0 ，
:y 随 x 的增大而减小，
:当x = 40 时，y 取最大值，y 最大= -80× 40 +12000 = 8800 ，
答：当甲汉服购进 40 件时，该店在销售完这两 种汉服获利最多，最大利润为8800 元．
25 ．(1) 45° + a
(2) 2AF = 2PF + PD ，见解析 (3)
【分析】（1）根据对称的性质得到 上BAE = 上PAE = a ，AB = AP ，根据正方形，等边对等 角可得上DAP = 上BAD - 上BAP = 90° - 2a ，上ADP = 上APD = 180° - 上DAP) 由此即可求解；
（2）如图所示，过点 A 作AG 丄 DF 于点G ，可证上
上GAF = 45° = 上F ，即 △AFG 是等腰直角三角形，由勾股定理，线段的和差计算即可求解；
（3）根据题意得到 PE = EC = BE ，点 E 是线段BC 的中点，则BE = BC = 1，过点 A 作 AG Ⅱ MN ，且 AG = MN ，则四边形 AGMN 是平行四边形，EM + AN = EM + GM ，当点
G, M , E 三点共线时，EM + GM = EG 取得最小值，MN = 2 = AG ，过点G 作GQ 丄 AB 于 点Q ，作GH丄 CB 延长线于点H ，四边形GHBQ 是矩形，GH = BQ, GQ = BH ，可证 △AGQ 是等腰直角三角形，则矩形GHBQ 是正方形，BH = BQ = GH = 1 ，EH = HB + BE = 2 ，在 Rt △GHE 中，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ P 为点B 关于直线AE 的对称点，上BAE = a ， : 上BAE = 上PAE = a ，AB = AP ，
∵四边形ABCD 是正方形， : AB = AD, 上BAD = 90° ,
: 上DAP = 上BAD - 上BAP = 90° - 2a ，AD = AP ，
: 上ADP = 上APD = 180° - 上DAP) = × 180° - (90° - 2a) = 45° + a ；
（2）解： AF = 2PF + PD ，理由如下， 如图所示，过点A 作AG 丄 DF 于点G ，
∵ AD = AP ，
: AG 垂直平分DP ，
: 上AGP = 90°, PG = DG = PD ，
∵ 上APD = 45° + a = 上F + 上PAE, 上PAE = a ， : 上F = 上APD - 上PAE = 45° + a - a = 45° ,
: 上GAF = 45° = 上F ，即 △AFG 是等腰直角三角形， : AG = FG ，
: AF2 = AG2 + FG2 = 2FG2 ，即 AF = FG ，
整理得， AF = 2PF + PD ；
（3）解：∵四边形ABCD 是正方形，
: AB = BC = CD = AD = 2, 上ABC = 上BCD = 上ADC = 上BAD = 90° , 如图所示，
∵对称，
: AE 垂直平分BP ，BF = PF ，BE = PE ，
∵ PC Ⅱ AE ， : BP 丄 PC ， ∵ BE = PE ， : 上1= 上2 ，
∵ 上1+ 上4 = 90°, 上2 + 上3 = 90° , : 上3= 上4 ，
: PE = EC = BE ，
:点E 是线段BC 的中点，则 ，
过点A 作AG Ⅱ MN，且 AG = MN ，则四边形 AGMN 是平行四边形， : AN = GM ，
: EM + AN = EM + GM ，
:当点G, M , E 三点共线时，EM + GM = EG 取得最小值，
过点G 作GQ 丄 AB 于点Q，作 GH丄 CB 延长线于点H ， :四边形GHBQ 是矩形，GH = BQ, GQ = BH ，
: BD 是正方形的对角线， : 上ABD = 45° ,
: AG Ⅱ MN ，AG = ·、/2 ，
: 上GAQ = 45° = 上AGQ，即 △AGQ 是等腰直角三角形， 则点Q 是AB 中点，
: GQ = BQ = 1，
:矩形GHBQ 是正方形， : BH = BQ = GH = 1 ， : EH = HB + BE = 2 ，
在Rt△GHE 中 : EM + AN 的最小值 /5 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质， 对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的 判定和性质，平行四边形、矩形、正方形的判定和性质， 勾股定理等知识的综合运用，掌握 以上知识，合理作出辅助线是关键．
26 ．(1)Q2
(2)等腰直角三角形，见解析
(3) /6
【分析】（1）根据“非常点”的定义，即可得到答案；
（2）根据勾股定理及其逆定理，即可判断答案；
（3）将点 Q 的坐标代入 并化简为 即得点 P 的运动 路径是一条线段，根据点 Q 的运动范围，即可求得点 P 在线段AB 上运动，分别求得点 P 在线段AB 两端点位置时OP 的长，即得OP 的最大值、 ．
【详解】（1）解：若点Q(a¢, b¢ ) 为点P(1, -2) 的“非常点”，则a¢ = 1- (-2) = 3 ， b¢ = 1+ (-2) = -1，
即Q(3, -1)，
所以Q2 (3, -1) 满足题意；
故答案为：Q2 ；
（2）证明：QP(a, b) ，Q (a - b, a + b) ，
:PQ2 + OP2 = OQ2 ，
:△POQ 是直角三角形， 同时PQ = OP ，
:△POQ 是等腰直角三角形；
（3）解：Q 点Q(a - b, a + b) 在线段GH 上，
整理得 Q 点P(a, b) 的非常点为点 Q，
: 点P(a, b) 是直线 上的动点， Q 点Q(a - b, a + b) 在线段GH 上，
: 当点Q 在点 G 处时，点 P 在点A 处，当点Q 在点 H 处时，点 P 在点 B 处， 即点 P 在线段AB 上运动，
当点 P 在点 A 处时，点 Q 在点 G 处， 令y = 0 ，则 ，
解得x = -2 ，
: G(-2, 0) ，
由（2）知， △GAO 是等腰直角三角形， : A(-1,1) ，
即此时 ，
当点 P 在点 B 处时，点 Q 在点 H 处， 令x = 0 ，则 ，
:H(0, 2 ) ，
由（2）知， △OBH 是等腰直角三角形， :B ( )，
即此时P( ) ， ，
: OP 的最大值为、 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的动点路径问题， 等腰直角三角形的判定与性质，勾 股定理及其逆定理，求一次函数的解析式，探求动点 P 的运动路径是解题的关键．