2024-2025学年湖南省湖南省株洲市荷塘区方舟兰天中学期末联考八年级下学期6月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省湖南省株洲市荷塘区方舟兰天中学期末联考八年级下学期6月期末数学检测试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省株洲市荷塘区方舟兰天中学多校期末联考
2024-2025 学年七年级下学期期末数学试题
满分 120 分，时量共 120 分钟
注意事项：
1 ．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．
2 ．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚．
3 ．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收 回．
一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共计 30 分．每小题只有一个正 确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内）
1 ．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四 幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A．
B．
C．
D．
2 ．一名射击运动员，射靶 10 次，射击成绩分别为（单位：环）：9 ，10 ，8 ，7 ，7 ，8 ，9，
10 ，9 ，8，则他射中 9 环及9 环以上的频率为( )
A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.6
3 ．已知一次函数y = 2x +1，当 x =3 时，函数值y 等于( ).
A ．0 B ． 1 C ．6 D ．7
4 ．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(-3, a + b)，则点 A 关于y 轴对称点的坐标是 ( )
A ．(3, a + b) B ．(-3, -a - b) C ．(3, -a - b) D ．(-3, a + b)
5 ．初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数y= -x +1 的图象经过的象限，
大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限； 小龙说：它经过第二、三、四象限； 小 彬说：它经过第一、二、四象限； 小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是
( )
A ．小红 B ．小龙 C ．小彬 D ．小航
6 ．四边形在进化的过程中，正方形可以由矩形进化而来，下列选项中正方形具有，而矩形 不具有的性质是( )
A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．中心对称图形 D ．对角线互相平分
7 ．如图，已知AB ，BC ，CD 是正n 边形的三条边，在同一平面内，以BC 为边在该正n 边 形的外部作正方形BCMN ．若上ABN = 120° ,则 n 的值为( )
A ．12 B ．10 C ．8 D ．6
8 ．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O ，点 M ，N 分别是边AD，CD 的 中点，连接MN，OM ，若MN = 3 ，S菱形ABCD = 24 ，则 OM 的长为( )
A ．3 B ．3.5 C ．2 D ．2.5
9．在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , D 为斜边AB 的中点．若AC = 8 ，BC = 6 ，则CD 的长为 ( )
A ．10 B ．6 C ．5 D ．4
10 ．在直角坐标系中，已知点A(-1, 2)，在 x 轴上确定点 P，使 △AOP 为等腰三角形，则符
合条件的点 P 的坐标为( )
A ．(0, -2) B ．(-2, 0) C ．(0, -1) D ．(-1, 0)
二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分．请将答案填在答题卡 的答案卡内）
11 ．把点(2，- 3) 先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到的点的坐标 是 ．
12 ．在函数 中，自变量x 的取值范围是 ．
\l "bkmark1" 13 ．写出一个当x > 0 时，y 随 x 的增大而减小的函数表达式 ．
\l "bkmark2" 14 ．把直线y= -3x + 4 向下平移 2 个单位，得到的直线解析式是 ．
\l "bkmark3" 15．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图 1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机
\l "bkmark3" 械，桔槔示意图如图 2 所示，OM 是垂直于水平地面的支撑杆，OM = 3 米，AB 是杠杆，AB = 6
米，OA : OB = 2 :1 ，当点 A 位于最高点时，上AOM = 120° , 此时，点 A 到地面的距离为 ．
16 ．如图，在四边形ABCD 中，AB = 3 ，BC = 13 ，CD = 12 ，AD = 4 ，且上A = 90° , 则四边 形ABCD 的面积是 ．
17．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C¢ 上.若AB = 6 ，BC = 9 ， 则BF 的长为 ．
18 ．如图，矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 2 ，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑
动；若EF = 1，则 GE + CF 的最小值为 ．
三、解答题（19~25 每题 8 分，26 题 10 分，共 66 分．解答应写出必要的文字 说明，证明过程或演算步骤）
19 ．如图，点 A 是 x 轴上左侧的一点，点B(2, m) 在第一象限，直线 BA 交y 轴于点C(0, 2) ， S△AOB = 6 ．
(1)求S△COB ；
(2)求点A 的坐标及 m 的值．
20 ．如图，已知 △ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，上EFB = 60° ,
EF = DC ．
(1)求证：四边形EFCD 是平行四边形．
(2)连结BE ，若 BE = EF ，AD = 6 ，求 AE 的长度．
21 ．2024 年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来 自全国各地 1000 余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将 迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地
组三个组别，其中男子组将进行A ：100 米直道竞速赛，B ：200 米直道竞速赛，C ：500 米直道竞速赛，D ：3000 米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度， 随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调 查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
(1)直接写出a 、b 的值和D 所在扇形圆心角的度数；
(2)若当天观看比赛的市民有 10000 人，试估计当天观看 3000 米绕标赛的市民有多少人？
(3)为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4 名交警（2 男 2 女） 对该路段进行值守，若在 4 名交警中任意抽取 2 名交警安排在同一路口执勤，请用列举法 （画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
22 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(-2, 0)，点B(0,1) ．
(1)求直线AB 的解析式；
(2)若点C 在直线AB 上，且点C 到x 轴的距离为 2，求点C 的坐标．
23 ．填空：如图，在 △ABC 中，AD 平分上BAC，DE 丄 AB，DF 丄 AC ，垂足分别为 E、F， 且BD = CD ，试说明 AB = AC ．
比赛项
目
A
B
C
D
关注人 数
42
30
a
b
证明：∵ AD 平分上BAC，DE 丄 AB，DF 丄 AC ，
:DE = _____（角平分线上的点到角两边的距离相等）． Q DE 丄 AB，DF 丄 AC，
:上BED = 上CFD = _____ °. 在Rt△BED 与Rt△CFD 中，
:Rt △BED≌Rt △CFD （_____）， :上B = 上 _____ ，
: AB = AC （_____）．
24 ．如图，已知直线 分别与 x 轴、y 轴交于 D、A 两点；直线y = 2x -1 与y 轴交 于 B 点，与直线 交于 C 点．
(1)求点 B 的坐标；
(2)求三角形ABC 的面积．
25．我们知道在任意直角三角形中有一个重量级定理——勾股定理！即如图一，在直角三角 形MON 中上O = 90° , MO = a ，NO = b ，MN = c ，则有：a2 + b2 = c2 ．为了论证这个定理， 数学家脑洞大开，用四个这样全等的直角三角形拼成图二，请同学们完成下列提问．
(1)求证：四边形ABCD 和四边形EFGH都是正方形；
(2)利用图二，求证：a2 + b2 = c2 ．
26．探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与 几何结合，即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往 前进了一大步！在他创建的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图像是一条直线，书本 上的描述是：数学上已经证明了正比例函数的图像是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心 想证明出函数y = 2x 的图像是一条直线！于是他找了图像上的三个点O(0,0) ，A (1, 2)，
B (2, 4) ，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证一下吧！
探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段OP 的两个端点坐标分别为O(0,0) ， P (1,3) ，将线段OP 绕点 O 逆时针旋转 90°到OP¢ 位置，则点P¢ 的坐标是什么？
（1）请写出点 P¢ 的坐标______．
（2）小慧通过计算发现OP 所在直线的函数表达式为y = 3x ，OP¢ 所在直线的函数表达式为 而且有 ．于是她大胆猜想：两个一次函数图像如果互相垂直，则他 们的 k 乘积为-1，请敢于探索发现的你来完成下面的论证：
如图，已知直线y = k1x 与直线y = k2x 互相垂直，求证：k1 × k2 = -1．
1 ．C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义分别判断即可.
【详解】解：A ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B ．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C ．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D ．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选 C．
2 ．C
【分析】根据频率= 频数 ÷ 总次数，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
5 ÷ 10 = 0.5 ，
:他射中 9 环及 9 环以上的频率为0.5 ， 故选：C．
【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率= 频数 ÷ 总次数是解题的关键．
3 ．D
【分析】直接将 x=3代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当 x=3 时，
y=2×3+1=7， 故选：D．
【点睛】题目主要考查求一次函数的值，理解一次函数的基本性质是解题关键．
4 ．A
【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数， 纵坐标相同求解即可．
【详解】解：点 A (-3, a + b) 关于y 轴对称点的坐标是(3, a + b)， 故选：A．
5 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象的性质，解题的关键是根据一次函数的系数找出函 数图象经过的象限．
【详解】在 y = -x +1 中，k = -1< 0 ，b = 1 > 0 ， :直线y= -x +1 经过第一、二、四象限．
故选：C．
6 ．A
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握相关的图形性质定理是解本题的关 键．根据正方形的性质以及矩形的性质即可得出结论．
【详解】解：A、对角线互相垂直是正方形都具有的性质，矩形不一定有，符合题意；
B、对角线相等是正方形与矩形都具有的性质，不符合题意；
C、矩形和正方形都是中心对称图形，不符合题意；
D、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意； 故选：A．
7 ．A
【分析】本题考查的是正多边形的性质， 正多边形的外角和，先求解正多边形的 1 个内角度 数，得到正多边形的 1 个外角度数，再结合外角和可得答案.
【详解】解：∵正方形BCMN ， : 上NBC = 90° ,
∵ 上ABN = 120° ,
: 上ABC = 360° - 90° -120° = 150° ,
:正n 边形的一个外角为180° -150° = 30° , : n 的值为
故选 A
8 ．D
【分析】根据中位线定理可得 AC ，由菱形的面积可得 BD ，进而可求出 AD ，再根据直角 三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出OM 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形 : AC 丄 BD, AO = CO, BO = DO
∵点M ，N 分别是边AD，CD 的中点，MN = 3
: AC = 2MN = 6
: BD = 8
故选：D
【点睛】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的 一半、勾股定理等．熟记相关结论是解题关键．
9 ．C
【分析】根据勾股定理求得 AB ，由斜边上中线等于斜边一半求得CD ． 【详解】由勾股定理
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理， 直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的关 键．
10 ．B
【分析】如图， 以点 A 为圆心，OA 长为半径画弧，交 x 轴于一点 F，过点 A 作AB ^ x 轴于 点 B，然后可得OB = BP = 1 ，进而问题可求解．
【详解】解： 如图，以点 A 为圆心，OA 长为半径画弧，交 x 轴于一点 F，过点 A 作AB ^ x 轴于点 B，
∵ A(-1, 2)，
: OB = 1，
: OA = AP ，
: OB = BP = 1 ， : OP = 2 ，
: P(-2, 0) ， 故选 B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握等腰三角形三线合一及图 形与坐标是解题的关键．
11 ．(5，- 5)
【分析】此题主要考查了坐标系中点的平移规律，关键是掌握坐标系中点平移的变化规律是： 横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据坐标系中点的平移变换规律可以直接 得出平移后点的坐标．
【详解】解：把点 (2，- 3) 向右平移3 个单位长度，
可得横坐标为：2 + 3 = 5 ，
再向下平移2 个单位长度，
可得纵坐标为：-3 - 2 = -5 ， 则得到的点的坐标是(5，- 5) ， 故答案为(5，- 5) ．
12 ．x ≥ 1##1≤ x
【分析】本题考查求自变量的取值范围， 根据分式的分母不为 0，二次根式的被开方数大于 等于 0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：x -1 ≥ 0 且3x +1 ≠ 0 ， 解得：x ≥ 1；
故答案为：x ≥ 1．
13 ． （答案不唯一）
【分析】本题考查的是反比例函数、 一次函数及二次函数的性质，选择不同的函数类型性质 不一样，答案也不一样．
【详解】解：答案不唯一，如 等，
故答案为： （答案不唯一）．
14．y＝－3x+2
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】解：把直线 y=3x+4 向下平移 2 个单位后所得到直线的解析式为y=3x+4-2=3x+2． 故答案为y=3x+2．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解 题的关键．
15 ．5 米## 5m
【分析】本题主要考查了含30° 直角三角形的性质；
过 O 作EF 丄 OM ，过 A 作AG 丄 EF 于 G，求出 上AOE = 30° ,根据含30° 直角三角形的性 质求出AG ，然后可得答案．
【详解】解：过 O 作EF 丄 OM ，过 A 作AG 丄 EF 于 G，
: AB = 6 米，OA : OB = 2 :1 ，
: 上AOM = 120° , 上EOM = 90° ,
: 上AOE = 30° ,
:在Rt△ AOG 中米，
:点 A 位于最高点时到地面的距离为AG + OM = 2 + 3 = 5 米， 故答案为：5 米．
16 ．36
【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接BD ，知四 边形的面积是 △ADB 和△BCD 的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到
△BCD 是一个直角三角形．则四边形面积可求．
【详解】解：连接 BD ，
则BD = = = 5 ， Q52 +122 = 132 ，即 BD2 + CD2 = BC2 ， :△BCD 为直角三角形，
: 四边形的面积= S△ADB + S△ 故答案为：36．
17 ．4
【分析】根据折叠的性质可知， FC = FC ¢ , 上C = 上FC¢M = 90° , , 利用勾股定理求出BF 即 可．
【详解】解：根据折叠的性质可知，FC = FC ¢ , 上C = 上FC¢M = 90° ,
设BF = x ，则 FC = FC ¢ = 9 - x ， Q BF2 + BC¢2 = FC ¢2 ，
:x2 + 32 = (9 - x)2 ， 解得：x = 4 ，
:BF = 4 ，
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
18 ．3
【分析】如图，作 G 关于 AB 的对称点 G'，在 CD 上截取 CH=1，然后连接 HG'交 AB 于 E， 在 EB 上截取 EF=1，此时 GE+CF 的值最小，可得四边形 EFCH 是平行四边形，从而得到 G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出 HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作 G 关于 AB 的对称点 G'，在 CD 上截取 CH=1，然后连接 HG'交 AB 于 E，在 EB 上截取 EF=1，此时 GE+CF 的值最小，
:G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形 ABCD 是矩形， :ABⅡCD，AD=BC=2 :CHⅡEF，
∵CH=EF=1，
:四边形 EFCH 是平行四边形， :EH=CF，
:G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4 ，BC=AD=2 ，G 为边 AD 的中点， :AG=AG'=1
:DG,=AD+AG'=2+1=3 ，DH=4-1=3，
即GE + CF 的最小值为3 ．
故答案为：3
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题， 矩形的性质，勾股定理等知识，确定 GE+CF 最小时 E，F 位置是解题关键．
19 ．(1)2
(2) A(-4, 0) ，m = 3
【分析】（1）由题意得S△ 计算求解即可；
（2）由题意知S△AOB = S△AOC + S△ 计算求出xA 的值，进而得到A 点坐标，设直线 BA 的解析式为y = kx + 2 ，待定系数法求解析式，将 B 点坐标代入，即可 求 m 的值．
【详解】（1）解：由题意得S△
= 2
: S△COB 的值为 2．
（2）解：由题意知S△AOB = S△AOC + S△
解得xA = -4
: A(-4, 0)．
设直线 BA 的解析式为y = kx + 2
将A(-4, 0) 代入得-4k + 2 = 0
解得
:直线 BA 的解析式为
将(2, m) 代入 中，解得m = 3
: m 的值为 3．
【点睛】本题考查了一次函数与几何，一次函数解析式等知识．解题的关键在于求出 A 的 坐标．
20 ．(1)见解析 (2)6
【分析】（1）证明EF Ⅱ DC ，再由 EF = DC ，即可证明四边形 EFCD 是平行四边形；
（2）连接 BE ，证△EFB 是等边三角形，得到EB = EF ，上FBE = 60° ,再证
△AEB≌△ADC(SAS) ，即可得出 AE = AD = 6 ． 【详解】（1）证明：Q△ABC 是等边三角形，
:上ABC = 60° ,
Q 上EFB = 60° ,
:上ABC = 上EFB ，
:EF Ⅱ DC ，
Q EF = DC ，
: 四边形EFCD 是平行四边形；
（2）解：连接BE ，如图所示：
Q BF = EF ，上EFB = 60° , : △EFB 是等边三角形，
:EB = EF ，上FBE = 60° , Q DC = EF ，
:EB = DC ，
Q△ABC 是等边三角形，
∴上ACB = 60° , AB = AC ， :上ABE = 上ACD ，
在 △AEB 和 △ADC 中，
:△AEB≌△ADC(SAS) ，
: AE = AD = 6 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△AEB≌△ADC 是解题的关键．
21 ．(1) a = 18 ，b = 60 ， 144°
(2)4000 人
【分析】本题考查统计表和扇形统计图， 求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，树状图 求概率等知识，正确识图是解题的关键．
（1）先算出总人数，再运用总人数乘上12% ，得出a 的值，再求出b 的值，然后计算 360°× D 的占比，即可作答．
（2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答．
（3）先画树状图，得出共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果 有 4 种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：根据两图中 A 的数据可得总人数为：42 ÷28%=150 （人）， : a = 150 × 12% = 18 （人），
: b = 150 - 42 - 30 -18 = 60 （人），
:D 所在扇形圆心角的度数为
（2）解：依题意 （人）
答：当天观看比赛的市民有 10000 人，试估计当天观看 3000 米绕标赛的市民有4000 人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有 4 种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为： ．
22 ．
(2)点C 的坐标为（2 ，2）或（-6 ，-2）
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）根据点C 到x 轴的距离为 2 得到点 C 的纵坐标为 2 或-2，进而得到点 C 的坐标．
【详解】（1）解：设直线 AB 的解析式为y=kx+b，将点 A ，B 的坐标代入， 得 解得
:直线AB 的解析式为
（2）:点C 在直线AB 上，且点C 到x 轴的距离为 2， :点 C 的纵坐标为 2 或-2，
当y=2 时 解得 x=2 ，:C
当y=-2 时 解得 x=-6 ，:C 综上，点C 的坐标为（2 ，2）或（-6 ，-2）．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数上点的坐标，正确掌握待 定系数法求解析式是解题的关键．
23 ．DF ；90 ；DF ；HL ；C；等角对等边
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角的平分线的性质定理等知识，证明 Rt △DBE≌Rt△DCF 是解题的关键．
由AD 平分上BAC，DE 丄 AB，DF 丄 AC ，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL ”证明 Rt △DBE≌Rt△DCF ，得 上B = 上C ，即可证明．
【详解】证明：: AD 平分上BAC，DE 丄 AB，DF 丄 AC ， :DE = DF （角平分线上的点到角两边的距离相等）．
Q DE 丄 AB，DF 丄 AC，
:上BED = 上CFD = 90°.
在Rt△BED 与Rt△CFD 中，
:Rt△BED≌Rt △CFD (HL)， :上B = 上C ，
: AB = AC （等角对等边）．
故答案为：DF ；90 ；DF ；HL ；C；等角对等边．
24 ．(1)B(0, -1) (2)3
【分析】本题考查了一次函数的几何综合，两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由 这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关 系，那么它们的自变量系数相同，即 k 值相同．也考查了三角形面积公式．
（1）令 x =0 ，求出y 值即可B 点坐标；
（2）令x =0 ，求出y 值，得到A 点坐标，再联立两直线表达式，解方程组即可得到点C 坐 标，根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：在直线 y = 2x -1 中，
当x = 0 时，y = 2x -1 = -1，则B(0, -1) ；
（2）解：在直线 中，
当x = 0 时 则A(0, 3) ；
联立解方程组 解得： ，
则C 点坐标为
则 △ABC 的面积
25 ．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的证明，正方形的判定，熟记正方形的判定方法是关键；
（1）由全等三角形的性质证明四边形ABCD 和四边形EFGH都是菱形， 再证明有一个内角 是直角即可；
（2）利用等面积法证明即可；
【详解】（1）证明：∵ △ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH ， : AB = BC = CD = AD ，上ABE = 上BCF ，上BAE = 上CBF ， :四边形ABCD 是菱形，
∵ 上AEB = 90 ° ,
: 上ABE + 上BAE = 90° = 上ABE + 上CBF = 上ABC ， :四边形ABCD 是正方形；
∵ △ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH ，
: BE = CF = DG = AH ，AE = BF = CG = DH ， : EF = FG = GH = EH ，
:四边形EFGH是菱形，
∵ 上AEB = 90° = 上FEH ，
:四边形EFGH是正方形；
（2）解：∵ S正方形ABCD = AB2 = c2 = 4 × S△ABC + S正方形EFGH ，
: a2 + b2 = c2 .
26 ．（1）(-3,1) （2）见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， 一次函数的解析式，旋转的性质，掌握三角形 全等的判定方法是解题的关键．
（1）过点 P 作PA 丄 x 轴于点 A，过点 P¢ 作P¢B 丄 x 轴于点 B，根据 AAS 证明
△BP¢O≌△AOP ，即可得到 P¢B = OA = 1 ，OB = PA = 3 ，，然后写出点的坐标即可；
（2）在直线 y = k1x 上取一点 P，把OP 绕点 O 逆时针旋转 90°到OP¢ 位置，则点P¢ 在直线 y = k2x 上，设点 P 的坐标为(a, b)，根据（1）可得点 P¢ 的坐标为(-b, a )，然后求出 k1 ， k2 ，计算即可．
【详解】（1）如图，过点 P 作PA 丄 x 轴于点 A，过点 P¢ 作P¢B 丄 x 轴于点 B， : 上P¢BC = 上OAP = 上POP¢ = 90 ，
: 上P¢OB + 上BP¢O = 上P¢OB + 上POA = 90 ，
: 上BP¢O = 上POA ， 又: P¢O = PO ，
: △BP¢O≌△AOP ，
: P¢B = OA = 1 ，OB = PA = 3 ，
又:点P¢ 在第二象限， :点P¢ 的坐标为(-3,1)；
（2）解：在直线y = k1x 上取一点 P，把OP 绕点 O 逆时针旋转 90°到OP¢ 位置，则点P¢ 在直 线y = k2x 上，
设点 P 的坐标为(a, b)，根据（1）可得点 P¢ 的坐标为(-b, a )，
: ak1 = b ，-bk2 = a ，
解得 ， ，