2024-2025学年湖南省湘西州凤凰县九年级下学期5月学情诊断模拟数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省湘西州凤凰县九年级下学期5月学情诊断模拟数学检测试卷，共35页。
九年级数学试题卷
注意事项：
1 ．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．
2 ．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清 楚．
3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4 ．本试卷三大题，26 小题，满分 120 分，时量 120 分钟．
一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．下面四个图案中是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2．2024 年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安 有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约 4500 万人次，用科学记 数法可以把数字 4500 万表示为( )
A ．4.5 × 102 B ．4.5 × 106 C ．45 × 106 D ．4.5 × 107
3 ．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视 图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图 形．其中正确的是( )
A ．① B ．② C ．③ D ．②③
4 ．下列运算正确的是( )
A ．x10 ÷ x2 = x8 B ．(a3 )4 = a7
C ．2a3 + 3a3 = 5a6 D ．m2 . m2 = 2m2
5 ．下列命题是假命题的是( )
A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．正方形的对角线互相平分
C ．矩形的对角线互相垂直 D ．菱形的四条边相等
6 ．若一组数据x ，4 ，1 ，11 ，4 的中位数和平均数相等，则x 的值为( )
A ．0 B ．5 C ．-15 D ．0 或 5
7 ．如图，OA 是ΘO 的半径，弦BC 丄 OA ，D 是ΘO 上一点，若上ADB = 24° , 则 Ð AOC 的 度数为( )
A ．36° B ．48° C ．56° D ．72°
8．如图所示，已知点E , F 分别是 △ABC 中AC 、AB 边的中点，BE ，CF 相交于点G ，S△EFC = 1， 则四边形BCEF 的面积是( )
A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
9 ．我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日，问良马几何追及之” ，题意：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每 天走 150 里，慢马先走 12 天，设快马 x 天可以追上慢马，列方程是( )
A ．240x +150x = 12 × 240 B ．240x -150x = 12 × 240
C ．240x +150x = 12 × 150 D ．240x -150x = 12 × 150
10 ．如图所示，已知二次函数y = ax2 + bx + c 的图象与x 轴交于两点A(x1，0) ，B(x2，0) ，与y 轴交于点C ，OA = OC ，对称轴为直线x = 1 ，则下列结论：① abc < 0 ； ③ ac - b +1 = 0 ；④ x1 + x2 = 2 ；x1 . x2 < 0 ．其中正确的有( )
A ．①② B ．②③ C ．①③④ D ．①④
二．填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11 ．在实数 · 、 、 、 中，其中有理数的个数是 个．
12 ．在一个不透明的袋子中，装有 10 个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出 一球是白球的概率为0.3 ，若袋子中再加入 2 个红球，则摸出一球是白球的概率为 ．
13 ．方程 的解是 ．
14 ．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍，那么称这个三角形为“倍角三角 形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为 ．
15 ．若关于 x 的方程 kx2＋2x－1 ＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ．
16．如果函数y = (k - 2)xk2 -10 是反比例函数，且当x > 0 时y 随x 的增大而增大，此函数的解析
式是 .
17．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90° , 以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC ，BA 于点 D ，E，再分别以点 D ，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧在Ð ABC 的内部 相交于点 P，作射线 BP 交AC 于点 F．已知CF = 3 ，AF = 5 ，则 BF 的长为 ．
18．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么 早晨是晴天．已知这段时间有 9 天下了雨，并且有 6 天晚上是晴天，7 天早晨是晴天，则这 一段时间有 天．
三、解答题（本题共 8 小题，共 66 分）
19 ．计算：(3.14 - π)0 - + 1- + 4sin 60° .
20 ．先化简，再求值 请从0 ，1 ，2 ，3 四个数中选取一个你喜欢
的x 代入求值．
21 ．如图，在四边形ABCD 中，上ACB = 上CAD = 90° ,点 E 在BC 上，AE ∥DC ．
(1)求证：四边形AECD 是平行四边形；
若上B = 30° , AE 平分 求AD 的长．
22．为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建 党知识测试，该校七、八年级各有 300 名学生参加，从中各随机抽取了50 名学生的成绩（百 分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为 5 组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x 0, c > 0 ， : abc < 0 ；故①正确；
∵b = -2a, c > 0 ，
故②错误；
∵ OA = OC ，c > 0 ， : A(-c, 0) ，
: ac2 - bc + c = 0 ，
: ac - b +1 = 0 ；故③正确；
∵ y = ax2 + bx + c 的图象与x 轴交于两点A(x1 ，0) ，B(x2 ，0) ，x1 < 0 < x2 ，
: x1 + x2 = 2 ；x1 . x2 < 0 ；故④正确；
正确的是：①③④ , 故选 C．
11 ．4
【分析】整数和分数统称为有理数， 先将所给的数进行化简，再根据有理数的定义进行判断
即可．
解 它是整数， = -2 ，它是整数，
1 2
都是分数，
:它们4 个均为有理数， 故答案为：4 ．
【点睛】本题考查有理数的定义，算术平方根，立方根．掌握有理数的定义是解题的关键．
12 ． ## 0.25
【分析】本题考查了概率公式，掌握概率公式是解题的关键，根据题意先求得白球有3 个， 进而根据概率公式，即可求解．
【详解】解：∵共有 10 个小球，任意摸出一球是白球的概率为0.3 ，
:白球有0.3× 10 = 3（个）， 若袋子中再加入 2 个红球，
:摸出一球是白球的概率为为 ；
故答案为： ．
13 ．x = 2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解．
解 去分母得：3 = x +1 ，
移项，合并同类项得：-x = -2 ， 解得：x = 2 ，
检验：将x = 2 代入x2 -1 = 3 ≠ 0 ， 则x =2 是原方程的根．
故答案为：x = 2 ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 14 ．36°或 90°
【分析】设三角形两个相等角的度数是 x，则顶角为 2x 或x，根据三角形内角和定理构建 方程即可；
【详解】设三角形两个相等角的度数是 x，则顶角为 2x 或 x， ∵x+x+2x=180°或
解得 x=45°或 72°
故它的顶角的度数是 90°或 36° .
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和 180°是 解决问题的关键，需要注意分类讨论．
15 ．k > -1 且k ≠ 0
【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
【详解】解：Q 关于x 的方程kx2 + 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根， :方程根的判别式4 + 4k > 0 ，且 k ≠ 0 ，
解得k > -1 且k ≠ 0 ，
故答案为：k > -1 且k ≠ 0 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式， 熟练掌握一元二次方程根的判别式 是解题关键．
16 ．
【详解】解：有题意可得：k2 -10 = -1.
:k = ±3.
当x > 0 时，y 随x 的增大而增大，
:k < 0.
:k = -3.
函数的解析式是
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的解析式有三种形式
17 ．3
【分析】本题考查了作图- 基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等 三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断BF 平分 7ABC ，过 F 作FG TAB 于 G， 再利用角平分线的性质得到GF = CF = 3 ，根据勾股定理求出
证明Rt△CBF≌Rt△GBF ，得出BG = BC ，设 BG = BC = x ，则 AB = 4 + x ，AC = AF + CF = 5 + 3 = 8 ，根据勾股定理得出
82 + x2 = (4 + x )2 ，求出 x = 6 ，根据勾股定理求出 【详解】解：过 F 作FG TAB 于 G，
由作图得：BF 平分 7ABC ，FG TAB ，上C = 90° ,
: GF = CF = 3 ，
在Rt△AFG 中根据勾股定理得 Q FG = CF ，BF = BF ，
:Rt△CBF≌Rt△GBF (HL)，
:BG = BC ，
设BG = BC = x ，则 AB = 4 + x ，AC = AF + CF = 5 + 3 = 8 ， 在Rt△ABC 中，根据勾股定理得：
AC2 + BC2 = AB2 ，
即：82 + x2 = (4 + x )2 ， 解得：x = 6 ，
:BC = 6 ，
在Rt△BCF 中根据勾股定理得
故答案为：3 ．
18 ．11
【分析】本题是一道关于天气情况的方程求解的问题．解题关键在于根据所给的 “早晨下雨 则晚上晴天”“ 晚上下雨则早晨晴天” 以及下雨天数、早晚晴天天数等条件， 建立方程来求解
总天数．
解法一：设早晨下雨天数为x ，总天数为y ． 依据“早晨下雨天数与早晨晴天数关系”以及“晚 上下雨天数与晚上晴天数关系”列出方程组．求解方程组得出总天数；解法二：设总天数为 x ，早晨下雨天数为y ，晚上下雨天数为z ． 根据“下雨总天”“ 晚上晴天数”“早晨晴天数”这 三个条件列出三元一次方程组， 解方程组即可．
【详解】解：解法一：设有 x 天早晨下雨，这一段时间有y 天， 根据题意得
①+@得：2y = 22 ， y = 11．
所以一共有 11 天；
解法二：设一共有 x 天，早晨下雨的有y 天，晚上下雨的有 z 天，
根据题意得
解得： ．
所以一共有 11 天．
故答案为：11．
19 ．0
【分析】分别化简各数，再作加减法．
解
= 1- 3 + -1+ 2
=0
【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则．
当x = 0 时，原式 ；当 x = 2 时，原式= -1
【分析】本题考查了分式的化简求值， 解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入
的的值必须使得原分式有意义．先将原式化简，然后从0 ，1 ，2 ，3 四个数中选取使得原分 式有意义的x 的值代入化简后的分式即可解答本题．
由题意可知，x -1≠ 0 ，x - 3 ≠ 0 ，
:x ≠ 1 ，x ≠ 3，
当x = 0 时，原式 当x = 2 时，原式
21 ．(1)见解析
(2) AD = 4 ．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、30° 角直角三角形的性质和勾股定理等知识， 证明四边形AECD 为平行四边形是解题的关键．
（1）首先根据上ACB = 上CAD = 90° 得到AD Ⅱ BC ，然后结合 AE ∥ DC 即可证明出四边形 AECD 是平行四边形；
（2）利用30° 角直角三角形的性质求得AC 的长，再利用30° 角直角三角形的性质和勾股定 理求得EC = 4 ，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 上ACB = 上CAD = 90° , : AD Ⅱ BC ，
又∵ AE ∥DC ，
:四边形AECD 是平行四边形．
（2）解：∵ 上B = 30° , AB = 8 ，上ACB = 90° , 上BAC = 60° ,
∵ AE 平分 ÐBAC ，
: 2EC = AE ，
由勾股定理得AC2 + EC2 = AE2 ，即 ， 解得EC = 4 ，
∵四边形AECD 是平行四边形， : AD = EC = 4 ．
22 ．(1)83.5
(2)①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； (3)88
(4)八年级达到优秀的人数为 120 人．
【分析】(1)根据八年级共有 50 名学生，第 25 ， 26 名学生的成绩为 83 分，84 分，即可求 出 m 的值；
(2)根据八年级的中位数是 83.5 分，七年级的中位数是 85 分，可得该学生的成绩大于八年级 成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；
(3)根据题意可得在抽取的50 名学生中，必须有 15 人参加线上建党知识竞赛，观察直方图 成绩是 90 至 100 分的有 13 人，进而可作出判断；
(4)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
【详解】（1）八年级共有 50 名学生，第 25 ， 26 名学生的成绩为 83 分，84 分，
故答案为： 83.5；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是 83.5 分，七年级的中位数是 85 分，
:该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数， :在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得：
则在抽取的 50 名学生中，必须有 15 人参加建党知识竞赛， 所以至少达到 88 分；
故答案为： 88；
（4）因为成绩 85 分及以上有 20 人， 所以
所以八年级达到优秀的人数为 120 人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数的意义及 求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
23 ．1860 米．
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键．
过点B 作BF⊥CD 于点F ，过点 B 作BH 丄 AD 于点H ，证明四边形 BHDF 是矩形，则 DF = BH ，求出 BH = 500 米，得到DF = BH = 500 米，求出CF = 1360 ，即可得到答案． 【详解】解：过点 B 作BF⊥CD 于点F ，过点 B 作BH 丄 AD 于点H ，
: 上BFD = 上CFB = 上BHD = 上AHB = 90° , : BE∥AD ，
: 上ADC = 上AHB = 90° , :四边形BHDF 是矩形， : DF = BH ，
:步行道AB 的坡度 ，观光索道 BC 与水平线BE 的夹角为58°
,
: AH2 + BH2 = AB2 ，
: ( BH )2 + BH2 = 10002 ， 解得BH = 500 米，
: DF = BH = 500 米，
: CF = BC sin58° = 1600× 0.85 = 1360 （米）
: CD = CF + DF = 1360 + 500 = 1860 （米）．
答：山顶点 C 到地面的距离CD 的长为1860米．
24 ．(1)甲型充电桩的单价是 0.8 元，乙型充电桩的单价是 0.6 元
(2)购买甲型充电桩 5 个，乙型充电桩 10 个，所需费用最少为 10 万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知 识点，
（1）设乙型充电桩的单价是 x 元，则甲型充电桩的单价是(x + 0.2) 元，根据用 16 万元购买 甲型充电桩与用 12 万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为 m 个，则购买乙型充电桩的数量为(15- m) 个，根据乙型 充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的 2 倍，列出一元一次不等式，解得m ≥ 5 ， 再设所需费用为 w 元，求出 w 与 m 的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次 不等式和一次函数关系式是解决此题的关键．
【详解】（1）设乙型充电桩的单价是 x 元，则甲型充电桩的单价是(x + 0.2) 元， 由题意得 ，
解得：x = 0.6 ，
经检验，x = 0.6 是原方程的解，且符合题意， : x + 0.2 = 0.6 + 0.2 = 0.8 ，
答：甲型充电桩的单价是 0.8 元，乙型充电桩的单价是 0.6 元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为 m 个，则购买乙型充电桩的数量为(15- m) 个， 由题意得：15 - m ≤ 2m ，
解得：m ≥ 5 ，
设所需费用为 w 元，
由题意得：w = 0.8m + 0.6 × (15- m) = 0.2m + 9 ， : 0.2 > 0 ，
:w 随 m 的增大而增大，
:当m = 5 时，w = 0.2 × 5+ 9 = 10
∴w 取得最小值为 10 万元， 此时，15 - m = 15 - 5 = 10 ，
答：购买甲型充电桩 5 个，乙型充电桩 10 个，所需最少费用为 10 万元．
25 ．(1) (3, 3)
存在
(3) n = 1 或n = 5
【分析】（1）根据直线和双曲线的解析式得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x 的值， 即可求解；
（2）根据直线y1 = 2x 与y2 = x2 +1 得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x 的值，求出切 点的坐标，求出抛物线的表达式为：y3 = ax2 + 2ax - 3a + 2 ，联立直线 y1 = 2x 与
y3 = ax2 + 2ax - 3a + 2 得到关于x 的一元二次方程，根据方程有唯一解，得出根的判别式
Δ = 0 ，据此列出关于a 的一元二次方程，求出a 的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）由（2）知，抛物线的表达式为 将直线y1 = 2x 向上平移 n 个单位长度后，表达式为：y1¢ = 2x + n y1¢ = 2x + n与y3 = ax2 + bx + c 交于M , N 两点，设 M (x1, y1 ) ，N (x2, y2 ) ，可得 x1 . x2 = 1 - 2n ，x1 + x2 = 2 ，则
y1 . y2 = (2x1 + n)(2x2 + n) = 4x1x2 + 2n . (x1 + x2 ) + n2 过点M ，N 分别作MP ，NQ 垂直于x 轴， 垂足为P ，Q，证得△MOP∽△ONQ ，可知 ，进而可得 y1 . y2 = -x1 . x2 ，即
5x1x2 + 2n . (x1 + x2 ) + n2 = 0 ，亦即：5 (1- 2n)+ 4n + n2 = 0 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：解：由题意可知直线y= -x + 6 与双曲线有且只有一个公共点，即：
整理得：x2 - 6x + 9 = 0 ，
解得：x = 3 ，
当x = 3 时，y = -3 + 6 = 3 ， 则切点坐标为：(3, 3) ．
（2）存在，理由：
: y1 = 2x 与y2 = x2 +1 相切， 由题意可得，x2 +1 = 2x ， 整理得：x2 - 2x +1 = 0
解得：x = 1 ，
当x = 1 时，y = 2 × 1 = 2 ， 则切点为：(1, 2) ；
:直线y1 = 2x 与y2 = x2 +1 ，y3 = ax2 + bx + c 都相切于同一点， 即y1 = 2x 与y2 = x2 +1 的切点(1, 2) 在y3 = ax2 + bx + c 图象上， 将(1, 2) 、(-3, 2) 代入抛物线表达式得： í
解得：
则抛物线的表达式为：y3 = ax2 + 2ax - 3a + 2 ，
: y1 = 2x 与y3 = ax2 + 2ax - 3a + 2 相切，
联立 得ax2 + 2ax - 3a + 2 = 2x ， 整理得：ax2 + (2a - 2)x - 3a + 2 = 0 ，
则该一元二次方程有唯一解，即 Δ = (2a - 2)2 - 4× a × (-3a + 2) = 0 ， 整理得：(4a - 2)2 = 0
解得：
故抛物线的表达式为
（3）由（2）知，抛物线的表达式为
将直线y1 = 2x 向上平移 n 个单位长度后，表达式为：y1¢ = 2x + n
: y1¢ = 2x + n与y3 = ax2 + bx + c 交于M , N 两点，设M (x1, y1 ) ，N (x2, y2 )
整理得：x2 - 2x + 1 - 2n = 0 ，
: x1 . x2 = 1 - 2n ，x1 + x2 = 2 ，
则y1 . y2 = (2x1 + n)(2x2 + n) = 4x1x2 + 2n . (x1 + x2 ) + n2
过点M ，N 分别作MP ，NQ 垂直于x 轴，垂足为P ，Q，则 上MPO = 上OQN = 上MON = 90° , 则上MOP + 上NOQ = 上NOQ + 上ONQ = 90° ,
: 上MOP = 上ONQ ，
:△MOP∽△ONQ ，
即：
, -x2 y2
: y1 . y2 = -x1 . x2 ，即5x1x2 + 2n . (x1 + x2 ) + n2 = 0 ，
亦即：5 (1- 2n)+ 4n + n2 = 0 ，整理得：(n -1)(n - 5) = 0 ， : n = 1 或 n = 5 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的综合应用，相似三角形 的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系等，根据一元二次方程根与系数的关系建立方 程求解是解决问题的关键．
26 ．(1)是
(2)见解析
(3) 2 或2 + 2 或2 3 - 2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理、含30° 角的直 角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用两边成比例，夹角相等证明△ABD- △ CBA ，即可得解；
（2）连接 OA ，证明上CAD + 上OAD = 90° ,得出 OA 丄 AC ，即可得证；
（3）过点 A 作AE 丄 BC 于E ，分两种情况：若 △BAD∽△BCA ；若△CAD ∽△CBA ；分别 求解即可得出答案．
【详解】（1）解：Q AD 为边BC 上的中线， ，
:BD = AB ， Q Ð B = Ð B ，
: △ABD∽△CBA ，
: △ABC 是关于边BC 的“优美三角形”， 故答案为：是；
（2）证明：如图，连接 OA ，
, Q △ABC 为关于边BC 的“优美三角形”， :△CAD∽△CBA ，
:上CAD = 上CBA ，
QOA = OB ，
:上OAB = 上CBA ，
:上CAD = 上OAB ，
Q BD 是ΘO 的直径，
:上OAB + 上OAD = 90° ,
:上CAD + 上OAD = 90° ,
: OA 丄 AC ，
QOA 是ΘO 的半径，
:直线AC 与ΘO 相切；
（3）解：如图，过点 A 作AE 丄 BC 于E ，
, Q △ABC 为关于边BC 的“优美三角形”，BC = 4 ，
若 △BAD∽△BCA ，则 AB2 = BD . BC ，
在Rt△ABE 中，上B = 30° , 则
若△CAD ∽△CBA ，则 AC2 = CD . BC ，
在Rt△ABE 中，上B = 30° , 设AE = x ，则
由勾股定理得：AC2 = AE2 + CE2 ，即
解得： ，
综上所述， △ABC 的面积为2 或2 + 2 或2 3 - 2 ．