2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市八年级下学期数学期末试卷

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市八年级下学期数学期末试卷，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1 ．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A ． B ．x2 + xy +1 = 0 C ．3x + 2 = 1 D ．x2 = 1
2 ．下列四边形中不是轴对称图形的是( )
A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形
3 ．下列长度的线段a, b, c 首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是( )
A ． B ．a = 8, b = 15, c = 17
C ．a : b : c = 3 : 4 : 5 D ．a = 4, b = 5, c = 6
4 ．在平面直角坐标系中，将一次函数y = 2x +1 的图象向下平移 2 个单位长度可得到函数的 解析式为( ).
A ．y = x -1 B ．y = 2 (x - 2) +1 C ．y = 2x -1 D ．y = 2 (x + 2) +1
5 ．若关于x 的一元二次方程(m -1)x2 + x -1 = 0 有实数根，则m 的取值范围是( )
A ． B ．
C ． 且m ≠ 1 D ． 且m ≠ 1
6 ．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45 次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人．
A ．9 B ．10 C ．45 D ．46
7．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点 O，若OA = 4 ，S菱形ABCD = 16, 则菱形边AB 的长为( ).
A ．4 B ．4 C ．8 D ．2
8 ．若一次函数 y = (m +1)x + m - 3 的图象经过第一、三、四象限，则 m 的取值范围是 ( ).
A ．m ≥ 3 B ．-1< m ≤ 3 C ．m < -1 或m > 3 D ．-1 < m < 3
9 ．如图，点 E 是长方形ABCD 的边CD 上一点，将△ADE 沿着AE 对折，点 D 恰好折叠到 边BC 上的 F 点，若AD = 10 ，AB = 8 ，那么 AE 长为( )
A ．5 B ． 12 C ． 5 D ． 13
10．如图，在矩形 OABC 中，已知 A（6，0），C（0，4），动点 P 从点A 出发，沿 A -B -C -O 的路线匀速运动，设动点 P 的运动时间为 t ，△OAP 的面积为 S，则下列能大致反映 S 与 t 之间关系的图象是( )
B．
A．
C．
D．
二、填空题： （每题 3 分，共 30 分）
11 ．函数 中自变量 x 的取值范围是 ．
12 ．已知 x ＝1 是方程 x2+2mx -3 ＝0 的一个根，则 m = .
13．若点A(-2, y1 ) ，B (4, y2 ) 在正比例函数y = -3x 图象上，则y1 y2 （填 < ，>
或= ）
14 ．如图，一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象经过点（0 ，1）和（2 ，0），则不等式 kx + b > 1 的解集是 ．
15 ．符号“* ”表示一种新的运算，规定a * b = . - ，则 6 * 2 的值为 ．
16 ．如图，在 △ABC 中，点 D 、E 分别是AB 、AC 的中点，点 F 在DE 上，且AF 丄 CF ， 若AC = 3，BC = 6 ，则 DF 的长为 ．
17 ．如图，在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上的一点，EF 丄 CD, EG 丄 AD ，垂足分 别为F 、G ，若EG = 2, EF = 6 ，则 BE 的长度为 ．
18 ．如图，在平面直角坐标系中，函数y = 2x 与y= -x 的图象分别为直线l1 ，l2 ，过点(1, 0)
作 x 轴的垂线交l1 于点A1 ，过点 A1 作y 轴的垂线交l2 于点A2 ，过点 A2 作 x 轴的垂线交l1 于点 A3 ，过 A3 作y 轴的垂线交l2 于点A4 ， ．．．依次进行下去，则A8 的坐标为 ．
19 ．如图， 在 △ABC 中，AB = BC, 上A = 60° , P、Q 分别是AB 和AC 上的点，
AP = CQ = 2, BC = 3AP ，M 是BC 边上的一动点， 连接PM、QM ．则PM + QM 的最小值 为 ．
20 ．如图， 矩形ABCD 中，AH 丄 BD 于 H，点 P 在BD 上，上APH = 2上BAH ， 连接 CP ．若AB = 6, AD = 8 ，则线段 CP 的长等于 ．
三、解答题： （共 60 分）
21 ．计算：
(1) - + - ;
(2) (2 + 3)(2 - 3) ÷ .
22 ．按要求解方程：
(1) 4x2 - 6x = 0 （用因式分解法）；
(2) 5x2 -1 = 3x （用公式法）．
23 ．如图，在边长为 1 的小正方形组成的9× 12 的网格中，给出了以格点（网格线交点）为 端点的线段AB ．
(1)以AB 为边作菱形ABCD ，使得 C、D 两点都在格点上，并且菱形的面积为20；
(2)以AB 为对角线作矩形AEBF ，点 E 在AB 的左侧，点 F 在AB 的右侧，使其面积等于菱 形ABCD 面积的一半；
(3)连接CF ，直接写出CF 的长度．
24 ．已知： YABCD 中，对角线AC、BD 相交于点 O ， AE、CF 分别是 △BAO 和 △CDO 的角平分线．
(1)如图 1 ， 求证：AE = CF ；
(2)如图 2 ， 若AC 丄 AB, CF 丄 OD 于点 F， 直接写出长度等于AB 长度的 、倍的所有线 段．
25 ．夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件 80 元，七月份标价 增长至每件 115.2 元，假设两个月平均每月增长率相同．
(1)求这两个月平均每月增长率；
(2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共 200 件．甲、乙两型号的救生衣的
进价分别为每件 70 元和每件 78 元．商场按照每件标价降低了 15.2 元的价格销售这批救生 衣，为了保证总利润不少于 5440 元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？
26 ．一次函数y= -x + 6 的图象分别交 x 轴和y 轴于点 A 和点 B．
(1)如图 1 ， 求上ABO 的度数；
(2)如图 2 ， 在 x 轴上有一点C(-2, 0) ， 点 E 在线段 AB 上， 直线CE 交y 轴于点 D， CD = ED ，求经过 C、E 两点的一次函数的解析式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接OE ，点 P 在直线AB 上，Q 是平面内一点，当以 O、 E、P、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点 Q 的坐标．
27 ．在 △ABC 中， 点 E 在BC 上，AE = BE = CE ．
(1)如图 1 ， 求证： △ABC 是直角三角形；
(2)如图 2 ， CD 是 △ABC 的角平分线，过点 E 作CD 的垂线，垂足为点 G，交AC 于点 F， 交DA 延长线于点 H，K 是HF 上一点， 上H + 上CKE = 45° ,求证： 上B = 2上CKE ；
(3)如图 3 ， 在（2）的条件下， M 是HF 的中点，连接AM ， 过 C 作CN∥AM 交 HE 的 延长线于点 N， 求线段HK 的长．
1 ．D
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式 方程叫一元二次方程进行分析即可．
解 是分式方程，故此选项不符合题意；
B 、x2 + xy +1 = 0 ，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C 、3x + 2 = 1 ，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D 、x2 = 1，是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要 看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 是解答本 题的关键．
2 ．D
【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合， 进行判断即可．
【详解】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意；
B、菱形是轴对称图形，不符合题意；
C、正方形是轴对称图形，不符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，符合题意； 故选 D．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别 ．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
3 ．D
【分析】根据勾股定理逆定理可进行求解．
解：A 、由 可知：a2 + b2 = c2 ，故该选项不符合题意；
B、由a =8, b = 15, c =17 可知：a2 + b2 = c2 ，故该选项不符合题意；
C、由 a : b : c = 3 : 4 : 5 可设a = 3k, b = 4k, c = 5k ，则有 a2 + b2 = c2 ，故该选项不符合题意；
D、由a =4, b = 5, c = 6 可知：a2 + b2 = 41 ≠ c2 ，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题 意；
故选 D．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
4 ．C
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“上加下减”的原则，向下平移 2 个单位长度只需在函数表达式中的常数项减去 2 即可． 【详解】解：原函数为 y = 2x +1，向下平移 2 个单位长度后，常数项由+1变为+1- 2 = -1， 所以平移后的解析式为y = 2x -1．
故选：C．
5 ．C
【分析】由方程有实数根的情况可以的得到关于 m 的不等式，从而求解. 【详解】解；∵ 关于x 的一元二次方程(m -1)x2 + x -1 = 0 有实数根，
: △≥ 0 且m -1 ≠ 0 ，即1- 4× (m -1)× (-1) ≥ 0 且m ≠ 1，
解得 且m ≠ 1.
【点睛】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键.
6 ．B
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关系 并建立方程．
设这次聚会的同学共 n 人，则每人与其他(n -1) 人各握手一次，而两个人之间握手一次，因 而共握手n (n -1) 次，即可列方程求解．
【详解】解设有n 名同学参加聚会，每人与其他(n -1) 人各握手一次，但每两次握手被重复
计算一次，故总握手次数为 根据题意，得：
(n -10)(n + 9) = 0
解得n = 10 （舍去负根）．
因此，参加聚会的同学共有 10 人， 故选：B．
7 ．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质得出AC = 8 ，由菱形的面积得出 BD = 4 ，则 BO = 2 ，进而根据勾股定理，即
可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， : OA = OC ，OB = OD ，BD 丄 AC ， : AC = 2OA = 8 ，
: BD = 4 ，
在Rt△AOB 中 故选：D．
8 ．D
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象经过的象限，确 定一次函数y = kx + b 中k 、b 的符号，列出不等式组求解．
根据一次函数的图象经过第一、第三、第四象限得出关于 m 的不等式组，求出 m 的取值范 围即可．
【详解】解：一次函数 y = (m +1)x + m - 3 的图象经过第一、三、四象限，
所以 í
ìm +1 > 0
lm - 3 < 0
解m +1 > 0 得m > -1；
解 m - 3 < 0 得 m < 3 ．
:-1 < m < 3 ， 故选：D．
9 ．C
【分析】根据 △ADE 沿着AE 对折，点 D 恰好折叠到边BC 上的 F 点得到AD = AF = 10 ，
DE = EF ，在△ABF 中求出BF ，即可得到CF ，设DE = m ，在Rt△CEF 中根据勾股定理求 出m ，在 △ADE 运用勾股定理即可得到答案；
【详解】解：∵ △ADE 沿着AE 对折，点 D 恰好折叠到边BC 上的 F 点，
: AD = AF = 10 ，DE = EF ， ∵四边形ABCD 是长方形，
: 上B = 上C = 上D = 90° , 在Rt△ABF 中，
: CF = 10 - 6 = 4 ， 设DE = m ，
在Rt△CEF 中，
m2 - (8 - m2 ) = 42 ，解得：m = 5 ， 在Rt△ADE 中，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题， 解题的关键是根据折叠得到线段相等，将线段转换 在一个三角形中根据勾股定理求解．
10 ．C
【分析】分三段求解：①当P 在AB 上运动时；②当P 在BC 上时；③当P 在OC 上；分别 求出S 关于t 的函数关系式即可选出答案．
【详解】解：设 P 的速度为a
①当P 在AB 上运动时 ， QA(6, 0) 、C(0, 4) ，
: OA = 6 ，AB = 4 ，
②当P 在BC 上时，
③当P 在CO 上
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图形求出 S 关于t 的函数 关系式．
11 ．x≠3
【详解】根据题意得 x -3≠0， 解得 x≠3．
故答案为 x≠3．
12 ．1．
【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．
【详解】解：把 x ＝1 代入 x2+2mx -3 ＝0 得 1+2m -3 ＝0，解得 m ＝1． 故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元一次方程的解法，掌握一元二次方程的解的定义， 一元一次方程的解法是解题关键．
13 ．>
【分析】本题考查了正比例函数图象上的点的坐标特征， 熟练掌握知识点是解题的关键．点 A (-2, y1 ) ，B (4, y2 ) 代入y = -3x ，比较 y1, y2 大小比较即可．
【详解】解：∵点A(-2, y1 ) ，B (4, y2 ) 在正比例函数y = -3x 图象上，
:将点A(-2, y1 ) ，B (4, y2 ) 代入y = -3x 得：y1 = (-2)× (-3) = 6, y2 = 4 × (-3) = -12 ， : y1 > y2 ，
故答案为：> ．
14 ．x < 0
【分析】观察函数图象即可得解．
【详解】由图象可得：当 x1， 所以关于 x 的不等式 kx+b>1 的解集是 x