2024-2025学年河北省石家庄市第四十中学七年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市第四十中学七年级下学期期末数学检测试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列图形中， △ABC 能通过平移得到 △DEF 是( )
A ． B．
C ． D．
ìx > 1
2 ．将不等式组 ílx ≤ 2 的解集在数轴上表示正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
3 ．下列计算正确的是( )
A ．x3 + x3 = x5 B ．(-x)2 + x = -x
C ．(-2x2 )3 = -8x6 D ．(-a )4 (-a )3 = a7
4 ．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A ．x2 - 4x + 4 = x (x - 4) + 4 B ．(x + 1)2 = x2 + 2x -1
C ．2x2 - 2 = 2 (x +1)(x -1) D ．x2 -1 = (x -1)2
5 ．下列分式是最简分式的是( )
B ． C ． D ．
6 ．已知某细菌直径长约0.0000231 米，数据0.0000231 用科学记数法可表示为( )
A ．231 × 105 B ．2.31 × 10-5 C ．-2.31× 105 D ．2.31 × 10-4
7 ．已知命题“如果a2 > 9 ，那么 a > 3”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是( )
A ．a = 4 B ．a = -3 C ．a = -2 D ．a = -5
8 ．下列长度的三根木条（单位：分米）首尾顺次相接能组成三角形的是( )
A ．2 ，3 ，4 B ．1 ，3 ，5 C ．4 ，5 ，10 D ．2 ，5 ，8
9 ．在下列各图的 △ABC 中，正确画出AC 边上的高的图形是( )
A．
B．
C．
D．
10 ．下列图片中能用“垂线段最短”来解释的现象是( )
A．
C．
B．
D．
11 ．某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有 20 道题，答对一题加6 分，答错或不答每 题倒扣 3 分，小辉在初赛得分超过 80 分顺利进入决赛，设他答对 x 道题，根据题意，可列 出关于 x 的不等式为( )
A ．6x - (20 - x) > 80 B ．6x - (20 - x) ≥ 80
C ．6x - 3 (20 - x) > 80 D ．6x - 3 (20 - x) ≥ 80
12．在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看， 工作篮底部AB 与支撑平台CD 平行．若上1 = 30°, 上3 = 150° ,则 上2 的度数为( )
A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 2 分，共 8 分．
13 ．若分式 有意义，则x 的取值范围为 ．
14 ．若关于x 的二次三项式x2 + ax + 16 是完全平方式，则 a 的值是 ．
15 ．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中上a等于 ．
16 ．如图，AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，上BAC = 60° , 上ACB = 78° , 点 F 为边AB 上一点，当△BDF 为直角三角形时，则上ADF 的度数为 ．
三、解答题：本题共 7 小题，共 56 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤．
17 ．计算：
ìx - 5 < 1+ 2x
l3x + 2 < 4x
(1)解不等式组： í ;
(2)解分式方程 ．
约分 ；
计算
19 ．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式 M，P；
(2)将整式 P 因式分解．
20 ．如图，在 △ABC 中，BE 是角平分线，点 D 在边AB 上（不与点A，B 重合）， CD 与BE 交于点O ．
(1)若CD 是中线，BC = 3 ，AC = 2 ，则△BCD 与 △ACD 的周长差为______；
(2)若上ABC = 62° , CD 是△ABC 的高，求Ð BOC 的度数．
21 ．如图，某市有一块长为(3a + b)m ，宽为(2a + b)m 的长方形地块，规划部门计划将阴影 部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少m2 ？并求出当 a = 4 ，b = 3 时的 绿化面积．
22 ．某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息． 信息 1：
信息 2：若每位老师带 35 名学生，则有 20 名学生无老师可带；若每位老师带 46 名学生， 则余下一位老师无学生可带．
请根据以上信息，完成以下任务．
任务 1：求出此次活动中老师与学生各有多少人．
任务 2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须 有座位且不超载．请设计最优租车方案．
23 ．已知上AOB = 90° ,直线CD 与OA 交于点 C，与OB 交于点 D，点 C，D 均不与点 O 重 合，CE 平分∠DCO ，DE 平分上CDO ．
(1)如图 1 ，上CED 的度数为______；
(2)如图 2，延长CE 与BO 交于点 F，过 E 作射线EG 与CD 交于点 G，且满足
上CFO - 上GED = 45° . 求证：GE∥DO ．
.
车型
座位数（人/辆）
租金（元/辆）
30 座客车
30
300
45 座客车
45
400
1 ．A
【分析】本题主要考查了图形的平移， 平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和 形状，据此特点可得答案．
【详解】解：∵平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状，
:只有 A 选项中的图形能满足△ABC 能通过平移得到 △DEF ， 故选：A．
2 ．C
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答 此题的关键．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
ìx > 1
lx ≤ 2
【详解】解：∵不等式组 í 的解集为1< x ≤ 2 ，
:在数轴上表示为：
.
故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查了合并同类项， 同底数幂相乘，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分 析，即可作答．
【详解】解：A 、x3 + x3 = 2x3 ≠ x5 ，故该选项不符合题意；
B 、(-x )2 + x = x2 + x ，故该选项不符合题意；
3
故，；题意；
故选：C
4 ．C
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解 题的关键．
根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式．
【详解】解：A、右边为x (x - 4) + 4 ，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形 式，故此选项不符合题意．
B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
C、左边提取公因数 2 得2(x2 -1)，进一步分解为2(x +1)(x -1)，符合因式分解的定义，故 此选项符合题意．
D、左边x2 -1的正确分解应为(x +1)(x -1) ，而右边为(x -1)2 ，分解错误，故此选项不符合
题意．
故选：C．
5 ．D
【分析】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分 式．根据最简分式的概念判断即可．
解 不是最简分式，不符合题意；
B 、 ，不是最简分式，不符合题意；
C 、 不是最简分式，不符合题意；
D 、 是最简分式，符合题意． 故选：D．
6 ．B
【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表现形式是解题的关键．
科学记数法的表现形式为a ×10n 的形式，其中1≤ a < 10 ，n 为整数，确定n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 大于等于10 时，n 是正数，当原数绝对值小于 1 时，n 是负数；由此进行求解即可得解．
【详解】解：0.0000231 = 2.31×10-5 ． 故选：B．
7 ．D
【分析】本题考查了命题与定理： 命题写成“如果 … ，那么 …”的形式，这时，“如果”后面接 的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一 个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证， 而判断一个命题是假命
题，只需举出一个反例即可．选取的 a 的值不满足“如果a2 > 9 ，那么 a > 3”的即可． 【详解】解：选项 A：a = 4 时，a2 = 16 > 9 ，且 a = 4 > 3，满足结论，不能作为反例； 选项 B：a = -3 时，a2 = 9 ，不满足 a2 > 9 ，无法验证命题，不能作为反例；
选项 C：a = -2 时，a2 = 4 < 9 ，不满足条件，不能作为反例；
选项 D：a = -5 时，a2 = 25 > 9 ，满足条件，但 a = -5 < 3 ，结论不成立，符合反例要求；
故选：D．
8 ．A
【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两条较短木条的长度和与较长木条的长度的大小 关系，进行判断即可．
【详解】解：A 、2 + 3 = 5 > 4 ，能构成三角形，符合题意；
B 、1+ 3 = 4 < 5 ，不能构成三角形，不符合题意；
C 、4 + 5 = 9 < 10 ，不能构成三角形，不符合题意；
D 、2 + 5 = 7 < 8 ，不能构成三角形，不符合题意； 故选：A．
9 ．B
【分析】本题考查了三角形的高， 关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形 的高的概念判断即可．
【详解】解：AC 边上的高就是过顶点 B 作垂线段，垂直AC ，交 CA 的延长线于 D 点，因 此只有 B 符合条件，
故选：B．
10 ．A
【分析】本题主要考查了垂线段最短， 两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点，熟 练掌握相关知识点并能在生活中找到其应用场景是解题的关键．
根据垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项 A 符合题意；
B. 木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项 B 不符合题意；
C. 两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项 C 不符合题意；
D. 弯曲河道改直是利用了“两点之间线段最短”，故选项 D 不符合题意； 故选：A ．
11 ．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．利用小辉的得分= 6 × 答对题目数
-3× 答错或不答题目数，结合小辉的得分超过 80 分，可列出关于 x 的一元一次不等式，此 题得解．
【详解】解：根据题意得：6x - 3 (20 - x) > 80 ． 故选：C．
12 ．A
【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过 上2 的顶点作直线lⅡ CD ，l 将上2 分成上4 和上5 ，则l∥AB∥CD ，由平行线的性质得出 上4 = 上1 = 30° ,
上5 = 180° - 上3 = 30° ,即可得解．
【详解】解：如图，过 上2 的顶点作直线lⅡ CD ，l 将上2 分成上4 和上5 ，
∵ AB∥CD ，
: l∥AB∥CD ，
: 上4 = 上1 = 30° , 上5 = 180° - 上3 = 30° ,
: 上2 = 上4 + 上5 = 60° , 故选：A．
13 ．x ≠ -1
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不为 零．据此列式解答即可．
解：∵分式有意义， : x +1 ≠ 0 ，
: x ≠ -1 ，
: x 的取值范围为x ≠ -1 ．
故答案为：x ≠ -1 ．
14 ． ±8
【分析】根据完全平方式的性质：a2 ± 2ab + b2 ，可得出答案．
【详解】∵ x2 + ax + 16 = x 2 + ax + 42 是完全平方式
: ax = ±2 . 4x
解得a = ±8
故答案为： ±8 .
【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的 a 和 b 是解题的关键． 15 ．105° ##105 度
【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题 的关键．根据三角板的度数得到上a = 180° - 上C - 上ABC ，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：上C = 30° , 上ABC = 45° ,
: 上a = 180° - 上C - 上ABC = 180° - 30° - 45° = 105° .
故答案为：105° .
16 ．60° 或18°
【分析】分情况讨论：①当上BFD = 90° 时，②当上BDF = 90° 时，根据角平分线和三角形 高线的定义分别求解即可．
【详解】解：如图所示，当 上BFD = 90° 时，
∵ AD 是△ABC 的角平分线，上BAC = 60° , : 上BAD = 30° ,
: Rt △ADF 中，上ADF = 60° ;
如图，当上BDF = 90° 时，
同理可得上BAD = 上DAC = 30° , ∵ 上ACB = 78° ,
: 上ADB = 上DAC + 上ACB = 30° + 78° = 108° , : 上ADF = 上ADB - 上BDF = 108° - 90° = 18° , 综上所述：上ADF 的度数为60° 或18° .
故答案为：60° 或18° .
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义， 三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分 类讨论的思想是解题的关键．
17 ．(1) x > 2
(2) x = 2
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组及方程的方法是 解题的关键．
（1）解各不等式得到对应的解集后求得它们的公共部分即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得 x 的值后进行检验即可．
ìx - 5 < 1
【详解】（1）解： í
l3x + 2 -6 ，
解不等式 ② 得：x > 2 ，
故原不等式的解集为x > 2 ；
（2）解：原方程去分母得：4 + 2x - 6 = x ，
解得：x = 2 ，
检验：当x = 2 时，2x - 6 ≠ 0 ， 故原方程的解为x = 2.
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）将分子、分母约去最简公分母即可；
（2）将原式变形后把括号里面的分式进行加减运算，然后将除法化为乘法，最后进行约分
即可．
【详解】解：（1）

a2 - b2 a + b
= ÷
a - b ab
(a + b) (a - b) ab
= .
a - b a + b
= ab.
19 ．(1) M = 5x - 20 ；P = 4x2 -16
(2)P = 4 (x + 2)(x - 2)
【分析】（1）根据题意可得3x (x - 3) + M = 3x2 - 4x - 20 ，移项化简可得 M的值，再由 3x2 - 4x - 20 + (x + 2)2 = P ，可得 P 的值；
（2）算出 P 的值，先提取公因数，再用公式法即可因式分解． 【详解】（1）解：由题意可知，3x (x - 3) + M = 3x2 - 4x - 20 ，
解得：M = 5x - 20 ，
3x2 - 4x - 20 + (x + 2)2 = P ， : P = 4x2 -16 ；
（2）由（1）可知，P = 4x2 -16 = 4 (x2 - 4) = 4 (x + 2)(x - 2)．
【点睛】本题考查多项式的加减、因式分解的计算， 熟练掌握多项式的加减运算规则和因式 分解的方法是解决本题的关键．
20 ．(1)1
(2)121°
【分析】此题主要考查了三角形的内角和是定理， 三角形的外角定理，三角形角平分线的定 义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的外 角定理进行角度的计算是解答此题的关键．
（1）首先由CD 是中线得BD = AD ，再分别求出△BCD 和 △ACD 的周长，然后再求出它们 的差即可；
（2）先根据CD 是△ABC 的高得上CDB = 90° , 再根据角平分线的定义求出上ABE = 31° , 然 后根据三角形的外角定理可得Ð BOC 的度数．
【详解】（1）解：QCD 是中线，
:BD = AD ，
Q BC = 3 ，AC = 2 ，
:△BCD 的周长= BC + BD + AD = 3 + AD + CD ， 则 △ACD 的周长= AD + CD + AC = 2 + AD + CD ，
:△BCD 的周长-△ACD 的周长= 3 + AD + CD - (2 + AD + CD) = 1， 故答案为：1；
（2）解：∵ CD 是△ABC 的高，
:上CDB = 90° ,
Q 上ABC = 62° , BE 是△ABC 的角平分线，
:上BOC = 上CDB + 上ABE = 90° + 31° = 121° .
21 ．S = (5a2 + 3ab)m2 ，116m2
【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值的应用，根据长方形面积减去中间部分的面 积为绿化面积即可得到绿化面积的代数式，再把字母的值代入求解即可．
【详解】解： S = (3a + b)(2a + b) - (a + b)2 = (6a2 + 5ab + b2 )- (a2 + 2ab + b2 ) = (5a2 + 3ab)m2 ． 当a = 4 ，b = 3 时，S = 5 × 42 + 3× 4 × 3 = 116(m2 ) ．
则绿化的面积是多少(5a2 + 3ab)m2 ，当 a = 4 ，b = 3 时的绿化面积为116m2 ．
22．任务 1：此次活动中老师有 6 人，学生有 230 人；任务 2：租用 2 辆 30 座客车，租用 4 辆 45 座客车的租金最少
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式以及一次函数的应用，根据题意列出关 系式是解题的关键；
任务 1：设此次活动中老师有x 人，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
任务 2：设租用m 辆 30 座客车，则租用(6 - m) 辆 45 座客车，租金为W 元，先求得m ≤ , 进而根据一次函数的性质，求得w 的最小值，即可求解．
【详解】解：任务 1：设此次活动中老师有x 人，
由题意，得35x + 20 = 46 (x -1)， 解得x = 6 ．
学生人数为：35 × 6 + 20 = 230 （人）
答：此次活动中老师有 6 人，学生有 230 人．
任务 2：设租用 m 辆 30 座客车，则租用(6 - m) 辆 45 座客车，租金为w 元． 根据题意，得30m + 45(6 - m) ≥ 230 + 6 ，解得： ，
w = 300m + 400 (6 - m) = -100m + 2400 Q k = -100 < 0
:w 随m 的增大而减小
当m = 2 ，6 - m = 4 时，w 有最小值．
答：租用 2 辆 30 座客车，租用4 辆 45 座客车的租金最少．
23 ．(1)135°
(2)见详解
【分析】本题主要考查了角平分线的定义， 三角形内角和定理，内错角相等两直线平行，弄 清各角之间的数量关系是解题的关键．
（1）根据已知得上DCO + 上CDO = 90°, 上上DCO, 上上CDO ，进而得出
上DCE + 上CDE = 45° ,再根据三角形内角和定理可得答案；
（2）根据角平分线定义得上上DCO, 上上CDO ，进而得上DCE + 上EDF = 45° , 再根据三角形外角的性质得上CFO = 上EDF + 45° ,然后结合已知可得 上EDF = 上GED ，则 答案可证．
【详解】（1）解：∵ 上AOB = 90° , CE 平分∠DCO ，DE 平分上CDO ，
: 上CED = 180° - 上CDE - 上DCE = 135° ;
（2）解：: CE 平分∠DCO ，DE 平分上CDO ，
: 上DCO + 上CDO = 90° , : 上DCE + 上EDF = 45° .
: 上CFO = 上DCF + 上CDO = 上DCF + 2上EDF = 上EDF + 45° , : 上EDF = 上CFO - 45° .
: 上CFO - 上GED = 45° , : 上GED = 上CFO - 45° , : 上EDF = 上GED ，
: GE∥DO ．