2024-2025学年广西壮族自治区南宁市天桃中学八年级下学期数学期末考试

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区南宁市天桃中学八年级下学期数学期末考试，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南宁市天桃实验学校 2025 年春季学期期末考试
八年级数学
考试时间：120 分钟 满分：120 分
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷 上作答无效；考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题给出的四个选 项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1 ．下列二次根式是最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A ．x +1 = 2 B ．x2 - 4x - 3 = 0 C ．x + 2y -1 = 0 D ．n
3 ．如图，平行四边形ABCD 中， ∠1 = 70° ,则 ÐB 的度数为( )
A ．20° B ．60° C ．70° D ．110°
4 ．在关系式y = 2x +1 中，当自变量x =1 时，函数y 的值为( )
A ．3 B ．1 C ．-1 D ．4
5 ．学校附近小卖部老板在清点库存时发现，某种零食草莓味卖得最多，他考虑以后采购该 种零食要多进草莓味的，他参考的是下列统计量中的( )
A ．方差 B ．平均数 C ．中位数 D ．众数
6 ．下列图象中，表示y 是x 的函数的是( )
C．
B．
D．
A．
7 ．将抛物线y = 6x2 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，得到( )
A ．y = 6 (x + 2)2 + 3 B ．y = 6 (x + 2)2 - 3
C ．y = 6 (x - 2)2 + 3 D ．y = 6 (x - 2)2 - 3
8 ．若关于x 的一元二次方程kx2 - 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ( )
A ．k > -1 B ．k＜1 且 k≠0 C ．k≥ -1 且 k≠0 D ．k > -1 且k ≠ 0
9 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ．a > 0 B ．当x < 1时， y 随x 的增大而减小
C ．x = 3 是方程ax2 + bx + c = 0的一个根 D ．c < 0
10 ．已知正比例函数y = kx (k ≠ 0) 的函数值y 随 x 的增大而减小，则一次函数y = kx - k 的图 像大致是( )
C．
B．
D．
A．
11 ．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，点 A 表示-1 ，AB = 3 ，AD = 1 ．若以点 A 为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴正半轴于点 M，则点 M 所表示的数为( )
A ． +1 B ．J10 C ． -2 D ． -1
12 ．在欧几里得的《几何原本》中， 形如关于x 的一元二次方程x2 + ax = b2 (a > 0，b > 0) 的 图解法是：如图，作Rt△ABC ，其中 上ACB = 90° , 在斜边上截取
,则 AD 的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x 的一元二次方程
x2 + ax = 64 （a > 0 ）的图解，若 = ，则a 的值为( )
A ．10 B ．12 C ．8 D ．14
第 II 卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
13 ．若二次根式、/x - 3 有意义，则 x 的取值范围是 ．
14 ．抛物线y = (x + 2)2 - 3 的顶点坐标为 ．
15 ．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O 出发，甲轮船以9 海里/ 时的速度沿西北方向匀速 航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距15 海里，则乙轮船每小时航行 海里．
16 ．如图，点 D 是y 轴正半轴上的动点，点 A 在 x 轴正半轴上，AD = 8 ，以 AD 为边在第 一象限作正方形ABCD ，连接OB ，则OB 的最大值为 ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．）
17 ．（1）计算： - + × ;
（2）解方程：x2 + 6x + 8 = 0 ．
18 ．已知y 关于 x 的函数y = 4x + a - 2 ．
(1)若y 是 x 的正比例函数，求 a 的值；
(2)若a =10 ，求该函数图象与 x 轴的交点坐标．
19 ．老李是广西灵山的一名荔枝果农，想要通过快递将荔枝销往全国各地．经过初步了解， 老李打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此老李收集了 10 户果农对两家快递公 司的配送速度以及服务质量评分情况，信息如下：
信息一：配送速度得分（满分 10 分）：
信息二：服务质量得分统计图：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的a = ________ ，b = ________ ，c = ________．
(2)综合表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由．
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即 可）
甲
6
5
6
8
7
7
9
9
10
9
乙
8
8
6
7
6
10
7
7
9
5
项目
配送速度得分
服务质量得分
快递公司
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.6
7.5
b
7
S
乙
7.3
a
7
c
S
20 ．如图，四边形ABCD 中，若AD = 4 ，DO = OB = 3 ，AC = 10 ，上ADB = 90° .
(1) AO = ________；
(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形；
(3)求BC 的长和四边形ABCD 的面积．
21．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病， 某商场的一款空气净化器（如图 1）特别畅销．已知进价是每台 20 元，根据市场调查发现， 每月的销售量y（台）与售价 x（元/台）是一次函数关系，如图 2 所示：
(1)求y 与 x 的函数关系式；
(2)某月该商场出售这种空气净化器获得了24000 元的利润，该空气净化器的售价是多少？
(3)若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于 300 台，该商场销售这种空气净化器获得 的最大利润是多少？
22 ．综合与实践：
某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一 段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这 段距离总共需要的反应时间为0.6 秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过150km/h ）进行测
试，测得数据如下表：
探究任务：
(1)以车速x 为横坐标，制动距离y 为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并 用平滑曲线连接这些点，已知y 与x 满足函数关系式 请根据上面提供的数 据，求出b 的值；
(2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为15m ，请通过 计算估计该款汽车制动时车速；
(3)若某司机驾驶这种新型汽车以80km/h 的速度在快速路上行驶，发现前方40m 处有一障碍 物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由．
23 ．【问题情境】
数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，折痕与 边AD，BC 分别交于点 E，F，点 C 的对应点记为C¢ ,点 D 的对应点记为D¢ .
【特例探究】
（1）如图 1，折叠使点 C 与点A 重合，为判断四边形AECF 的形状，小明写出了以下证明 过程，请帮忙补全：
（2）如图 2，若点 F 为BC 的中点，延长D ¢ C ¢ 交AB 于点 P ．判断PC¢ 与PB 的数量关系，
制动时车速x (km/h )
0
30
60
90
120
150
制动距离y(m)
0
7.8
19.2
34.2
52.8
75
证明：:四边形ABCD 是矩形，: AD ⅡBC ，: 上AEF = 上CFE ，
由折叠的性质得：AF = CF ， Ð AFE 上CFE ，: 上AEF = 上AFE ，: AF AE ， : AE = CF ，:四边形AECF 是平行四边形，
又: AF = CF ，
:平行四边形AECF 是 ．
并说明理由； 【深入探究】
（3）如图 3，点 F 在BC 上，且BF = 2 ，若AB = 6 ，AD = 12 ，当点 E 为AD 的三等分点时，
直接写出 的值．
1 ．D
【分析】满足： 被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次 根式是最简二次根式，再根据定义逐一判断即可．
解
, ·、 ， ·、i8 不是最简二次根式，故 A ，B ，C 不符合题意；
是最简二次根式，D 符合题意， 故选 D．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握“利用最简二次根式的定义判断最简二次 根式”是解本题的关键．
2 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为 2 的整式方程）逐一判断各选项即可．
【详解】解：A ． x +1 = 2 ：化简后为 x =1 ，是一元一次方程，不符合条件．
B ．x2 - 4x - 3 = 0：只含有一个未知数x ，且x 的最高次数为 2，是整式方程，符合一元二次 方程的定义．
C ．x + 2y -1 = 0 ：含有两个未知数x 和y ，是二元一次方程，不符合条件．
D ．xy - 3 = 5 ：含有两个未知数x 和y ，且乘积项xy 的次数为 2，是二元二次方程，不符合 条件．
故选：B
3 ．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 由平行四边形的性质得出AB∥CD ，再根据平 行线的性质即可得出上B = 上1 = 70° .
【详解】解：:四边形ABCD 是平行四边形，
: AB∥CD ，
: 上B = 上1 = 70° , 故选：C
4 ．A
【分析】本题考查已知一次函数自变量的值求函数值，把已知自变量的值求函数值，直接将 自变量代入一次函数计算即可．
【详解】解：将自变量 x =1 代入函数关系式y = 2x +1 中：
y = 2 × 1+1 = 2 +1 = 3
因此，当x =1 时，函数y 的值为 3， 故选：A
5 ．D
【分析】本题考查了统计量的实际应用，需根据各统计量的定义判断其适用场景．
【详解】解：方差反映数据的离散程度，与销量多少无关，排除 A．
平均数代表整体平均水平，但可能受极端值影响，无法直接体现销量最多的口味，排除 B． 中位数是数据中间位置的数值，反映中间水平，与销量最多无关，排除 C．
众数是一组数据中出现次数最多的值．题干中“草莓味卖得最多”表明该口味销量出现次数最 多，符合众数的定义．因此，老板参考的是众数，
故选 D．
6 ．A
【分析】主要考查了函数图象和概念．根据函数的概念，对于自变量 x 的每一个值，因变量 y 都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【详解】解： A ．对于自变量 x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，所以能表示 y 是 x 的函数，故该选项符合题意；
B ．对于自变量 x 的每一个值，因变量y 不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y 是 x 的函数，故该选项不符合题意；
C ．对于自变量 x 的每一个值，因变量y 不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y 是 x 的函数，故该选项不符合题意；
D ．对于自变量 x 的每一个值，因变量y 不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y 是 x 的函数，故该选项不符合题意；
故选：A．
7 ．A
【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，进而得出平移后的解析式． 【详解】解：抛物线 y = 6x2 向左平移 2 个单位．再向上平移 3 个单位，
:平移后的抛物线解析式为y = 6(x +2)2 + 3 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加 下减”是解题的关键．
8 ．D
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k ≠ 0 且△ = (-2)2 - 4k . (-1) > 0 ，然后 求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得 k ≠ 0 且△ = (-2)2 - 4k . (-1) > 0 ， 解得k > -1 且k ≠ 0 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根 与△ = b2 - 4ac 有如下关系：当△> 0 时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0 时，方程有 两个相等的实数根；当△< 0 时，方程无实数根．
9 ．C
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系， 掌握二次函数的性质、灵活运用数形结 合思想是解题的关键．解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物 线的解析式．由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：A ．抛物线开口向下，故a < 0 ，则说法错误，不符合题意；
B ．根据函数图像可知当x < 1时， y 随x 的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
C ．方程的一个根是-1，函数对称轴为：x = 1 ，则x =3 是方程ax2 + bx + c = 0的一个根，说 法正确，故该选项符合题意；
D ．抛物线交y 轴正半轴，则c > 0 ，不符合题意． 故选：C．
10 ．B
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 根据正比例函数的增减性可知k < 0 ，进一步可知一次函数y = kx - k 的图像经过的象限，即 可确定．
【详解】解：正比例函数 y = kx(k ≠0) 的函数值y 随x 的增大而减小，
: k < 0 ，
:-k > 0 ，
:一次函数y = kx - k 的图像经过第一、二、四象限， 故选：B．
11 ．D
【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理， 矩形的性质等知识，解题的关键是灵活应用勾股 定理求出AC, AM 的长．先利用勾股定理求出AC ，根据AC = AM ，求出OM ，由此即可解 决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形， : 上ABC = 90° ,
∵ AB = 3, AD = BC = 1 ，
: AM = AC = 、 ， ∵ OA = 1，
: OM = AM - OA = -1，
:点 M 表示点数为 -1 ．
故选 D．
12 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设设
BD = 3m, AD = 2m ，则BC = 3m, AB = 5m ，由勾股定理得 AC = 4m ，然后根据 AC = b 求出 m，
根据BC = 即可求出 a．
解
设BD = 3m, AD = 2m ，则BC = 3m, AB = 5m ， : AC = = 4m ，
∵ x2 + ax = 64 = 82 ，
: 4m = 8 ，
: m = 2 ，
: BC = 6 ，
∵ BC = = 6 ，
: a = 12 ．
故选：B
13 ．x ≥ 3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得x - 3 ≥ 0 ，再解不等式即可．
【详解】解：若二次根式 、/x - 3 有意义，则x - 3 ≥ 0 ，即 x ≥ 3； 故答案为：x ≥ 3．
14 ．(-2, -3)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
y = a (x - h)2 + k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为(h, k ) ．由抛物线的解析式为顶点式，可直 接得答案．
【详解】解：:抛物线解析式为：y = (x + 2)2 - 3 ，
:顶点坐标为(-2, -3) ， 故答案为：(-2, -3) ．
15 ．12
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了 直角，然后根据路程= 速度× 时间，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：:甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， : AO 丄 BO ，
: 上AOB = 90°
:甲以9 海里/时的速度沿西北方向匀速航行了 1 小时， : OA = 9 × 1 = 12 （海里），
: AB = 15 海里，
在Rt△AOB 中 :乙轮船平均每小时航行12 ÷1 = 12 （海里）．
故答案为：12 ．
16 ．4 + 4## 4 + 4
【分析】本题考查了正方形的性质， 直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵 活运用这些性质解决问题是解题的关键．
取AD 的中点 H，连接OH, CH ，根据正方形的性质及直角三角形斜边中线的性质得出 再由勾股定理确定BH = 4 ，再由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，取 AD 的中点 H，连接OH, BH ，
∵四边形ABCD 是正方形，
: 上DAB = 90°, AB = BC = AD = 8 ， ∵点 H 是AD 的中点，上AOB = 90°,
: BH = = = 4 ， 在△OBH 中，OB ≤ OH + HB = 4 + 4 ，
:当点 H 在OB 上时，OB 有最大值，最大值为4 5 + 4 ，
故答案为：4 + 4 ．
17 ．（1）4 ；（2）x1 = -2，x2 = -4
【分析】本题考查了解一元二次方程- 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程 的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混 合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先把 ·、8 化简，再把括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算，然后进行加减运算运 算即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为 x + 2 = 0 或x + 4 = 0 ，然后解一次方程即可． 【详解】解：（1） - + ×
= 2 - + = + 3
= 4
（2）解：x2 + 6x + 8 = 0 ， (x + 2) (x + 4) = 0 ，
x + 2 = 0 或 x + 4 = 0 ， : x1 = -2，x2 = -4 ．
18 ．(1) a = 2
(2) (-2, 0)
【分析】本题考查正比例函数，一次函数与 x 轴的交点问题．
（1）当 y 是 x 的正比例函数时，a - 2 = 0 ，由此可解；
（2）先求出时一次函数解析式，再令y = 0 ，求出对应的 x 的值即可． 【详解】（1）解：:y 是 x 的正比例函数，
: a - 2 = 0 ，
解得：a = 2 ；
（2）解：当 a =10 时，该函数的表达式为y = 4x + 8 ， 令y = 0 ，得 4x + 8 = 0 ，
解得x = -2 ，
:当a =10 时，函数图象与 x 轴的交点坐标为(-2, 0) ．
19 ．(1) 7 ，9 ，7
(2)老李应选择甲公司，理由见解析
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一）
【分析】本题考查了统计表、折线统计图、中位数、众数和方差， 理解并掌握它们的概念和 意义并能结合题意分析问题是解题的关键．
（1）根据中位数与众数、平均数的定义即可求解；
（2）根据方差的意义进行判断即可；
（3）根据题意求解即可（言之有理即可）．
【详解】（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为：5 ，6 ，6 ，7 ，7 ，7 ，8 ，8 ，
9 ，10 ，
一共10 个数据，其中第5 个与第6 个数据分别为7 ，7 ， 所以中位数 ，
甲公司配送速度得分7 出现的次数最多，所以众数b = 7 ；
乙公司服务质量的平均分为
故答案为：7 ，9 ，7 ；
（2）老李应选择甲公司
理由如下：服务质量得分甲和乙的平均数相同，从折线统计图中可以看出，甲的数据波动更
小，数据更稳定，即s < s ．老李应选择甲公司；（答案不唯一）
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
20 ．(1) 5
(2)证明见解析
(3) BC = 4 ，四边形 ABCD 的面积为24
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质， 利用条件求得AO 的长，求得其对角线互 相平分是解题的关键
（1）在 Rt△AOD 中，根据勾股定理，即可求解；
（2）可求得AO = CO = 5 ，结合条件DO = OB ，根据“对角线相互平分的四边形是平行四边 形”可判定四边形ABCD 为平行四边形；
（3）由平行四边形的性质可求得 BC = AD ，利用平行四边形的面积公式可求得答案． 【详解】（1）解：∵ AD = 4 ，OD = 3 ，上ADB = 90° ,
（2）证明：∵ AO = 5 ，AC = 10 ， ∵ OC = AC - AO = 10 - 5 = 5 ，
: AO = OC ，
∵ DO = OB ，
:四边形ABCD 为平行四边形；
（3）解：∵四边形ABCD 为平行四边形， : BC = AD = 4 ，
∵ 上ADB = 90° ,且 BD = DO + OB = 6 ， : S四边形ABCD = AD·BD = 4 × 6 = 24 ．
21 ．(1) y = -10x +1200
(2)该空气净化器的售价是 60 元/台或 80 元/台
(3)该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是 25000 元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用及二次函 数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和方程，利用二次函数的性 质解答．
（1）根据函数图象可设函数解析式为：y = kx + b ，利用待定系数法求出 y 与 x 的函数关系 式；
（2）根据月该商场出售这种空气净化器获得了 24000 元的利润和（1）中的结果，可以列出 相应的方程，从而可以求得该空气净化器的售价；
（3）根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质和 x 的 取值范围，即可求得相应的最大利润．
【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为y = kx + b ， 将(25,950) ，(40,800) 代入可得：
解得
即y 与x 之间的函数关系式为y = -10x +1200 ；
（2）解：由题意可得，
(-10x + 1200) (x - 20) = 24000 ， 解得x1 = 60 ，x2 = 80 ，
答：该空气净化器的售价是 60 元/台或 80 元/台；
（3）解：设所获利润为 w 元， w = (-10x +1200)(x - 20)
= -10(x - 70)2 + 25000 ，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于 300 台， :-10x +1200 ≥ 300 ，
解得x ≤ 90 ．
:当x =70 时，w 有最大值，此时w = 25000 ，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是 25000 元．
22 ．(1)作图见解析，
(2) 50km/h
(3)有碰撞危险，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用．一元二次方程的应用，根据所给表格和函数图象判断出 相应的函数为哪种函数是解决本题的易错点；关键是理解并应用得到的函数解析式．
（1）根据题意描点连线，即可求解；
观察函数和表格中的数据可猜测函数关系式为过原点的抛物线，根据设出抛物线解析式，把 表格中的任意一点代入可得b 的值，即可求得函数表达式；
（2）取 y = 15 ，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的x 的值即可；
（3）取x =80 ，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离y 的值，进而计算出制动非 安全距离与所给的40m 比较即可得到是否有碰撞危险．
【详解】（1）解：描点，连线如图所示：
将(30, 7.8) ，代入 : × 900 + 30b = 7.8 ，
解得
:这个函数的表达式为
整理得：x2 +100x - 7500 = 0 ，
解得：x1 = 50 ，x2 = -150 （不合题意，舍去），
答：制动距离约为 15m 时该款汽车制动时车速约为 50 km / h ；
（3）有碰撞危险，
理由如下：当x = 80 时
又∵反应距离为0.6× 80000 = 40 m ，
3600 3
:制动非安全距离为
:有碰撞危险．
C ¢E ·、 、
23 ．（1）= ，= ，菱形；（2）PC ¢ = PB ，理由见解析；（3） 的值为 或
EF 2 6
【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得上AEF = 上CFE ，再根据折叠的性质结 合等腰三角形的性质可得上AFE = 上CFE ，上AEF = 上AFE ，AE = CF ，AF = CF ，然后根 据菱形的判定即可得；
（2）连接PF ，证出Rt△PC ¢F≌Rt△PBF (HL)，根据全等三角形的性质即可得；
（3）分两种情况：①当点 E 为AD 的三等分点，且AE = 2DE 时，②当点 E 为AD 的三等 分点，且DE = 2AE 时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， : AD ⅡBC ，
: 上AEF = 上CFE ，
由折叠的性质得：AF = CF ，上AFE = 上CFE ， : 上AEF = 上AFE ，
: AF = AE ， : AE = CF ，
:四边形AECF 是平行四边形， 又∵ AF = CF ，
:平行四边形AECF 是菱形．
故答案为：= ，=，菱形；
（2）PC ¢ = PB ，
理由如下：如图 2，连接PF ，
∵ F 为BC 的中点， : BF = CF ，
∵四边形ABCD 是矩形， : 上B = 上C = 90° ,
由折叠的性质得：CF = C ¢F ，上C = 上D¢C ¢F = 90° , : 上PC¢F = 90° , C ¢F = BF ，
在 和Rt△PBF 中 : Rt △PC ¢F≌Rt△PBF (HL)，
: PC ¢ = PB ；
（3）分两种情况：
①如图3，若点 E 为AD 的三等分点，且AE = 2DE ，
∵ AD = 12 ，
: AE = 8 ，DE = 4 ，
∵四边形ABCD 是矩形，
: AB = CD = 6 ，上A = 上B = 上D = 90° , 过点 E 作EM 丄 BC 于 M，
则四边形ABME 为矩形，
: BM = AE = 8 ，EM = AB = 6 ，上EMF = 90° ,
∴ FM = BM - BF = 8 - 2 = 6 ，
在Rt△EMF 中，由勾股定理得 ， 由折叠的性质得：DE = D ¢E = 4 ，C ¢D¢ = CD = 6 ，上D = 上D¢ = 90° ,
在Rt△C ¢D¢E 中，由勾股定理得 ，
②如图 4，若点 E 为AD 的三等分点，且DE = 2AE ，
则DE = 8 ，AE = 4 ，
过点 E 作EN 丄 BC 于 N，
则上ENF = 90° ,
同理可得：FN = 2 ，EN = 6 ，
在Rt△ENF 中 ，
由折叠的性质得：DE = D ¢E = 8 ，C ¢D¢ = CD = 6 ，上D = 上D¢ = 90° ,
在Rt△C ¢D¢E 中，由勾股定理得
综上所述 的值为 或
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等 知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．