2024-2025学年福建省厦门市翔安区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年福建省厦门市翔安区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共33页。试卷主要包含了x≥5等内容，欢迎下载使用。
厦门市翔安区 2024−2025 学年（下）八年级质量检查考试
数学试题
（试卷满分：150 分考试时间：120 分钟）考生注意：
1 ．试卷共 4 页，三大题，25 小题，另有答题卡．
2．解答内容一律写在答题卡上，否则不能得分；作图或辅助线请使用 2B 铅笔．
一、选择题（本大题有 9 题，每题 4 分，共 36 分，每题都有四个选项，其中有 且只有一个选项是正确的）
1 ．下列各式中，是最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．15 名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前 8 名，则 他不仅要知道自己的成绩，还应知道这 15 名学生成绩的( )
A ．平均数 B ．众数 C ．方差 D ．中位数
3 ．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A ．5 ，11 ，12 B ．3 ，4 ，5 C ．4 ，6 ，8 D ．6 ，12 ，13
4 ．下列等式成立的是( )
A ． B ． C ． D ．
5 ．已知四边形ABCD 如图所示，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )
A ．AB∥CD，AD = BC B ．AB = CD，AD = BC
C ．上A = 上B，上C = 上D D ．AB = AD，CB = CD
6 ．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品 进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐， 那么应推荐的作品是( )
A ． 甲 B ． 乙 C ．丙 D ．丁
7 ．如果把 - 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么分式的值( )
A ．不变 B ．扩大 5 倍 C ．缩小 5 倍 D ．扩大 4 倍
8 ．如图，菱形的边长为 2 ，上ABC = 45° ,则点 A 的坐标为( )
A ．(2, 2) B ．( , 2) C ．(2, ) D ．( )
9 ．如图，正方形ABCD 的边长为 8 ，M 在DC 上，且DM = 2 ，N 是AC 上的一动 点，则DN + MN 的最小值是( )
A ．8 B ．9 C ．10 D ．12
二、填空题（本大题有 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）
10 ．若式子、在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
11 ．某组数据的方差计算公式为
则这组数据的平均数 是 ，样本容量为 ．
12 ．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y = 2x -1 与直线
y = kx + b (k ≠ 0) 相交于点P (2, 3) ．根据图象可知，关于x 的不等式2x -1 > kx + b 的解
实用性
90
90
95
85
集是 ．
13 ．在平行四边形ABCD 中，若再增加一个条件 ，使平行四边形 ABCD 能成为矩 形（填写一个你认为正确的即可）．
14．初夏时节，正是枇杷成熟的时候，枇杷园给每位入园采摘枇杷的顾客配一个 篮子，每位顾客采摘枇杷需付总金额y( 元) 与采摘枇杷质量x (kg ) 的关系如表：
请根据上表中的数据写出需付总金额y( 元) 与采摘枇杷质量x (kg ) 之间的关系 式： ．
15．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形 围成的.若AC = 6 ，BC = 5 ，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长 一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
16 ．已知在平面直角坐标系中，点A (2，0)，P 是函数y = x (x > 0) 图像上一点，
PQ 丄 AP 交y 轴于点Q ．设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，若OP < 10 ， 则b 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分）
采摘枇杷质量x (kg )
1
2
3
4
5
…
需付总金额y( 元)
18
33
48
63
78
…
17 ．计算
18 ．先化简，再求值 其中 ．
19．为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论 述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心 得．现测得AB = 6 ，BC = 8 ，CD = 24 ，AD = 26 ，上ABC = 90° . 试求阴影部分的面 积．
20 ．已知一次函数y = kx + 2 的图像经过点(-1, 0) ．
(1)求该一次函数的解析式并在平面直角坐标系中，画出该一次函数图像；
(2)若点P (3，t ) 与点Q(m，n) 都在该函数图像上，且t < n ，求m 的取值范围．
21 ．已知：如图，在矩形ABCD 中，AB = 5，AD = ，AE 丄 BD ，垂足是E ，点 F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF、BF ．
(1)求AE 和BE 的长；
(2)若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点 B 沿BD 方向所经过的线段长度）当点F 分别平移到线段AB、AD 上时，求出相应的m 的 值．
22．某公司有甲、乙两个销售部门负责不同地区的销售业务， 公司为了调动各部 门销售员的积极性，将根据销售情况对销售员进行奖励．公司对甲、乙两个销售 部门各 20 名销售员当月的销售额进行统计，甲部门的销售员的销售情况如图， 乙部门的销售员的销售额的分析结果如表．
(1)求甲部门销售员当月销售额的众数和平均数；
(2)公司决定奖励在各销售部门中销售额排名比较靠前的销售员．小明、小红分 别是甲、乙两个部门的销售员，他们这个月的销售额都是 18 万元，你认为小明 和小红谁更有机会获得奖励？并说明理由．
23 ．如图，已知矩形ABCD，AB < AD，7BAD 的平分线交BC 的延长线于点 E．
(1)尺规作图：过点 B 作AE 的垂线交AE 于点 G（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）所作的图形中，连接BF ，若BF 平分7GBE ，求证：AE = 2AD ．
24 ．随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用 6000 元购进了若干台A 型打印机，用 10000 元购进了相同数量的 B 型打印机．已知 B 型打印机比 A 型 打印机的单价贵 200 元．
(1)B 型打印机的单价是多少元？
(2)为了促销，批发商针对 B 型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超 过 20 台，则每台 B 型打印机享九折优惠；若一次性购买超过 20 台，则前 20 台 享九折优惠，超过的部分享八折优惠．设购买 B 型打印机 x 台，所需费用为y 元， 请写出y 关于 x 的函数关系式．
平均数
中位 数
众数
18.15 万 元
17 万 元
17 万 元
(3)在（2）的优惠方案下，若购买 A 型、B 型打印机共 35 台，且购买 A 型打印 机的数量不超过 B 型打印机数量的 ，如何购买才能使花费最少？最少花费为多 少元？
25 ．四边形ABCD 和AEFG 都是正方形，直线BE ，DG 交于点P ． 【问题解决】
（1）如图 1，点 G 在边AB 上，判断线段BE 和DG 的关系说明理由； 【类比探究】
（2）如图 2，将正方形 AEFG 绕点A 逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段BE 和DG 的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形ABCD 的边长为6cm ，对角线AC 与BD 的交点为O ，在正方形AEFG 的 旋转过程中，请探究出点P 与点O 的距离．
1 ．B
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念：（1）被 开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A 、 = 2 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B 、 ，是最简二次根式，符合题意；
C 、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D 、 不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B．
2 ．D
【分析】15 人成绩的中位数是第 8 名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前 8 名， 只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有 15 个人，且他们的分数互不相同，第 8 名的成绩是中位数，要判 断是否进入前 8 名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
3 ．B
【分析】利用勾股定理的逆定理： 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个 三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】解：A 、∵ 52 +112 ≠ 122 ，
:三条线段不能组成直角三角形，故 A 选项不合题意；
B 、∵ 32 + 42 = 52 ，
:三条线段能组成直角三角形，故 B 选项符合题意； C 、∵ 42 + 62 ≠ 82 ，
:三条线段不能组成直角三角形，故 C 选项不合题意； D 、∵ 62 +122 ≠ 132 ，
:三条线段不能组成直角三角形，故 D 选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第
三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
4 ．D
【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
【详解】解：A 、3 和4 不能合并，故 A 错误；
B 、 故 B 错误；
C 、 故 C 错误；
D 、 正确； 故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
5 ．B
【分析】本题考查平行四边形的判定，熟记基本的判定方法是解题关键． 根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，则 B 选项正确， 故选：B．
6 ．B
【分析】利用加权平均数计算总成绩, 比较判断即可 【详解】根据题意,得:
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93； 丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88； 故选 B
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
7 ．A
【详解】试题解析 分式的值不变.
故选 A.
8 ．D
【分析】根据坐标意义，点 A 坐标与垂线段有关，过点 A 向 x 轴垂线段 AE，求得 OE、AE 的长即可知点 A 坐标．
【详解】过点 A 作 AE丄x 轴，垂足为 E，则∠AEO=90° ,
∵ 上ABC = 45° , ∠AEO=90°
: 上AOE = 上OAE = 45° , OE2 + AE2 = AO2
: OE = AE
∵菱形的边长为 2 即 AO=2 ，∠AEO=90° , : OE2 + AE2 = 2AE2 = AO2 ，即 2AE2 = 22
解得：
:点 A 坐标为 故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质， 等角对等边，勾股定理等，正确添加辅 助线是解题的关键．
9 ．C
【分析】本题考查了轴对称的应用， 正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据正方 形轴对称的性质作出图形，得到DN + MN 的最小值即为线段BM 的长．连接BM 交AC 于 N1 ，连接BN ，根据轴对称的性质得到 BN = DN ，可得DN+ MN = BN + MN ≥ BM ，
DN + MN 的最小值即为线段BM 的长，根据勾股定理，可求得BM 的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接 BM 交AC 于N1 ，连接BN ，
∵四边形ABCD 是正方形，
:点D 与点B 关于对角线AC 对称，
: BN = DN ，
: DN + MN = BN + MN ≥ BM ，
:当点N 与N1 重合时，DN + MN 有最小值BM ， ∵ BC = CD = 8 ，DM = 2 ，
: CM = 6 ，
即可DN + MN 的最小值是10 ．
故选：C．
10．x≥5
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可． 在实数范围内有意义，
:x-5≥0，解得 x≥5． 故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式、a 有意义的条件是被开方数 a≥0， 同时也考查了解一元一次不等式．
11 ． 2 5
【分析】本题主要考查了方差公式的认识，熟练掌握方差公式中各参数（平均数、样本容 量 ）的含义是解题的关键．根据方差公式的结构，对比方差公式中平均数和样本容量的表 示形式，直接确定这组数据的平均数和样本容量．
解 Q 与方差公式对比，x = 2 ，n = 5
: 这组数据的平均数是2 ，样本容量为5 故答案为：2 ；5 ．
12 ．x > 2 ## 2 < x
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键．当函数y = 2x -1 的图象 位于函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象上方时，满足2x -1 > kx + b ，再结合图象可得答案．
【详解】解： 由图象知，当x > 2 时，函数y = 2x -1 的图象位于函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象 上方，
所以关于x 的不等式2x -1 > kx + b 的解集是x > 2 ．
故答案为：x > 2 ．
13 ．上ABC = 90° （答案不唯一）
【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】∵有一个角为90° 的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形为矩形 :可增加一个条件是：上ABC = 90° 或AC = BD ，
故答案为：上ABC = 90° （答案不唯一）.
14 ．y = 15x + 3
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是根据图表信息，设函数解析式为：
y = kx + b (k ≠ 0)，然后把表的值数值代入，解出 k ，b ，即可．
【详解】设总金额y （元）与采摘琵琶质量x (kg ) 的关系式为：y = kx + b (k ≠ 0)，
解得：
:关系式为：y = 15x + 3．
故答案为：y = 15x + 3．
15 ．76
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知Ð ACB 为直角，利用勾股定理求得外 围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围 周长．
【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，
:“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：
:这个风车的外围周长是(13 + 6)×4 = 76 ， 故答案为：76．
16 ．-2 < b < 18
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用， 先过 P 作x 轴、y 轴的垂线，构造正方形以及全等三角形，分0 < OP ≤ 2 和2 2 < OP < 10
两种情况得出关系式 ，再根据 a 的取值范围，求得 b 的取值范围．
【详解】解：当 0 < OP ≤ 2 时，如图，过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 H、T，
:点 P 在函数y = x (x > 0) 的图象上， : PH = PT ，且 PH 丄 PT ，
: AP 丄 PQ ，
:上APH = 上QPT ，
又:上PHA = 上PTQ ，
: △PHA≌△PTQ (ASA ) ， : AH = TQ ，
: A (2, 0) ，点 P 的横坐标为 a， : AH = 2 - a = TQ ，
: OQ + TQ = OT = OH ，点 Q 的纵坐标为 b， :b + (2 - a ) = a ，
又: 0 < OP ≤ 2 ，且 Rt△OHP 中，OP = a ，
: 0 < a ≤ 2 ， 解得，0 < a ≤ 2 ，
解得-2 < b ≤ 2 ；
当2 < OP < 10 时，如图，过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 H、T，
同理可得2 < b < 18 ，
综上，b 的取值范围是-2 < b < 18 ．
故答案为：-2 < b < 18 ．
17 ．3
【分析】根据二次根式的运算法则，分别对除法、乘法运算进行化简，然后再进行加减计 算．先将二次根式的除法转化为被开方数相除的形式，二次根式的乘法转化为被开方数相乘 的形式，再化简计算．本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，熟练掌握
和 这些二次根式的运算法则是解 题的关键．
解
= 3
18 ．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原
式 再把a = 3 -1代入化简后的分式中计算即可．
解
当a = -1时， 原式
19 ．96
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理， 三角形的面积等知识．先根据勾股定 理求出AC 的长，再由勾股定理的逆定理判断出 △ACD 是直角三角形，进而可得出结论．
【详解】解：如图，连接 AC ．
在 △ABC 中，ÐB = 90° , AB = 6 ，BC = 8 ，
QCD = 24 ，AD = 26 ，AC = 10 ， : AC2 + CD2 = AD2 ，
:△ACD 是直角三角形，且上ACD=90° ,
: 阴影部分的面积= S△ACD - S△
20 ．(1) y = 2x + 2 ，图见解析
(2) m > 3
【分析】（1）已知一次函数y = kx + 2 过点(-1, 0) ，将点坐标代入函数式，通过解方程求出k 的值，进而确定解析式；再通过取特殊点（如x =0 和x = -1 ），列表、描点、连线画出函 数图象．
（2）先根据一次函数解析式判断其增减性（由k 的符号确定 ），再结合点 P 、Q 在函数图 象上及t < n 的条件，利用增减性列出不等式求解m 的范围．
本题主要考查了一次函数解析式的确定、函数图象的绘制以及一次函数的增减性应用，熟练
掌握待定系数法求解析式和一次函数增减性与k 的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：将(-1, 0) 代入y = kx + 2 ，
得0 = -k + 2 ， 解得k = 2 ，
:y = 2x + 2 ．
列表：
如图：
（2）解：由（1）得，y = 2x + 2，k = 2 > 0，
:y 随 x 的增大而增大，将(m, n)代入y = 2x + 2 中， 得：n = 2m + 2 ，
由 t < n 得：
2 × 3 + 2 < 2m + 2 ， 解得：m > 3
21 ．(1) AE = 4 ，BE = 3
(2)当点F 落在AB 上时，m = 3 ；当点 F 落在AD 上时，
【分析】本题考查了轴对称与平移变换、矩形、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识 别平移过程中的不变量．
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出 m 的值； 【详解】（1）解：在 Rt△ABD 中，AB = 5，AD = ，
x
0
-1
y
2
0
由勾股定理得
在Rt△ABE 中，AB = 5，AE = 4 ， 由勾股定理得：BE = 3
（2）解：设平移中的三角形为 △A¢B ¢F ¢ ,如图：
由对称点性质可知，上1= 上2 ．
由平移性质可知，AB∥A¢B ¢, Ð 4 = Ð 1，BF = B ¢F ¢ = 3 ．
①当点F ¢ 落在AB 上时， Q AB Ⅱ A¢B ¢ ,
:上3= 上4 ，
:上3 = 上2 ，
:BB¢ = B ¢F ¢ = 3 ，即 m = 3 ； @当点F ¢ 落在AD 上时，
Q AB Ⅱ A¢B ¢ ,
:上6 = 上2 ，
Q 上1 = 上2，上5 = 上1，
:上5 = 上6 ，
又易知A¢B ¢ 丄 AD ，
:△B ¢F ¢D 为等腰三角形， :B¢D = B ¢F ¢ = 3，
即 ．
22 ．(1)众数为 19 万元，平均数为 18 万元
(2)小红，理由见解析
【分析】本题考查了求众数、平均数、利用中位数决策，解题的关键是求出相应的数据，
（1）直接利用众数、平均数的概念，结合条形图进行求解即可；
（2）利用中位数进行决策即可．
【详解】（1）解：根据图 6 中数据，甲部门销售员当月销售额的众数为 19 万元；
甲部门销售员当月销售额的平均数为：
所以甲部门销售员当月销售额的众数为 19 万元，平均数为 18 万元．
（2）解：认为小红更有机会获得奖励，理由如下：
根据图 6 中数据可知，甲部门销售员当月销售额的中位数为 19 万元，小明的销售额是 18 万 元，按销售额排名在 12 位，
根据表二数据可知，乙部门销售员当月销售额的中位数为 17 万元，小红的销售额也是 18 万 元，按销售额排名在第 10 位之前，
相较之下小红在自己部门的排名更靠前，所以小红更有机会获得奖励．
23 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点 B 为圆心，画弧交AE 于两点，再以这两个交点为圆心画弧交于一点，连 接 B 与这点，并延长交于AE 于一点，即为 G；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出 GF = CF ，再证明
Rt △GBF≌Rt△CBF (HL)，因为四边形ABCD 是矩形，所以 上ABF = 上BFC，用等角对等边， 得AB = AF ，结合上DAF = 上BAF = 45° , 则结合勾股定理，得 因
为AF = AB ，所以 即可作答．
本题考查了尺规作图——作垂线，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，正确掌握相关 性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：如图（1）所示，BG 即为所求．
（2）证明：如图（2），
∵ BF 平分上GBE ，上BGF = 上BCF = 90°, : GF = CF
又∵BF = BF ，
: Rt △GBF≌Rt△CBF (HL)， : 上BFG = 上BFC ．
∵四边形ABCD 是矩形， : AB∥CD ，
: 上ABF = 上BFC， : 上BFG = 上ABF ， : AB = AF ．
∵ AE 平分 ÐDAB ，上DAB = 90°, : 上DAF = 上BAF = 45° .
又∵ 上D = 上ABE = 90° ,
: AE = = = AB ， AF = = = AD ， ∵ AF = AB ，
: AE = AF = 2AD
24 ．(1)500
(3)购买 A 型打印机 14 台，B 型打印机 21 台．最少花费 13600 元．
【分析】（1）根据两种打印机购买的数量相同建立分式方程即可求解．
（2）分购买 B 型打印机 20 台以下与超过 20 台两种情况予以讨论．
（3）根据题意先确定购买 B 型打印机的台数的范围，然后列出购买两种打印机所需的总费 用的函数解析式，利用函数的增减性与自变量的范围进行最小值的讨论．
【详解】（1）设 B 型打印机的单价为 x 元，则 A 型打印机的单价为(x - 200) 元，根据题意 可列方程
解得：x = 500
答：B 型打印机的单价为500 元．
（2）根据题意，当一次性购买 B 型打印机不超过 20 台时，即x ≤ 20 时， y = 500x ×0.9 = 450x ；
当一次性购买 B 型打印机超过 20 台时，即x > 20 时， y = 500 × 20 × 0.9 + 500 (x - 20)×0.8 = 400x +1000 ；
:y 关于 x 的函数关系式是
（3）设购买 B 型打印机 x 台时，才能使花费最少，则购买 A 型打印机为(35 - x)台，依据 题意得 ，
解得：21 ≤ x ≤ 35
设购买两种型号的打印机，总花费为y 元，因 21 ≤ x ≤ 35 ，所以B 型打印机花费(400x +1000)
元，A 型打印机花费(500 - 200)(35 - x)元， : y = (500 - 200)(35 - x) + (400x +1000)
即y = 100x +11500 (21 ≤ x ≤ 35)
因为一次函数y = 100x +11500 ，y 随 x 的增大而增大， 故当 x=21 时，y 值最小．此时35 - x = 14
最小值为y = 100x +11500 = 100 × 21+11500 = 13600
即购买 A 型打印机 14 台，B 型打印机 21 台时，花费最少，最少花费 13600 元．
【点睛】本题考查了分式方程与一次函数的应用，解题的关键是正确列出分式方程与函数解 析式．
25 ．（1）BE = DG，BE 丄 DG ，理由见解析（2）①成立，理由见解析 ②3 cm
【分析】此题考查正方形的性质， 旋转的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）证明 △ABE 和 △ADG 全等，可得BE = DG, 上ABE = 上ADG ，即可求解；
（2）①证明设PD 交AB 于点 I，则 上PIB = 上AID ， △ABE 和 △ADG 全等，可得 BE = DG, 上ABE = 上ADG ，即可求解；
②连接OP ．根据勾股定理求出BD = 6 cm ，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半即可求解．
【详解】解：（1）BE = DG, BE 丄 DG ，理由如下：
:四边形ABCD 和AEFG 是正方形，
: AB = AD, AE = AG ，上BAD = 上EAG = 90° , : 7BAD + 7EAG = 180° ,
:点 G 在边 AB 上，
:点 E，A ，D 三点在同一条直线上， 在 △ABE 和 △ADG 中，
: △ABE≌△ADG (SAS)，
: BE = DG, 上ABE = 上ADG ，
: 上DEP + 上ADG = 上DEP + 上ABE = 90° ,
: 上DPE = 90° , : BE TDG ；
（2）①成立，理由如下：
如图，设PD 交AB 于点 I，则 上PIB = 上AID ，
∵四边形ABCD 和AEFG 是正方形，
: AB = AD, AE = AG ，上BAD = 上EAG = 90° , : 上EAB + 上GAD = 90° - 上BAG ，
在 △ABE 和 △ADG 中，
: △ABE≌△ADG (SAS)，
: BE = DG, 上ABE = 上ADG ，
: 上BIP + 上ABE = 上AID + 上ADG = 90° ,
: 上BPI = 90° , : BE 丄DG ；
②如图，连接OP ．
∵ AB = AD = 6cm ，
∵ BE 丄DG ，
: 上BPD = 90° ,
∵四边形ABCD 是正方形，
: OB = OD
故答案为