2024-2025学年福建省厦门第一中学下学期八年级期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年福建省厦门第一中学下学期八年级期末数学检测试卷，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024-2025 学年福建省厦门一中八年级（下）期末
数学试卷
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将 答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3 ．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．要使二次根式 ·、有意义，x 的值可以是( )
A ． -1 B ．0 C ．2 D ．4
2 ．依据图中所标数据，下列图形一定为平行四边形的是( )
A ． B．
C ． D．
3 ．某函数图象刚经过（1 ，1），该函数的解析式可以是( )
A ．y = x2 B ． C ．y = 2x - 2 D ．y = x + 1
4 ．下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是( )
A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰三角形
5．适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是 60 次/分～80 次/ 分．某校篮球队 15 名学生的心率测量数据如下表：
则这 15 名学生心率的中位数是( )
A ．65 次/分 B ．67.5 次/分 C ．70 次/分 D ．72.5 次/分
6 ．下列命题都是真命题，其中逆命题也正确的是( )
A ．若a = b ，则 a2 = b2 B ．若a > b ，则 a2 > b2
C ．若a < b ，则 a2 < b2 D ．若a = ±b ，则 a2 = b2
7 ．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一 丈。倚木于垣， 上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？ ”其内容可以表述为：“有 一面墙，高 1 丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面
上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动 1 尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地 面上．问木杆长多少尺？”（说明 1 丈= 10 尺）设木杆长 x 尺，依题意，下列方程正确的是 ( )
A ．x2 = (x -1)2 + 12 B ．(x + 1)2 = x2 + 102
C ．x2 = (x -1)2 + 102 D ．(x + 1)2 = x2 + 12
8 ．已知一组数据 1 ，2 ，3 ，4 ，5 的平均数是x1 ，方差是s ，另一组数据 2 ，3 ，4 ，5 ，6 的
平均数是x2 ，方差是 s ，则下列说法正确的是( )
A ．x1 = x2 ，s = s B ．x1 ≠ x2 ，s = s
2 2 2 2
C ．x1 = x2 ，s1 ≠ s2 D ．x1 ≠ x2 ，s1 ≠ s2
9 ．若一个函数的自变量x 每变化一个单位，函数值y 随之变化两个单位，其解析式可以是 ( )
A ．y = x + 2 B ．y = 2x C ． D ．y = 2x2
10 ．一次函数y1 = ax + b 与y2 = cx + d 的图象如图所示，下列说法：① ab < 0 ；② M (x1, y1 )， N (x2, y2 ) 是直线y1 = ax + b 上不重合的两点，则(x1 - x2 )(y1 - y2 ) > 0 ；③ a + b > c + d ；④ 3a + b = 3c + d ，其中正确的有( )
心率/（次/分）
60
68
70
73
80
人数/名
2
5
5
1
2
A ．①② B ．①③④ C ．①④ D ．③④
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11 ．（1）( )2 = ；（2） ÷ = ．
12．将直线y = 2x -1 向 （填“上”或“下”）平移 个单位所得直线的解析式为y = 2x - 7 ．
13 ．如果正比例函数y = kx 的图象经过第一、三象限， 则实数k 的值可以是 ．（只需写 出一个符合条件的实数即可）
14．小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：把如图 1 中的菱形 沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图 2 所示的面积为 7 的 正方形ABCD ，和如图 3 所示的边长为 1 的正方形EFGH ，则图 1 中菱形的边长为 ．
15．如图，在菱形ABCD 中，AB = 4 ，上A = 120° , 点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 ．
16 ．关于函数y = x -1 +1，有下列结论：①函数过定点(1,1) ；②函数的对称轴在y 轴左侧； ③若-2 < x < 2 ，则1 < y < 4 ；④若0 < x1 < x2 < 2 ，则1 < y1 < y2 < 2 ，其中正确结论的序号 为 ．
三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17 ．计算：
(2) ( - )( + )- ( +1)2 ．
18 ．先化简，再求值 其中 ．
19 ．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，求证：DE = CE ．
20 ．已知一次函数y = kx - 4 的图象过点(1, -2)．
(1)求一次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象；
(2)若点A(2, a )和B( , b) 在该一次函数图象上，试比较a 与b 的大小，并说明理由．
21 ．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km ，陈列馆离学校 20km ，
李华从学校出发，匀速骑行0.6h 到达书店；在书店停留0.4h 后，匀速骑行0.5h 到达陈列馆； 在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h 后减速，继续匀速 骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y /km 与离开学校的时间 x/h 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)①填表：
②填空：李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______ km / h ；
③当4.5 ≤ x ≤ 5 时，请直接写出y 关于x 的函数解析式；
(2)同宿舍的张强和李华一起从陈列馆出发匀速骑行直接回学校，如果张强的速度为24km / h ， 那么他在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是多少？（直接写出结果即可）．
22．为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评 活动，内容包括知识测试和实践创新两部分，所有参赛学生的总成绩均不低于70 分；总成 绩x （单位：分）分为三个等级：优秀(90 ≤ x < 100) ，良好(80 ≤ x < 90) ，一般
(70 ≤ x < 80) ；总成绩80 分及以上人数占总人数的百分比是优良率，阳光中学为了解本校参 赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据， 部分信息如下：测评总成绩统计表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
2
____
12
平均 数
中位 数
优秀 率
优良 率
阳光中 学
84.6
88
30%
a
区市
85.3
87
35%
75%
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求阳光中学参赛人数及a 的值，并补全统计图；
(2)阳光中学后续要继续提升本校学生的科技素养，请你对比区市测评总成绩，从平均数和 中位数角度分析并提出合理建议；
(3)每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成，小红同 学知识测试成绩为80 分，实践创新成绩为90 分，她的总成绩为87 分，求知识测试成绩和实 践创新成绩各占的百分比．
23 ．（1）如图①,将平行四边形纸片 ABCD 的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无 重叠的四边形EFGH ．判断四边形EFGH 的形状，并说明理由；
（2）如图@，已知。ABCD 能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形
MNPQ ，其中，点 M 在AD 上，点 N 在AB 上，点 P 在BC 上，点 Q 在CD 上．请用直尺和 圆规确定点 M 的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 交 x 轴于点 A，交y 轴于点 B ．以 AB 为边作。ABCD ，点 D 在 x 轴正半轴，且OD = 3OB ．
(1)求点 C，D 的坐标；
(2)点 P 是 x 轴上一点，点 Q 是直线 CD 上一点，连接 BP ，BQ ，PQ，若△BPQ 是以 BQ 为 斜边的等腰直角三角形，求点 P 的坐标；
(3)已知直线y2 = ax ，当 x ≤ 2 时，对 x 的每一个值都有y2 < y1 ，请直接写出 a 的取值范围．
25 ．如图，在 △ABC 下方的直线MN ⅡAB ．
(1)P 为直线MN 上一动点，连接PA ，PB ．若上ABC = 上APM ，上CAB = 上BPN ．
①如图 1，求证：四边形 APBC 是平行四边形；
@如图 2 ，上ACB = 90° , AC = 2BC ，作BD 丄 MN 于点D ，连接CD ，若 的长；
(2)如图 3 ，上ACB = 90° , BC = 1，作 BD 丄 MN 于点D ，连接 AD ，CD ，若△ABD 的面积 始终为3 ，求CD 长的最大值．
1 ．D
【分析】二次根式的被开方数大于等于零，由此计算解答． 【详解】解：∵ x - 3 ≥ 0 ，
: x ≥ 3，
观察只有 D 选项符合， 故选：D．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．
2 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判 定即可．
由平行四边形的判定可得出结论．
【详解】解：A、根据题意，得上A + 上B = 180° , 上C = 110° ,
故AD Ⅱ BC ，AB ，CD 不平行，不是平行四边形，不符合题意；
B、根据题意，得上A + 上B = 180° , AD = BC ，
故AD Ⅱ BC ，AD = BC ，是平行四边形，符合题意；
C、根据题意，得 AB = BC = CD ，
故无法判定是平行四边形，不符合题意；
D、根据题意，得 上C + 上B = 180° , AD = 3 ，
故ABⅡCD ，无法判定是平行四边形，不符合题意；
故选：B．
3 ．A
【分析】把(1,1) 分别代入四个选项中的解析式，即可判断．
【详解】解：A ．把x =1 代入y = x2 得y = 1，故函数 y = x2 经过点(1,1) ；
B ．把x = 1 代入 得y = 2 ，故函数 不经过点(1,1) ；
C ．把x =1 代入y = 2x - 2 得y = 0 ，故函数 y = 2x - 2 不经过点(1,1) ；
D ．把x = 1 代入y = x + 1得y = 2 ，故函数 y = x + 1不经过点(1,1) ； 故选：A ．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点 的坐标适合解析式．
4 ．C
【分析】该题考查了矩形、菱形、正方形、等腰三角形的性质， 根据四个图形的特征即可解 答．
【详解】解：∵正方形的四个角都是直角，四个边相等， 故知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是正方形， 故选：C．
5 ．C
【分析】本题考查了确定一组数据的中位数，找中位数的时候一定要先将数据排好顺序，如 果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果数据有偶数个，则找中间两位数的平均数．
【详解】解：∵共有 15 名学生，中位数是第 8 个数， :这 15 名学生心率的中位数是 70 次/分；
故选：C．
6 ．D
【分析】先写出个命题的逆命题， 再根据等式和不等式的性质，对各选项分析判断后利用排 除法求解．
【详解】解： A、若a =b ，则a2 = b2 的逆命题是若a2 = b2 ，则a =b ，逆命题不正确，不符 合题意；
B、若a > b，则 a2 > b2 的逆命题是若a2 > b2 ，则 a > b ，逆命题不正确，不符合题意；
C、若 a < b ，则 a2 < b2 的逆命题是若a2 < b2 ，则 a < b ，逆命题不正确，不符合题意；
D、若 a = ±b ，则 a2 = b2 的逆命题是若a2 = b2 ，则 a = ±b ，逆命题正确，符合题意； 故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理，根据等式和不等式的性质求解是解答此题的关键．
7 ．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用， 解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运 用勾股定理解题．
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形， 设木杆长为x 尺，则木杆底 端离墙有(x -1) 尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：如图，木杆 AB 长为x 尺，则木杆底端 B 离墙的距离即BC 的长有(x -1) 尺， 在Rt△ABC 中，
: AC2 + BC2 = AB2 ， : 102 + (x -1)2 = x2 ，
故选：C．
8 ．B
【分析】本题考查了方差和算术平均数，熟练掌握方差和算术平均数计算公式是解题关 键．分别计算出平均数和方差即可得出答案．
解
: x1 ≠ x2 ，s = s ． 故选：B．
9 ．B
【分析】本题考查求函数值 ．（1） 当已知函数解析式时， 求函数值就是求代数式的值；
（2） 函数值是唯一的， 而对应的自变量可以是多个 ．自变量x 每变化一个单位， 将x ±1 代入函数，即可求得y 变化了多少．
【详解】解：自变量x 每变化一个单位，即将x ±1代入函数y = 2x 得：y = 2(x ±1) = 2x ± 2 ；
所以，函数值y 随之变化两个单位， 故选：B．
10 ．B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图 象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也 考查了一次函数图象．根据一次函数的性质得到a < 0 ，b > 0 ，从而可对①进行判断；根据
一次函数的性质，y1 随x 增大而减小，所以当x1 > x2 时，y1 < y2 ，当x1 < x2 时，y1 > y2 ，从 而可对 ② 进行判断；利用当x =1 时，y1 > y2 可对 ③ 进行判断；利用x =3 时，y1 = y2 可对 ④ 进行判断．
【详解】解：Q 一次函数y1 = ax + b 得图象经过第二、四象限， : a < 0 ，
Q 一次函数y1 = ax + b 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴， : a < 0 ，b > 0 ，
:ab < 0 ，所以 ① 正确； Q y1 随x 增大而减小，
: 当x1 > x2 时，y1 < y2 ，
当x1 < x2 时，y1 > y2 ，
:(x1 - x2 )(y1 - y2 ) < 0 ，所以 ② 错误；
Q 当x = 1 时，y1 > y2 ，
: a + b > c + d ，所以 ③ 正确； Qx = 3 时，y1 = y2 ，
: 3a + b = 3c + d ，所以 ④ 正确． 故选：B．
11 ． 5 /2
【分析】（1）根据二次根式的性质计算即可；
（2）根据二次根式除法运算法则计算即可． 【详解】解：（1）( )2 = 5 ；
（2）
故答案为：5 ； /2
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12 ． 下 6
【分析】本题考查了一次函数图象的平移．
设将直线y = 2x -1 向上平移m 个单位所得直线的解析式为y = 2x -1 + m ，再根据题意得到 m -1 = -7 ，据此计算即可求解．
【详解】解：设将直线 y = 2x -1 向上平移m 个单位所得直线的解析式为y = 2x -1 + m Q平移后的解析式为y = 2x - 7 ，
:m -1= -7 ， 解得m = -6 ，
:将直线y = 2x -1 向下平移6 个单位所得直线的解析式为y = 2x - 7 ， 故答案为：下；6 ．
13 ．1（答案不唯一）
【分析】本题考查了正比例函数的性质， 熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据题 意，可得k > 0 ，即可求解．
【详解】解：Q 正比例函数y = kx 的图象经过第一、三象限， :k > 0 ，则实数 k 的值可以是1( 答案不唯一) ．
故答案为：1( 答案不唯一) ．
14 ．2
【分析】本题考查完全平方公式应用， 二次根式求值，菱形和正方形性质等．根据题意设菱 形中的直角三角形较长的直角边为 a，较短的直角边为 b，列出关于 a 和 b 的式子解出即可． 【详解】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为 a，较短的直角边为 b，
则： ， 化简得： ，
∴ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 7 - 3 = 4 ，
∴菱形的边长 故答案为：2．
15 ．
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P 关于BD 的对称点P¢ ,连接P¢Q 与BD 的交 点即为所求的点K ，交CD 于Q，过点 A 作AH丄 CD 于H ，然后根据直线外一点到直线的 所有连线中垂直线段最短的性质可知P¢Q 丄 CD 时，PK +QK 的最小值，然后求解即可．
【详解】解：作点P 关于BD 的对称点P¢ , 作P¢Q 丄 CD 交BD 于K ，交CD 于Q ，过点A 作 AH 丄 CD 于H ，
Q AB = 4 ，上A = 120° , AB / /CD ，
:上ADH = 180° -120° = 60° ,
: 点P¢ 到CD 的距离 ， :PK + QK 的最小值为 ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴 对称确定最短路线的方法是解题的关键．
16 ．①
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
画出函数y = x -1 +1大致图象，根据图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：画出函数 y = x -1 +1大致图象：
由图象可得函数过定点(1,1) ，故①正确，符合题意
由图象可得函数的对称轴在y 轴右侧，故②错误，不符合题意；
当x = -2, y =
-2 -1 +1 = 4 ，x = 2, y =
2 -1 +1 = 2 ，如图：
:由图象可得-2 < x < 2 ，则1 ≤ y < 4 ，故③错误，不符合题意；
当0 < x1 < x2 < 2 ，y1 与y2 大小无法比较，故④错误，不符合题意；
正确的说法是 ① .
故答案为：①.
17 ．(1) 6
(2) -2
【分析】（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式求解即可得到答案；
（2）先由平方差公式、完全平方和公式化简，再由二次根式性质运算，最后由二次根式加 减运算求解即可得到答案．
【详解】（1）解： - 2 +
= 5 - 2 + 3
= 6 ；
（2）解：( - )( + )- ( +1)2
= ( )2 - ( )2 - éêL( )2 + 2 +1
= 7 - 3 - (3 + 2 +1)
= 4 - 4 - 2
= -2 ．
【点睛】本题考查二次根式混合运算， 涉及二次根式性质化简、二次根式加减运算、平方差 公式、完全平方和公式等知识，熟记二次根式运算法则是解决问题的关键．
18 ． +1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 分母有理化；运用相关公式、法则正确进行分式 的化简是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
a - 2 a2 - 2a
【详解】解：原式 = ÷ ,
a + 2 a2 + 4a + 4

当 a = 、/2 时， 上式
= +1．
19 ．详见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质；由矩形的性质得
上A = 上B = 90° , AD = BC ，再由SAS 可判定△ADE≌△BCE ，由全等三角形的性质即可求 证；掌握性质及判定方法是解题的关键．
【详解】证明：Q 四边形ABCD 为矩形，
:上A = 上B = 90° , AD = BC ，
QE 是AB 的中点， : AE = BE ，
在 △ADE 和 △BCE 中
:△ADE≌△BCE (SAS) ，
:DE = CE ．
20 ．(1)一次函数的解析式为y = 2x - 4 ，图象见解析；
(2) a < b ，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式，然后根据两点确定一条直线，画出函数图象；
（2）根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点(1, -2)代入y = kx - 4 得， -2 = k - 4
解得：k = 2
:一次函数的解析式为y = 2x - 4 ， 当x = 0 时，y = -4 ，
过点(0, -4) ，(1, -2)，画出函数图象，如图所示，
（2）a < b ，理由如下，
∵点A(2, a )和B( , b) 在y = 2x - 4 图象上，
又∵ 2 > 0 ，2 < ，
: y 随x 的增大而增大， : a < b ．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，比较函数值的大小，熟练掌握利用待定系数法求 解函数解析式是解题的关键．
21 ．(1)①见解析②28③ y = -28x +146(4.5 ≤ x ≤ 5)
(2)张强在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是4km
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键：
（1）①根据图象及速度= 路程 ÷ 时间、路程= 速度× 时间计算即可；
②根据速度= 路程 ÷ 时间计算即可；
③根据路程= 速度× 时间计算即可；
（2）分别写出李华从陈列馆回学校途中减速后y 与x 的函数关系式、张强y 与x 的函数关系 式，二者联立关于x 和y 的二元一次方程组并求解即可．
【详解】（1）解： ① 李华在最初0.6h 内的速度为12 ÷0.6 = 20 (km/h )， 当x = 0.5 时，y = 20 × 0.5 = 10 ，
当x = 0.8 时，y = 12 ， 当x = 3 时，y = 20 ．
填表如下：
② 李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为(20 - 6) ÷ (5 - 4.5) = 28 (km/h ) ． 故答案为：28 ．
③ 当4.5 ≤ x ≤ 5 时，y = 20 - 28 (x - 4.5) = -28x +146 ，
: 当4.5 ≤ x ≤ 5 时，y 关于x 的函数解析式为y = -28x +146(4.5 ≤ x ≤ 5)．
（2）李华从陈列馆回学校途中，减速后的骑行速度为6 ÷ (5.5 - 5) = 12 (km/h ) ，则 y = 6 -12 (x - 5) = -12x + 66 ，
张强离学校的距离y 与李华离开学校的时间x 之间函数关系式为 y = 20 - 24 (x - 4.5) = -24x +128 ，
当二人相遇时，得
解得 ．
答：张强在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是4km ．
22 ．(1)100 人，a = 80% ，补全条形图见解析；
(2)见解析；
(3)知识测试成绩所占百分比为30% ，实践创新成绩所占百分比为 70% ．
【分析】本题考查了条形统计图， 统计表，加权平均数、中位数， 一元一次方程的应用，明 确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
（1）由优秀率及优秀人数可求得参赛学生总人数，用优良人数除以总人数可得a 的值，再 求出良好等级人数即可补全统计图；
（2 ）根据平均数、中位数、优秀率或优良率的意义求解（答案不唯一，合理即可）；
（3 ）设知识测试成绩所占百分比为x ，则实践创新成绩所占百分比为1- x ，根据加权平均 数的定义列出关于x 的方程，解之即可得出答案．
【详解】（1）解：阳光中学参赛人数为30 ÷ 30% = 100( 人) ，
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/ km
2
10
12
12
20
优良率 良好人数为100 - 20 - 30 = 50( 人) ， 补全图形如下：
,
（2）解：从平均数看，市区参赛学生成绩的平均数大于阳光中学，所以市区参赛学生的平 均水平高；从中位数看，阳光中学参赛学生成绩的中位数大于市区，所以阳光中学参赛学生 的高分人数略多于市区；
（3）解：设知识测试成绩所占百分比为x ，则实践创新成绩所占百分比为1-x ， 则80x + 90(1- x) = 87 ，
解得x = 0.3 = 30% ，
所以知识测试成绩所占百分比为30% ，实践创新成绩所占百分比为 70% ．
23 ．（1）四边形 EFGH是矩形，理由见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，圆周角定理，解题的关 键是掌握平行四边形的性质．
（1）四边形 EFGH是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；
（2）分别作 AB, CD 的中垂线，得到点N, Q ，连接NQ ，作NQ 的中垂线，得到NQ 的中点 O ，以 O 为圆心，ON 的长为半径画圆， ΘO 与AD 的交点即为点M ；
【详解】解：（1）四边形 EFGH是矩形，理由如下：
由折叠的性质可知，上AFE = 上EFK ，上BFG = 上KFG ，
Q 上AFB = 180° ,
:2上EFK + 2上KFG = 180° ,
:上EFK + 上KFG = 90° ,即 上EFG = 90° ,
同理可得：上FGH = 上EHG = 90° ,
:四边形EFGH是矩形；
（2）由（1）可知：AF = FK = BF, DH = HJ = CH, 上FEH = 90。， 故F, H 分别为AB, CD 的中点，点E 在以FH为直径的圆上，
同理：点N, Q 分别为AB, CD 的中点，点M在以NQ 为直径的圆上， 如图，M1, M2 即为所求．
24 ．(1)C (5,1) ，D (3, 0)
【分析】（1）根据直线 交 x 轴于点 A，交y 轴于点 B，先求出点 A 和点 B 的坐标， 再结合OD = 3OB 求出OD = 3，得到点 D 的坐标，最后利用平行四边形的性质求出点 C 的 坐标；
（2）根据C(5,1) ，D (3, 0) 求出直线 CD 的解析式，设P(p, 0)，分两种情况：点 P 在 x 轴 正半轴和 x 轴负半轴来求解；
（3）先将两条直线组成方程组得到(2a -1)x =1，分两种情况进行求解． 解：:直线交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，
令 x = 0 ， 则 y = 1 ， 令 y = 0 ， 则x = -2 ，
: A(-2, 0) ，B (0,1) ， : OB = 1．
又: OD = 3OB ， : OD = 3，
: D (3, 0) ， : AD = 5
在。ABCD 中，AD = BC = 5 ，ADⅡBC ， : C (5,1)；
（2）解：: C(5,1) ，D (3, 0) ，
设直线 CD 的解析式为y = kx + b (k ≠ 0) ， 则
解得
设P(p, 0)，
情况一：如图所示：
Q1 (p -1, -p ) ，
:-p = p -1) - ，p = ，
: P1 (çè , 0 ；
情况二：如图所示：
Q2 (p + 1, p)
: P2 (-2, 0) ；
（3）解：由直线 y2 = ax 与直线y1 = x + 1 得
: (2a -1)x = 1，
当 时，方程组无解，两直线平行，此时总有y2 < y1 ，
∵直线y2 = ax 经过O（0，0），
:当x ≤ 2 时，对于 x 的每一个值，都有y2 < y1 ， 即是
:若2a -1 > 0 时，即a > ， 则2a - 2 < 0 ，
: a < 1 ；
若2a -1 < 0 ，则 2a -1≥ 0 ，
【点睛】本题考查了一次函数综合知识，涉及待定系数法、一次函数与一次不等式的关系， 等腰直角三形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
25 ．(1)①见解析；②4
(2) 3+
【分析】（1）①通过等角转化即可证出两组对边平行；
@根据边的关系AC = 2BC ，设 BC 和AC ，用勾股定理求出 AB ，再用等面积即可得出
CG ，然后用未知数把 △CDH 的边长用未知数表示出来，再利用勾股定理建立方程即可求解．
（2）由前述思路可以构造一个矩形ACBQ 和一个直角三角形BDP ，再利用斜边中点构造三 角形，最后用三边关系求最值即可．
【详解】（1）①证明：Q MN ⅡAB ，
:上APM = 上BAP ，上BPN = 上ABP ， Q 上ABC = 上APM ，上CAB = 上BPN ， :上ABC = 上BAP ，上CAB = 上ABP ，
: BC Ⅱ AP，AC Ⅱ BP ，
: 四边形APBC 是平行四边形．
@解：过C 作CH 丄 MN 于点H ，交 AB 于点G ，则四边形 BDHG 是矩形， 设 则 ，
根据等面积可得 QS△ACB = S△ABP ，
: CG = GH = 2x ，
: CH = CG + GH = 4x ， QDH = BG = x ，
: CD2 = DH2 + CH2 ，即17 = x2 +16x2 ， 解得x = 1，
（2）解：如图，过B 作BP∥ AC 交MN 于点P ，作AQ 丄 BP 交BP 于点Q ，则四边形ACBQ
是矩形，
: AQ = BC = 1 ， Q MN ⅡAB ，
: S△ABP = S△ABD = 3 ，
:BP = 6 ，
取BP 中点O ，连接OC 、OD ，则 在Rt△OBC 中
Q△BDP 是直角三角形，O 是BP 中点，
根据三角形三边关系可得
:CD 最大值为
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定 和性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．