2024-2025学年福建省泉州第一中学下学期期末考试八年级数学检测试卷

这是一份2024-2025学年福建省泉州第一中学下学期期末考试八年级数学检测试卷，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泉州一中 2024-2025 学年第二学期期末考试
初二数学试卷
命题人：苏德谋 审题人：林美婷 李阿华
（考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分）注意事项
1 ．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请 在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．
2 ．本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第 I 卷（选择题共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的．在答题卡相应的答题区域内作答．
1 ．下列式子是分式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．“墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安 石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m ，用科学记数法表示为3.6 × 10n m ， 则n 的值为( )
A ．4 B ．-5 C ．4 D ．5
3 ．下列计算正确的是( )
A ．2 + 4 = 6 B ．
C ． D ．
4 ．甲、乙、丙、丁四位学生参加立定跳远训练，他们近期 5 次训练的平均成绩 相同，设甲、乙、丙、丁这 5 次训练成绩的方差分别是S ，S ，S ，S，且 S=2.1 ，S=3.5 ，S=5.6 ，S=0.9 ，则四位学生中这 5 次训练成绩最稳定的是 ( )
A ． 甲 B ． 乙 C ．丙 D ．丁
5 ．下列函数中，当x > 0时y 随x 的增大而增大的是( )
A ． B ．y = -2x C ．y = -x - 2 D ．
6 ．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿 站 12 公里的书院参观，学生们步行出发，1 小时后，孔子乘牛车出发，牛车的 速度是步行的速度的 1.5 倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度 为每小时x 公里，则下面所列方程正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
7 ．如图，在。ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O ，AC 丄 BC ，AB = 10 ，BC = 8 ， 则OB 的长为( )
A ．、 B ．6 C ．7 D ．、/58
8 ．已知点A 的坐标为(1,3) ，点B 的坐标为(2,1) ．将线段AB 沿某一方向平移后点A 的对应点的坐标为(- 2,5) ，则点 B 的对应点的坐标为( )
A ．(-1,3) B ．(-1, -1) C ．(5,3) D ．(5, -1)
9 ．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点 B 在 x 轴上，顶点 A 在y 轴 上，若点 C 坐标为(4，1) ，则点 A 的坐标为( )
A ．(4，0) B ． C ．(0，4) D ．(0，3)
10 ．如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 CD 上，且DE = 1 ，作 EF Ⅱ BC 分别交 AC、AB 于点 G、F，P、H 分别是 AG，BE 的中点，则 PH 的长 是( )
A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 第 II 卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．在答题卡相应的答题区域 内作答．
11 ．若式子 ·、在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
12 ．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了 12 名学生进行相关知识测试， 将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这 12 名学生测试成绩的中位数 是 ．（单位：分）
13 ．如图，平行四边形ABCD 绕点 A 逆时针旋转32° ,得到平行四边形 AB ¢ C ¢D ¢ , 点B¢ 恰好落在BC 边上，B ¢C ¢ 和CD 交于点 P，则 上B¢PC 的度数是 ．
14 ．如图，正比例函数y1 = kx 的图象与反比例函数的图象相交于A, B 两点， 点B 的横坐标为 4，当 y2 > y1 时，x 的取值范围是 ．
15 ．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD ，若 A， C 两点间的距离是2，B，D 两点间的距离是2 3 ，则四边形ABCD 的面积是 ．
16 ．如图，直线y = - x + 8与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，上BAO 的平分线所在的 直线AM 的解析式是 ．
三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．在答题卡相应的答题区域内作答．
17 ．计算：( π - 3.14)0 + (çè -1 - 1 - + ．
18 ．如图，在菱形ABCD 中，点 E，F 分别在BC，CD 边上，上AEB = 上AFD ． 求证：BE = DF ．
19 ．先化简，再求值 其中x = + 2 ．
20 ．2025 年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒 2》）横空出世，现已登 顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度， 在初三年级随机抽取了 10 名男生和 10 名女生展开问卷调查，并对数据进行整理， 描述和分析（评分分数用x 表示），共分为四组：
A．x < 70；B.70 ≤ x < 80；C.80 ≤ x < 90；D.90 ≤ x ≤ 100），下面给出了部分信息：
10 名女生对《哪吒 2》的评分分数：67 ，77 ，79 ，83 ，89 ，91 ，98 ，98 ，98， 100．
10 名男生对《哪吒 2》的评分分数在 C 组的数据是：82 ，83 ，86．
20 名同学对《哪吒 2》评分统计表
10 名男生对《哪吒 2》评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的a = ___________ ，b = ___________ ，m = ___________；
(2)我校初三年级有 400 名女生和500 名男生去看过《哪吒 2》，估计这些学生中 对《哪吒 2》的评分在D 组共有多少人？
21．如图，一次函数y = kx - 2k (k ≠ 0) 的图象与反比例函数的图象
性 别
平 均 数
众 数
中 位 数
方差
满分
占比
女 生
88
a
90
112.2
10%
男 生
88
100
b
200.2
50%
在第二象限交于点C ，与x 轴交于点A ，过点 C 作CB 丄 y 轴，垂足为B ，若 S△ABC = 2 ．
(1)求点A 的坐标及m 的值；
若 求一次函数的表达式．
22 ．如图，在等腰 △ABC 中，AB = BC ，BO 平分上ABC ，过点 A 作AD Ⅱ BC 交BO 的延长线于 D，连接 CD ，过点 D 作DE 丄 BD 交BC 的延长线于 E．
(1)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；
(2)若AB = 4，上ABE = 120° ,求DE 的长．
23．在 2025 年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人H1和G1 ．它们身着大红 棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的AI互动，成为“科技顶
流” ．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买 A ，B 两种型号的机器人模型用于教学．A 型机器人模型单价比 B 型机器人模型单价多 100 元，用 1000 元购买 A 型机器人模型和用 600 元购买 B 型机器人模型的数量 相同．
(1)求 A 型、B 型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买 A 型和 B 型机器人模型共 20 台，购买 B 型机器人模型不超 过 A 型机器人模型的 3 倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优
惠．问购买 A 型和 B 型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
24 ．综合与探究：如图 1，在平面直角坐标系中，直线AB ： 与直线AC ： y = kx - 4相交于点 ，与 x 轴交于点B (4, 0) ，直线 AC 与 x 轴交于点 C．
(1)直接写出 k，b ，m 的值．
(2)如图 2，P 是y 轴负半轴上一动点，过点 P 作y 轴的垂线，分别交直线AB ，AC 于点 D ，E，连接AP ．设点 P 的坐标为(0, n)．
①点 D 的坐标为 ，点 E 的坐标为 ；（用含 n 的代数式表示） @当DE = OB 时，求点 P 的坐标．
(3)在（2）的条件下，线段BC 上是否存在点 Q，使 S△ABQ = S△APD ？若存在，请直
接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
25 ．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合）， AF 丄DE于 点O ，交BC 于点F ，点 G 在OD 上，OG = OA， ÐDOF 的平分线交CG 于点M ，连 接DM 并延长与AF 的延长线交于点N ．
(1)求证：AE = BF ；
(2)点E 在AB 边上运动时，探究上ODM 的大小是否发生变化？若不变，求出
上ODM 的度数；若变化，说明理由；
(3)求证：2ON2 + BN2 = 2AB2 ．
1 ．C
【分析】本题考查了分式的识别，解题关键是理解分式的定义． 根据分式的定义，对四个式子逐一分析再作出判断．
【详解】解： ，分母为常数 π ,不含字母，属于整式，故 A 不符合；
,分母为数字 2，不含字母，属于整式，故 B 不符合； ,分母为 2a ，含字母a ，符合分式定义，故 C 符合；
,分母为数字 5，不含字母，故 D 不符合， 故选：C．
2 ．B
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到 n 值；将小数点点在左 边第一个非零数字后面，确定 a 值，写成a ×10n 的形式即可．本题考查了绝对值小于 1 的数 的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到 n 值；将小数点点 在左边第一个非零数字后面，确定 a 值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】解：∵ 0.000036 = 3.6 × 10-5 = 3.6 × 10n ， 故n = -5 ，
故选：B．
3 ．C
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的化简以及二次根式的除法运算， 乘法运算等法则 逐一分析即可求解．
【详解】解：A 、2 与 不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
B 、 本选项不符合题意；
C 、 本选项符合题意；
D 、 本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减、二次根式的化简、二次根式的乘法， 除法，掌握相关 的运算法则是解题的关键．
4 ．D
【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握根据方差判断稳定性是解题的关键：① 方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量；@ 方差能够反映所有数据的信息，因而在刻画数据波动情况时比极差更准确：方差越大，数据 波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差 比较它们波动的大小．
根据方差的意义进行判断即可．
【详解】解：Q 甲、乙、丙、丁这 5 次训练成绩的方差分别是S ，S ，S ，S，且 S=2.1 ，S=3.5 ，S=5.6 ，S=0.9 ，
: S < S < S < S ，
: 四位学生中这 5 次训练成绩最稳定的是丁， 故选：D ．
5 ．A
【分析】本题考查反比例函数及一次函数的增减性．反比例函数：比例系数 k 大于 0 时，图 象经过第一、三象限， 在每个象限内y 随x 的增大而减小；比例系数 k 小于 0 时，图象经过 第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大．一次函数比例系数 k 大于 0 时，y 随x 的增大而增大；比例系数 k 小于 0 时，y 随x 的增大而减小．由此可解．
【详解】解：A ． ，k = -2 < 0 ，当 x > 0 时，函数图像在第四象限，y 随x 的增大而 增大，符合题意；
B ．y = -2x ，k = -2 < 0 ，y 随x 的增大而减小，不合题意；
C ．y = -x - 2 ，k = -1< 0 ，y 随x 的增大而减小，不合题意；
D ． ，k = 2 > 0 ，当 x > 0 时，函数图像在第一象限，y 随x 的增大而减小，不合题意； 故选：A．
6 ．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 设学生步行的速度为每小时 x 公里，则牛 车的速度是每小时1.5x 公里，根据学生们步行出发，1 小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学 生们同时到达书院，列出分式方程即可．
【详解】解：设学生步行的速度为每小时 x 公里，则牛车的速度是每小时 1.5x 公里，
由题意得 ，
故选：A．
7 ．A
【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出AC ，再根据平行四
边形的性质求出 ，再利用勾股定理求出 OB ．
【详解】解：Q AC 丄 BC ，AB = 10 ，BC = 8 ，
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
故选：A．
8 ．A
【分析】根据点的坐标平移规律： 横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可解决 问题．
【详解】解：:将点A(1,3) 的对应点的坐标为(- 2,5) ，
:将点A(1,3) 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到点(- 2,5) ，
: 点B 的坐标为(2,1) 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到(-1,3) ， 故选：A．
【点睛】本题考查坐标平移，记住坐标平移的规律是解决问题的关键．
9 ．D
【分析】如图所示，过点 C 作CE 丄 x 轴，证明△OAB≌△EBC 推出OA = 3 ，则 A(0，3)． 【详解】解：如图所示，过点 C 作CE 丄 x 轴，
: 上AOB = 上BEC = 90° , :四边形ABCD 是正方形， : AB = BC，上ABC = 90° ,
:∠OBA +∠OAB = 90° = ∠EBC +∠OBA ， : 上OAB = 上EBC ，
:△OAB≌△EBC(AAS) ， : C (4，1) ，
: OB = CE = 1，OE = 4 ， : OA = BE = 3 ，
: A(0，3)，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质， 坐标与图形，全等三角形的性质与判定，正确作出 辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10 ．B
【分析】连接 PF，CF，先证明 PF丄AG，再根据 H 点为 CF 中点可得 PH 为 Rt△PFC 斜边
的中线，即 ，在矩形 EFBC 中，利用勾股定理求出 CF，则 PH 可求．
【详解】连接 PF，CF，如图，
:四边形 ABCD 是正方形，EF Ⅱ BC ， :四边形 EFBC 是矩形，
:∠BFE=90°=∠AFE，DE=AF=1， :H 为 BE 中点，
:H 在 CF 上，且也为 CF 中点， :AC 为正方形 ABCD 的对角线，
:AC 平分∠BAD，即∠FAG=∠GAD=45° ,
:△AGF 中，∠AFG=90° , ∠FAG=45° ,
:∠FGA=45°,即△AGF 是等腰直角三角形， :P 点为 AG 中点，
:PF丄AG，即△PFC 是直角三角形， :H 为 CF 中点，
:PH 为 Rt△PFC 斜边的中线， ,
:在矩形 EFBC 中，EF=BC=4， 又:AF=1，
:BF=AB-AF=4-1=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形中斜边中线 等于斜边的一半等知识，证明△PFC 是直角三角形是解答本题的关键．
11 ．x ≥ 2025
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：要使式子 在实数范围内有意义，则x - 2025 ≥ 0 ， 即x ≥ 2025 ．
故答案为：x ≥ 2025
12 ．90
【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．
根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中 的数据进行计算即可；
【详解】解：:共有 12 个数，
:中位数是第6 和7 个数的平均数， :中位数是(90 + 90) ÷ 2 = 90 ；
故答案为：90． 13 ．42° ##42 度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理， 由旋转的性质可得AB = AB ¢ , 上BAB¢ = 32° , 上ABC = 上AB ¢ C ¢ , 上B + 上C = 180° , 由等腰三 角形的性质可得上B = 上AB¢B = 74° ,由三角形的内角和定理可求解．
【详解】解：Q平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转32° ,得到平行四边形 AB ¢ C ¢D ¢ ,
: AB = AB ¢ , 上BAB¢ = 32° , 上ABC = 上AB ¢ C ¢ , 上B + 上C = 180° , :上B = 上AB¢B = 74° ,
:上C = 106° , 上AB¢C ¢ = 上B = 74° ,
:上CB¢P = 32° ,
:上B¢PC = 180° - 上C - 上CB¢P = 180° -106° - 32° = 42° , 故答案为：42° .
14 ．x< - 4 或0 < x < 4
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出 B 点横坐标，再利用 函数图象得出 x 的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
:A 、B 两点关于原点对称， ∵点A 的横坐标为 4，
:点 B 的横坐标为-4 ，
由函数图象可得：当x< - 4 或0 < x < 4 时，反比例函数的图象在正比例函数y1 = kx 的 图象上方，
:当y2 > y1 时，x 的取值范围是：x< - 4 或0 < x < 4 ．
15 ．
【分析】本题考查菱形的性质与判定， 勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得 到菱形．
根据等宽可得四边形ABCD 是平行四边形，结合四边形面积即可得到AB = BC ，即可得到四 边形ABCD 是菱形，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 AC, BD ，
根据题意得：AD∥BC, AB∥CD ， :四边形ABCD 是平行四边形，
:两张等宽的纸条交叉叠放在一起，
可设两张等宽的纸条的宽为 h，则S。ABCD = AB . h = BC . h ， : AB = BC ，
:四边形ABCD 是菱形，
故答案为：
16 ．
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，三线合一，求出A, B 的坐标，勾股定理求 出AB 的长，构造等腰三角形ABC ，求出 D 点坐标，待定系数法求出AD 的解析式即可．
解
:当x = 0 时，y = 8 ，当 时，x = 6 ，
: A(6, 0), B (0,8) ，
取C(-4, 0)，则：AC = 10 = AB ， : AM 是上BAO 的角平分线，
: AM 垂直平分BC ，
: D 为BC 的中点， : D (-2, 4) ，
设直线AM 的解析式为y = kx + b ，则：
解得： ，
故答案为
17 ．7 -
【分析】本题考查了实数的混合运算．
先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再计算加减即可． 【详解】解：( π - 3.14)0 + (çè -1 - 1 - +
= 1+ 2 - +1+ 3
= 7 - ．
18 ．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 菱形的性质，根据菱形的性质结合已知 条件证明 △AEB≌△AFD ，进而可证明 BE = DF ．
【详解】证明：:四边形ABCD 是菱形， : AB = AD，上B = 上D ，
又:上AEB = 上AFD ，
: △AEB≌△AFD (AAS) ， : BE = DF ．
19 ．x - 2 ， ·
【分析】本题考查了分式的化简求值， 二次根式的加减运算．原式括号中两项通分并利用同 分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算
即可求出值．
解
= x - 2 ，
当x = + 2时，原式= + 2 - 2 = ．
20 ．(1) 98 ，93 ，10
(2) 450
【分析】（1）根据中位数，众数的定义求得a, b ，进而得出评分在 B 的人数，求得m 的值；
（2）用 400 和500 分别乘以评分在 D 组的占比，即可求解．
【详解】（1）解： 10 名女生对《哪吒 2》的评分分数： 67 ，77 ，79 ，83 ，89 ，91 ，98 ， 98 ，98 ，100．
98 出现最多，则a = 98 ，
根据统计表可得满分的有10× 50% = 5 人，则中位数为第5 和第 6 个数据，10 名男生对《哪 吒 2》的评分分数在 C 组的数据是：82 ，83 ，86 ．
则按从小到大排列，第5 个数据为86 ，第 6 个数据为100， 则
根据扇形统计图可得评分分数为A 和B 的人数和为10 -10× 50% - 3 = 2 ，且 A, B 的人数都不 为0 ，
:评分分数为A 和B 的人数都是1人 则m = 10
故答案为：98 ，93 ，10 ．
（2）解：400 × + 500× 50% = 200 + 250 = 450 （人）
【点睛】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众
数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21 ．(1) (2, 0) ，m = -3
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的 交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数 中k 的几何意义的应用．
（1）在直线y = kx + k 中令y = 0 可求得A 点坐标；连接CO ，得S△OBC = S△ABC = 2 ，根据反比 例函数比例系数的几何意义，即可求解；
（2）利用勾股定理求出OB = 2 ，设C(b, 2) ，代入反比例函数，求出C 点坐标，再利用待定 系数法，即可求解．
【详解】（1）解：在 y = kx - 2k (k ≠ 0) 中，令y = 0 可得0 = kx - 2k ，解得 x = 2 ，
: A 点坐标为(2, 0) ；
连接CO ，
Q CB 丄 y 轴，
: CBⅡx 轴，
: S△OBC = S△ABC = 2 ，
Q 点C 在反比例函数的图象上，
:
m -1 = 2S△BOC = 4 ，
Q反比例函数 的图象在二、四象限， : m - 1 = -4 ，即：m = -3 ；
（2）Q 点A(2, 0) ，
: OA = 2 ，
又Q AB = 2 ，
:在Rt△AOB 中 QCB 丄 y 轴，
:设C(b, 2) ，
,即 b = -2 ，即C(-2, 2) ，
把C(-2, 2) 代入y = kx - 2k ，得：2 = -2k - 2k ，解得： :一次函数的解析式为
22 ．(1)四边形ABCD 是菱形，理由见解析
(2) DE 的长为4
【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点， 熟记定理 内容是解题关键．
（1）证 △ADO ≌△CBO 得DO = BO ，可得四边形 ABCD 是平行四边形，即可进一步求证；
（2）由题意得 △BCD 是等边三角形，根据DE = 即可求解.
【详解】（1）解：四边形 ABCD 是菱形， 理由：: AB = BC ，BO 平分上ABC ，
: AO = CO ，
: ADⅡBC
: 上DAO = 上ACB，上ADO = 上CBO， : △ADO ≌△CBO ，
: DO = BO ，
:四边形ABCD 是平行四边形， : AB = BC ，
:四边形ABCD 是菱形；
（2）解：: BO 平分上ABC，上ABE = 120° ,
:四边形ABCD 是菱形， : BC = CD = AB = 4 ，
: △BCD 是等边三角形，
: BD = BC = 4 ， : BD 丄 DE ，
: 上BDE = 90° ,
: 上E = 90° - 上DBC = 30° , : BE = 2BD = 8 ，
23 ．(1)A 型机器人模型单价是 250 元，B 型机器人模型单价是 150 元
(2)购买 A 型机器人模型 5 台和 B 型机器人模型 15 台时花费最少，最少花费是 2800 元
【分析】本题考查的是分式方程的应用， 一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题 意是关键．
（1）设 A 型机器人模型单价是 x 元，则 B 型机器人模型单价是(x -100)．根据用 1000 元购 买 A 型机器人模型和用 600 元购买 B 型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可；
（2）设购买 A 型机器人模型 m 台，则购买 B 型机器人模型(20 - m) 台，购买 A 型和 B 型机 器人模型共花费 W 元，再列不等式求解 m 的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答 案．
【详解】（1）解：设 A 型机器人模型单价是 x 元，则 B 型机器人模型单价是(x -100) 元． 根据题意，得 ，
解这个方程，得x = 250 ．
经检验，x = 250 是原方程的根，且符合题意．x -100 = 150 ．
答：A 型机器人模型单价是 250 元，B 型机器人模型单价是 150 元．
（2）解：设购买 A 型机器人模型 m 台，则购买 B 型机器人模型(20 - m) 台，购买 A 型和 B 型机器人模型共花费 W 元，
由题意得：20 - m ≤ 3m ，解得 m ≥ 5 ．
:W = 250 × 0.8m +150 × 0.8 (20 - m)，即 W = 80m + 2400 ， Q 80 > 0 ，
: W 随 m 的增大而增大．
: 当m = 5 时，W最小 = 80 × 5 + 2400 = 2800 ，此时 20 - m = 15 ．
答：购买 A 型机器人模型 5 台和 B 型机器人模型 15 台时花费最少，最少花费是 2800 元．
24 ．(1) k = -2 ，m = - ，b = -2
(2)① (2n + 4, n) ，(çè - , n ；②点P 的坐标为(0, -4) 或
(3)点P 的坐标为(0, -4) 时，点Q 的坐标为 当点P 的坐标为 时，点Q 的坐标 为
【分析】（1）把B(4, 0) 代入 ，求得b ，得直线 AB 的解析式为 把 代入 求得m ，得点 ，将其代入 y = kx - 4 ，即可求得 k 的值；
①将y = n 代入分别求出x 即可求解；
②由两点坐标可得DE = (2n + 4) - (çè - = n + 6 ，当 DE = OB 时，即 求 得n ，即可；
（3）由（2）可知点P 的坐标为(0, -4) 或(çè 0, - ， 分两种情况，当点P 的坐标为(0, -4) 时， 当点P 的坐标为 时，再根据S△△ABQ = S△APD ，S△ , 求出BQ，再结合点Q 在线段BC 上，且B(4, 0) 即可得点点Q 的坐标．
【详解】（1）解：把B(4, 0) 代入 得 解得：b = -2 ， 即直线AB 的解析式为
把 代入 得 解得 即A (çè - , - ，
把 代入y = kx - 4 ，得 解得：k = -2 ；
（2）①: P(0, n ) ，过点 P 作y 轴的垂线，分别交直线AB ，AC 于点 D ，E， :对于 当y = n 时， x - 2 = n ，可得 x = 2n + 4 ，即：D (2n +4, n)，
对于y = -2x - 4 ，当y = n 时，-2x - 4 = n ，可得 即 故答案为
②由①知D(2n + 4, n) ，E (çè - , n÷,则 6 ，
: B (4, 0) ，
: OB = 4 ，
当DE = OB 时，即 解得：n = -4 或 此时，点P 的坐标为(0, -4) 或
（3）由（2）可知点 P 的坐标为(0, -4) 或
当点P 的坐标为(0, -4) 时，此时点D(-4, -4) ，则 DP = 4 ，
: S△ABQ = S△APD ，点Q 在线段BC 上，且B(4, 0)
: S△ABQ = BQ . yA = ，即： 解得
( 8 ö ( 4 ö
: Qçè4 - 3 , 0,÷ ,即Qçè 3 , 0,÷ ,
当点P 的坐标为(çè 0, - ÷时，此时点D(çè , - ÷,则
: S△ABQ = S△APD ，点Q 在线段BC 上，且B(4, 0)
即 解得
综上，点P 的坐标为(0, -4) 时，点Q 的坐标为 当点P 的坐标为 时，点Q 的 坐标为
【点睛】此题考查了一次函数的综合题，图形与坐标，三角形的面积，解题的关键是利用数 形结合的思想．
25 ．(1)见解析
(2)不变，45°
(3)见解析
【分析】（1）由DE 丄 AF ，可证上ADE = 上BAF ，从而 △ADE≌△BAF (ASA ) ，得AE = BF ；
（2）过点 D 作DK 丄 DO ，与 OM 的延长线交于点K ，连接CK ，证明
△CDK≌△ADO (SAS)，得CK = OA ，上CKD = 上AOD = 90° ,再证 △CKM≌△GOM (AAS)， 得OM = KM ，故DM 平分上ODK ，上上ODK = 45° ;
（3）连接 AG, GN ，证明 △AOD≌△GON (SAS) ，进而证明四边形GNBA 是平行四边形，得
出 2OG2 = BN2 ，在 Rt△GON 中，根据勾股定理，即可得证．
【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，
:DA = AB ，上DAE = 上ABF = 90° ,
Q DE 丄 AF ，
:上AOE = 90° ,
:上BAF + 上AED = 90° ,
Q 上ADE + 上AED = 90° ,
:上ADE = 上BAF ，
:△ADE≌△BAF (ASA )， : AE = BF ；
（2）解：上ODM 的大小不会变化，理由如下：
过点D 作DK 丄 DO ，与 OM 的延长线交于点K ，连接CK ，如图：
:上ODK = 90° ,
:上CDK + 上ODC = 90° , 又上ADO + 上ODC = 90° , :上CDK = 上ADO ，
Q OM 平分 ÐDON ，
:上DKO = 90° - 上DOM = 45° ,
:上DOM = 上DKO ，
:DK = DO ，
又CD = AD ，
:△CDK≌△ADO (SAS)，
: CK = OA ，上CKD = 上AOD = 90° , QOA = OG ，
: CK = OG ，
Q 上DKO = 45° ,
:上CKM = 上CKD - 上DKO = 45° , :上CKM = 上GOM ，
又上CMK = 上GMO ，
:△CKM≌△GOM (AAS) ，
: OM = KM ，
:DM 平分上ODK ，
（3）证明：连接 AG, GN ，
由（2）知，上ODM 为定值，且上ODM = 45° , :△ODN 是等腰直角三角形，
: OD = ON ，
又: AO = OG ，上AOD = 上GON ， : △AOD≌△GON (SAS) ，
: GN = AD = AB ，上GNO = 上ADO ，
又: 上ADO + 上DEA = 90° , 上FAB + 上DEA = 90° , : 上FAB = 上ADO = 上GNO ，
: GN Ⅱ AB ，
:四边形GNBA 是平行四边形，
又OG = OA， Ð AOG = 90° ,
则2OG2 = BN2 ， 在Rt△GON 中，OG2 + ON2 = GN2 ，
: OG2 + ON2 = AB2 ，
: 2OG2 + 2ON2 = 2AB2 ， 即2ON2 + BN2 = 2AB2 ．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质， 等腰直角三角形，正方形的性质，平行四边形的 性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．