辽宁省丹东市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省丹东市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各图是环保标志图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】A轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，
B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
C不轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
2. 若分式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：，
解得：．
故选：C．
3. 若，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
只有当时，才会有，故选项A不符合题意；
，
，故选项B符合题意；
，
，
，故选项C不符合题意；
，
不妨设，，
则有，故选项D不符合题意．
故选：B．
4. 要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为（ ）
A. 2B. 2C. D. 2
【答案】D
【解析】，
则将化成最简分式，应将分子分母同时约去的公因式为,
故选：D．
5. 如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
分别是的中点，，
为三角形的中位线，
．
故选：B．
6. 如图，是“自行车停放区”的标志图，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中有：，，
，
，
，
，
，
故选：C．
7. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，此时点，点，点在一条直线上．若，则旋转角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设与相交于点，
将绕点顺时针旋转一定角度后得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
即旋转的角度为，
故选：A．
8. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
又，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
在四边形中，，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
，无法得出四边形是平行四边形，故选项D符合题意．
故选：D．
9. 《四元玉鉴》全中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”（题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】设绫布有尺，则罗布为尺，
则绫布单价：文/尺，罗布单价：文/尺，
可得：
故选：D．
10. 如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】平分，，，
．
在的垂直平分线上，
．
在与中，
，
．
．
．
故选：B．
二、填空题
11. 七边形的内角和为___________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
12. 命题“如果，那么”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】“如果，那么”的逆命题是逆命题是：如果，那么，该命题是假命题，
故答案为：假．
13. 已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则腰长为___________．
【答案】3
【解析】∵等腰三角形的一边长为，周长为，
∴等腰三角形的三边长为2，2，４或2，3，3，
当三边为2，2，４时，，三角形不存在，
当三边为2，3，3时，，三角形存在，
故腰长为：；
故答案为：3．
14. 若关于的分式方程有增根，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】将关于x的分式方程的两边同时乘以得，．
∵该分式方程有增根，
∴．
把代入得，．
解得．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________．
【答案】或
【解析】∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将点A代入得，，
解得：，∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∴，
过点E作，
∴，
当点E落在x轴上时，如图所示：
∵轴，，
∴点D的纵坐标为，代入得，，
解得：，
∵，
∴点F的横坐标为，
∴；
当点E落在y轴上时，如图所示：
∵轴，，
∴点D的横坐标为，代入，，
∴点F的横坐标为，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或．
三、解答题
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17. 解不等式组，并将解集表示在数轴上．
解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
数轴表示为：
18. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
19. 在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的长．
（1）证明：∵在等腰三角形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，．
20. “读书不觉已春深，一寸光阴一寸金”，每年4月23日是世界读书日，某社区为丰富居民的文化生活购进了一批图书．已知用260元购买科普读物的数量是用150元购买文学类书籍数量的2倍，其中文学类书籍的单价比科普读物的单价多4元．
（1）求文学类书籍的单价是多少元？
（2）该社区准备购进两种图书共100册，总费用不超过2840元，则该社区最多购进文学类书籍多少册？
解：（1）设文学类图书的单价为x元，则科普读物的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程解，
，
答：文学类图书的单价为30元；
（2）设学校购进文学类图书m册，则购进科普读物册，
依题意得：，
解得：，
答：该社区最多购进文学类书籍60册．
21. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．
（1）射线的尺规作图过程是在作___________的___________线；
（2）请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（3）在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形．
解：（1）根据题意得射线的尺规作图过程是在作的角平分线，
故答案为：；角平分．
（2）如图所示即为所求；
（3）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
22. 【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
根据以上信息回答下列问题：
【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________．
【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________．
【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围．
解：（1）∵一次函数的图象经过点，
∴由图象得不等式的解集是，
故答案为：；
（2）联立两个函数：，解得：，
∴交点坐标为，
由函数图象得：当时，图象在图象的上方，
∴，
∴不等式的解集是，
故答案为：，；
（3）联立两个函数：，
解得：，
∴，
当时，，，
∴，
解不等式：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为，
过点E作轴，如图所示：此时EP取得最小值为，
当横坐标取4时，，
∴长度的取值范围为．
23. 综合与实践
在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形．
（1）如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由；
（2）老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明：
（3）某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系．
（1）证明：为等边三角形，
，，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形．
（2）解：．
理由如下：
小明的方法：过点作，交于点，
∵为等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据四边形内角和，
∴．
小刚的作法：过点作，交于点．
∵为等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据四边形内角和，
∴．
（3）解：三线段的关系为：．
理由如下：过点作，交的延长线于点．
∵为等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．