2022-2023学年辽宁省丹东市凤城市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省丹东市凤城市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 多项式8a3b2+12ab3c的公因式是( )
A. abcB. 4ab2C. ab2D. 4ab2c
3. 等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )
A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°
4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于( )
A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°
5. 把分式xx+y(x≠0,y≠0)中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍C. 缩小为原来的12D. 不改变
6. 下列命题为真命题的是( )
A. 若ab>0，则a>0，b>0
B. 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7. 已知m2−n2=mn，则nm−mn的值等于( )
A. 1B. 0C. −1D. −14
8. 若关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3的解为正数，则m的取值范围是( )
A. m<92B. m<92且m≠32
C. m>−94D. m>−94且m≠−34
9. 如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于12FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE.若CE⊥AD，AE=3，DE=2，则▱ABCD的面积为( )
A. 5 5B. 5 13C. 5 52D. 20
10. 如图，为一副重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=4，则此时OG的长度为( )
A. 3B. 4C. 2 2D. 3 22
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 函数y=1x−3的自变量x的取值范围是 ．
12. 因式分解：ab2−25a= ______ ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=−3x与y=kx+b(k>0)的图象交于点P(m,3)，则不等式kx+b<−3x的解集为______ ．
14. 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，则∠AED的度数是______ ．
15. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=4，则△ABC的周长是______ ．
16. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为______ ．
17. 如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.AB=6.CF=2，则CE= ______ ．
18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点时，PB的长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程 2−xx−3=13−x−2．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
已知实数x，y满足 x−3+y2−4y+4=0，求代数式x2−y2xy⋅1x2−2xy+y2÷xx2y−xy2−1的值．
21. (本小题8.0分)
如图，正方形网格中每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC为三个顶点分别是A(5,2)，B(5,5)，C(1,1)．
(1)画出△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1绕点C逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
(3)在平面上存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点E．
(1)若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；
(2)若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长
23. (本小题8.0分)
如图，已知∠A=∠E=90°，A、C、F、E在一条直线上，AF=EC，BC=DF．
求证：(1)Rt△ABC≌Rt△EDF；
(2)四边形BCDF是平行四边形．
24. (本小题10.0分)
为了能够更好地进行居家电路实验学习，某校九年级(1)班在电商平台上购买小电动机和小灯泡.已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍．
(1)分别求出每个小灯泡和小电动机的价格．
(2)若九年级(1)班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出更省钱的购买方案，并求出总费用的最小值．
25. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为(0, 3)，∠CAO=30°，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：

(1)若点P是线段AC的中点，直接写出PD= ______ ．
(2)如图2，过点P作PE⊥x轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．
(3)连接BP，若△CPB是等腰三角形，求CP的长度．
26. (本小题10.0分)
如图1，△ABC为等边三角形，在AB、AC上分别取点E、D，使AE=AD，连接DE．

(1)求证：△ADE是等边三角形．
(2)点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，当△ADE绕A点旋转到如图2的位置时，求∠MAN的度数．
(3)在(2)条件下，若∠CAD=30°，AC=14，DE=4 3，求AN的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2．
故选：B．
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为12(180°−80°)=50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：B．
分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；②当80°角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
4.【答案】C
【解析】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3=6．
多边形的内角和=(6−2)×180°=4×180°=720°．
故选：C．
首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用，掌握公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：2x2x+2y=xx+y，
故选：D．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】解：A、若ab>0，则a、b同号，错误，是假命题；
B、两个锐角分别相等的两个直角三角形相似但不一定全等，错误，是假命题；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，错误，是假命题；
故选：C．
利用不等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平行四边形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平行四边形的判定等知识，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：∵m2−n2=mn，且mn≠0，
∴mn−nm=m2−n2mn=mnmn=1，
∴nm−mn=−1，
故选：C．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算和化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查解分式方程，分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出m的取值范围．
【解答】
解：去分母得：x+m−3m=3x−9，
整理得：2x=−2m+9，
解得：x=−2m+92，
∵关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3的解为正数，
∴−2m+9>0，
解得：m<92，
∵x≠3，即x=−2m+92≠3，
解得m≠32，
故m的取值范围是：m<92且m≠32．
故选B．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=CD=3，
∵CE⊥AD，DE=2，
∴CE= CD2−DE2= 5，
∵AD=AE+DE=5，
∴▱ABCD的面积为AD⋅CE=5 5．
故选：A．
由题意可得，BE为∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质可得，AB=CD，AD//BC，进而可得∠AEB=∠CBE=∠ABE，则AB=AE=CD=3，AD=5，由勾股定理得CE= CD2−DE2= 5，则▱ABCD的面积为AD⋅CE=5 5．
本题考查尺规作图、角平分线的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质和平行四边形的性质是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图(2)，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBG=90°，
∵∠F=45°，
∵∠F=∠FGB=45°，
∴∠OGA=45°，
∵∠A=30°，BC=4，
∴AC=2BC=8，
∵点O是AC的中点，
∴AO=4，
过O作OH⊥AG于H，
∴∠AHO=∠OHG=90°，∠HOG=∠OGH=45°，
∴OH=HG，
∴OH=12AO=2，
∴OG= 2OH=2 2，
故选：C．
如图(2)根据已知条件得到∠F=∠FGB=45°，求得∠OGA=45°，根据含30°的直角三角形的性质得到AC=2BC=4，过O作OH⊥AG于H，进而求得OH，根据勾股定理即可得到结果．
本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握特殊角直角三角形的边边关系是解题的关键．
11.【答案】x≠3
【解析】
【分析】
根据分母不等于0列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【解答】
解：由题意得，x−3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
12.【答案】a(b+5)(b−5)
【解析】解：ab2−25a，
=a(b2−25)，
=a(b+5)(b−5)．
先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．
13.【答案】x<−1
【解析】解：当y=3时，−3x=3，
解得，x=−1，
由图象得：不等式kx+b<−3x的解集为：x<−1，
故答案为：x<−1．
先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图象得到，当x<−1时，直线y=kx+b落在直线y=−3x的下方，于是可得到不等式kx+b<−3x的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值小于y=−3x的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b落在直线y=−3x下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】120°
【解析】解：∵∠1=∠2=∠3=∠4=75°，
∴∠5=360°−75°×4=360°−300°=60°，
∴∠AED=180°−∠5=180°−60°=120°．
故答案为：120°．
根据多边形的外角和求出∠5的度数，然后根据邻补角的和等于180°列式求解即可．
本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．
15.【答案】43
【解析】解：∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠DAN，
在△ABN和△ADN中，
∠BAN=∠DANAN=AN∠ANB=∠AND，
∴△ABN≌△ADN(ASA)，
∴AD=AB=10，BN=DN，
∵M是△ABC的边BC的中点，BN=DN，
∴CD=2MN=8，
∴AC=AD+CD=10+8=18，
∴△ABC的周长为：AB+BC+CA=10+15+18=43．
故答案为：43．
证明△ABN≌△ADN，得到AD=AB=10，BN=DN，根据三角形中位线定理求出CD，计算即可．
本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
根据平移的性质可得DE=AB=4，BC−BE=6−2=4，∠B=∠DEC=60°，然后根据等边三角形的判定与性质即可得解．
【解答】
解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE=AB=4，EC=BC−BE=6−2=4，∠B=∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=4，
故答案为4．
17.【答案】5
【解析】解：在▱ABCD中，CD=AB=6，∠D=∠B=60°，
∵CF=2，
∴DF=CD−CF=6−2=4，
∵AF⊥CD，
∴∠DAF=90°−60°=30°，
∴BC=AD=2DF=8，
∵AE⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=6，
∴BE=12AB=3，
∴CE=BC−BE=8−3=5．
故答案为：5．
由平行四边形的性质可求得DF=4，再利用含30°角的直角三角形的性质求解AD，BC，BE的长，进而可求解CE的长，
本题主要考查平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求解BC，CE的长是解题的关键．
18.【答案】2或3或5
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=8，BC=4 3，
PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点，可分为以下三种情况：经过AB的中点D；经过AC的中点E；经过BC的中点F．
当MN经过AB的中点D时，交BC于点G，如图：BD=12AB=4，

∵PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，
∴PQ=PB，
∴∠PQB=∠B=30°，
∵∠DPQ是△PQB的外角，
∴∠DPQ=∠B+∠PQB=60°，
∵MN垂直平分PQ，
∴PD=QD，
∴△PQD是等边三角形，
∴PD=QP，
∴PD=PB，
∴PB=12BD=2；
当MN经过AC的中点E时，交BC于点G，如图：EC=12AC=2，

∵∠PQB=30°，MN垂直PQ，
∴∠EGQ=60°，
∴∠CEG=30°，
在Rt△ECG中，EC=2，
∴CG=23 3，
∴BG=103 3，
∵点G在MN上，
∴PG=QG，
∴∠PQB=∠QPG=30°，
∵∠PGB是△PQG的外角，
∴∠PGB=∠PQB+∠QPG=60°，
∴∠GPB=90°，
∴PG⊥PB，
在Rt△PGB中，BG=103 3，
∴PG=12BG=53 3，
∴由勾股定理得：PB= BG2−PG2=5；
当MN经过BC的中点F时，交BC于点F(G)，如图：BF=12BC=2 3，

同理可证：PG⊥PB，
在Rt△PGB中，∠B=30°，BF=2 3，
∴PB=3．
综上：PB的长为：2或5或3．
故答案为：2或3或5．
本题需考虑MN经过△ABC各边中点，共三种情况，依次讨论即可．
本题综合考查了垂直平分线，含30°角的直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．分类讨论思想是解题的关键，同时也是本题的易错点．
19.【答案】解：方程的两边同乘(x−3)，得：2−x=−1−2(x−3)，
解得：x=3，
经检验：当x=3时，(x−3)=0，
∴x=3是原分式方程的增根，故原分式方程无解．
【解析】观察可得最简公分母是(x−3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
20.【答案】解：∵ x−3+y2−4y+4=0，
∴ x−3+(y−2)2=0，
∴x=3，y=2，
原式=(x+y)(x−y)xy×1(x−y)2×xy(x−y)x−1=x+yx−1=yx，
当x=3，y=2时，
原式=23．
【解析】根据 x−3+y2−4y+4=0得x=3，y=2，将x2−y2xy⋅1x2−2xy+y2÷xx2y−xy2−1进行化简得yx，把x=3，y=2代入进行计算即可得．
本题考查了二次根式，完全平方公式，整式化简求值，解题的关键是掌握这些知识点，准确计算．
21.【答案】解：(1)如图△A1B1C1即为所求；
(2)如图△A2B2C2即为所求；
(3)设D(x,y)，
当AC为对角线时，则x+5=1+5y+5=1+2，
解得x=1y=−2，
则D的坐标为：(1,−2)；
当BC为对角线时，则x+5=1+5y+2=1+5，
解得x=1y=4，
则D的坐标为：(1,4)；
当AB为对角线时，则x+1=5+5y+1=2+5，
解得x=9y=6，
则D的坐标为：(9,6)；
符合条件的点D的坐标为：(1,−2)或(1,4)或(9,6)．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
(3)设D(x,y)，分三种情况：当AC为对角线时，当BC为对角线时，当AB为对角线时，借助中点坐标公式即可求解．
本题考查作图−平移变换，旋转变换，中点坐标公式，解题的关键是正确作出图形，牢记中点坐标公式．
22.【答案】解：(1)∵DE垂直平分AB
∴∠A=∠ABE=50°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=12×(180°−50°)=65°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=65°−50°=15°；
(2)∵△ABC的周长为43cm，BC=11cm
∴AB=AC=16cm，
又∵DE垂直平分AB
∴EA=EB，
∴△BCE的周长为：BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=16+11=27cm．
【解析】(1)由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案；
(2)求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，求出△BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，能求出AE=BE是解此题的关键，此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
23.【答案】证明：(1)∵AF=EC
∴AC=EF
又∵BC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF
(2)∵Rt△ABC≌Rt△EDF
∴BC=DF，∠ACB=∠DFE
∴∠BCF=∠DFC
∴BC/​/DF，BC=DF
∴四边形BCDF是平行四边形
【解析】(1)由题意由“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△EDF
(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCDF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是灵活运用性质和判定解决问题．
24.【答案】解：(1)设每个小灯泡的价格是x元，则每个小电动机的价格是(12−x)元，
根据题意得：30x=4512−x×2，
解得：x=3，
经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意，
∴12−x=12−3=9．
答：每个小灯泡的价格是3元，每个小电动机的价格是9元；
(2)设购买m个小灯泡，则购买(90−m)个小电动机，
根据题意得：m≤12(90−m)，
解得：m≤30．
设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，则w=3m+9(90−m)，
即w=−6m+810，
∵−6<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=30时，w取得最小值，最小值=−6×30+810=630，此时90−m=90−30=60．
答：更省钱的购买方案为：购买30个小灯泡，60个小电动机，总费用的最小值为630元．
【解析】(1)设每个小灯泡的价格是x元，则每个小电动机的价格是(12−x)元，利用数量=总价÷单价，结合用30元购买小灯泡的数量正好是用45元购买小电动机数量的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出每个小灯泡的价格，再将其代入(12−x)中，即可求出每个小电动机的价格；
(2)设购买m个小灯泡，则购买(90−m)个小电动机，根据购买小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25.【答案】32
【解析】解：(1)长方形OABC中，OA=CB，AB=OC，∠OAB=∠ABC=∠BCO=∠AOC=90°，
∵C(0, 3)，∠CAO=30°，
∴AB=OC= 3，AC=2OC=2 3，
∴BC=OA= AC2−OC2=3，
∵点D是边OC的中点，点P是线段AC的中点，
∴PD是△AOC的中位线，
∴PD=12OA=32，
故答案为：32；
(2)∵PE⊥x轴，
∴PE/​/CD，
若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则PE=CD= 32．
∴点P的纵坐标绝对值是 32，
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，把A(3,0)、C(0, 3)代入得，
3k+b=0b= 3，
解得：k=− 33b= 3，
∴直线AC的解析式为y=− 33x+ 3，
若点P在线段AC上，纵坐标是 32，
则 32=− 33x+ 3，
解得：x=32，
此时，点P的坐标为(32, 32)，
若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是− 32，
则− 32=− 33x+ 3，
解得：x=92，
此时，点P的坐标为(92,− 32)，
综上所述，点P的坐标为(32, 32)或(92,− 32)；
(3)①当PB=PC时，如图：过点P作PQ⊥BC于点Q，

∴∠PQC=90°，
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴CQ=BQ=12BC=32，
∵BC/​/OA，
∴∠PCQ=∠CAO=30°，
∴PQ= 33CQ= 32，
∴CP=2PQ= 3；
②当CP=CB时，CP=3；

③当BP=BC=3时，过点B作BH⊥CP于点H，如图：

∴∠CHB=90°，CP=2CH，
在Rt△BCH中，∠BCH=30°，BC=3，
∴BH=12BC=32，
∴CH= 3BH=3 32，
∴CP=2CH=3 3．
综上，若△CPB是等腰三角形，CP的长度为 3或3或3 3．
(1)根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理得OA=3，根据三角形中位线定理即可求解；
(2)由PE⊥x轴得PE/​/CD，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则PE=CD= 32.点P的纵坐标绝对值是 32，求出直线AC的解析式为y=− 33x+ 3，分两种情况：若点P在线段AC上，纵坐标是 32；若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是− 32，分别求出点P的坐标即可；
(3)分三种情况：①当PB=PC时，②当CP=CB时，③当BP=BC=3时，根据等腰三角形的性质即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
又∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形．
(2)解：∵△ADE是等边三角形
∴∠DAE=60°=∠BAC
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE
∴△CAD≌△BAE(SAS)
∴∠ACD=∠ABE，CD=BE
∵点M、N分别是BE、CD的中点，
∴CN=BM．

∵AB=AC，
∴△ACN≌△ABM(SAS)，
∴AN=AM，∠CAN=∠BAM，
∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN，
∴∠MAN=∠BAC=60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴∠MAN=60°；
(3)解：如图，作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，

∠CAD=30°，AC=14，DE=4 3，
∠EAB=30°，AE=AD=DE=4 3，
EF=12AE=2 3，
点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，
MH//EF，MH=12EF= 3，
取AB中点P，连接MP，
则MP//AE，MP=12EF=2 3，
∠MPH=30°，MP=2 3，
在Rt△MPH中，PH=3，
AH=AP+PH=7+3=10，
在Rt△AMH中，AM= AH2+MH2= 100+3= 103．
AN=AM= 103．
【解析】(1)根据等边三角形 的判定即可解决问题；
(2)先证明△CAD≌△BAE，再证明△ACN≌△ABM，可得∠MAN=∠BAC=60°，即可证明结论．
(3)作EF⊥AB于点F，可得EF=2 3，作MH⊥AB于点H，点M是BE的中点，MH=12EF= 3，在Rt△MPH中，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查全等三角形，等边三角形的判定及应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与应用以及勾股定理是解题的关键．