山东省威海荣成市16校2025年九年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省威海荣成市16校2025年九年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，满分30分）
1. 若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.,结果为有理数;
B. ,结果为有理数;
C.无论填上任何运算符结果都不为有理数;
D.,结果为有理数;
故选C．
2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率π精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．到如今人类已经将圆周率计算到小数点后约105万亿位．数据“105万亿”用科学计数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】105万亿；
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，所以选项A错误；
B、，所以选项B错误；
C、
，所以选项 C 正确；
D、，所以选项 D 错误，
故选：C．
5. 象棋中有“马走日,象(相)走田”的规则,在如图所示的棋盘中,如果“相”的位置表示为(5,8),则“相”走一步之后所在位置不可能是( )
A. (7,6)B. (7,10)C. (2,6)D. (3,10)
【答案】C
【解析】根据“相”只能从“田”字的一角走到与它相对的另一角,则棋盘中“相”下一步可以到达4个位置:(3,10)、(3,6)、(7,10)、(7,6).故答案选C.
6. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解不等式①得：，
解不等式②得：，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选D．
7. 甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球，则摸出的2个球颜色不同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下：
由表知，所有等可能的结果有6种，其中摸出的2个球颜色不同的结果有3种，
则摸出的2个球颜色不同的概率为：；
故选：B．
8. 如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】∵集合B的元素，，
可得，∴，，∴，
当时，，，，不满足互异性，情况不存在，
当时，，（舍），时，，，满足题意，
此时，．
故选：Ｃ．
9. 学校组织甲、乙两队预备共青团员步行前往距离学校的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交通拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发．已知乙队始终以的速度匀速前进，甲队匀速前进后速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 乙队比甲队晚出发
B. 甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为
C. 甲队开始减速时，乙队前进的路程为
D. 甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了
【答案】D
【解析】由图象可得，
乙队所用的时间为：（），
故乙队比甲队晚出发（），故选项A正确，不符合题意；
设甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，
即甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，故选项B正确，不符合题意；
甲队开始减速时，乙队前进的路程为：（），故选项C正确，不符合题意；
当甲队某同学在甲队前进了时掉队，甲队前进的路程为：（），
乙队前进用的时间为：（），
（），
即甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
当甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，
此时乙队前进的路程为：（）
设乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，∴，解得，
即乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
设当甲队某同学在甲队前进了时掉队（甲队减速后），甲队前进的路程为：（），此时乙队前进的路程为：（），
则，解得，
即甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；故选项D错误，符合题意；
故选：D．
10. 用一个平面截棱长为1的正方体（如图），截面形状不可能是（ ）
A. 三边长为1、1、的三角形B. 边长为的正三角形
C. 长为、宽为1的矩形D. 边长为1的正方形
【答案】A
【解析】A、无论怎样截取，都无法得到三边长为1、1、的三角形，故该选项符合题意；
B、当截面经过正方体三个两两相邻的面的对角线时，由于一个面的对角线长为，则所得截面是边长为的正三角形，如图所示，故该选项不符合题意；
C、当截面是通过正方体相对的对角线时，由勾股定理得对角线长为，而棱长为1，则所得截面为长为、宽为1的矩形，如图所示，故该选项不符合题意；
D、按如图方式截，即截面与正方体的任一个面平行时，则截面是边长为1的正方形，如图所示，故该选项不符合题意；
故选：A．
二、填空题（每题3分，满分18分）
11. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】.
12. 图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为_______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
13. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，若，，则________．
【答案】3
【解析】∵四边形是矩形，∴，
∵，F为的中点，∴，
由作图可知：，
∴．
14. 数轴上两点A、B所表示的数分别为和6，点P、Q分别是数轴上两动点，点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，当时，点Q在数轴上对应的数为______．
【答案】或
【解析】设运动时间为t，
则P点表示的数为，Q点表示的数为，
①P、Q相遇前，
，解得：；
此时点Q在数轴上对应的数为，
②P、Q相遇后，
，解得：．
此时点Q在数轴上对应的数为．
15. 如图，在中，直径，C是圆上一点，将弧沿折叠，折叠后的弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】过点作于点，交于点，连接，
则点是中点，由折叠的性质可得点为的中点，
，
在中，，，
，即，，
，，
连结，由折叠可知，
又，是等边三角形，，
，
，，
故答案为：．
16. 点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接，若四边形是面积为12的平行四边形，则_______．
【答案】
【解析】连接；
∵轴，轴，∴，
即；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即点O是对角线的中点，
∴，且O，A，B三点共线；
∴，∴，即，∴；
∵，∴．
三、简答题（共8大题，满分72分）
17. 先化简：，再从，，，，中选取一个数代入求值．
解：
，
有意义，
，解得：，，
当时，原式，
当时，原式．
18. 某村部分青年返乡创业生产销售A，B两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润200万元．经过努力，其中生产销售A种茶叶的利润比原计划增加5%，生产销售B种茶叶的利润比原计划增加15%，实际生产销售的总利润为225万元，他们去年生产销售A，B两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？
解：设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，
根据题意得：，解得：，
∴（万元），（万元），
答：他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润分别为万元，万元．
19. 某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用x表示），现将20名学生的成绩分为四组（A：，：，：，：）进行整理，部分信息如下：
九年级的测试成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86．
八年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，86，88．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，_____；
（2）若该中学八年级与九年级共有1400名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有多少人？
（3）从多个角度分析，八、九年级中哪个年级学生对安全知识掌握得更好？
解：（1）∵八年级一共有10人，
∴八年级的中位数为第5名和第6名的成绩的平均成绩，
∴；
九年级的平均成绩为，
∴，
∵九年级成绩中100出现了3次，出现的次数最多，
∴，
故答案为：，，；
（2）人，
∴估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有人；
（3）由表格中的可知，九年级的平均成绩，中位数，众数都比八年级的要高，
∴九年级学生对安全知识掌握得更好．
20. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，

解：过点作，垂足为，

由题意得：，，
设，
在中，，，
，
，，，
，，，，
，，解得：，
，
该景观灯的高约为．
21. 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点A为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点B到地面的距离为2.36米，且点A和点B的水平距离为8米．现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，已知货车的车身长约6米，车厢最高点离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内．
解：建立如图所示坐标系，

由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，
设抛物线的函数关系式为
点的坐标为，
将点代入函数关系式中，得：，解得：．
与的函数关系式为．
设点的坐标为，
将代入中，得：，
解得：（舍去），．
，
这辆货车可以完全停进遮阳棚内．
22. 如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
为半径，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，，，
在中，，，
，即，解得，
经检验，是所列方程的解，
半径为，则，
在中，，，，
．
23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
（1）函数图象的顶点坐标为___________(用a表示)；
（2）若函数图象经过点，求证：；
（3）已知函数图象经过点，，若对于任意的都满足，求的取值范围．
（1）解：，
∴顶点坐标为；
故答案为：；
（2）证明：把点分别代入函数解析式中，
得：，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，而，
∴点B总在抛物线对称轴的右边；
∵，
∴点总在点C的左边，
∴对于任意都满足，A、B、C三点存在两种情况：
①如图所示，
则当时，，
∴，其中，
解得：；
②如图所示，
当时，且，∴，
即，其中，
解得：；
综上，a的取值范围为或．
24. （1）[问题探究]
如图1，正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．

①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．

（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小不发生变化，；
证明：作，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
③；
证明：作交于点E，作于点F，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，∴，
作于点M，
则，∴，
∵，
∴，∴；
（2）；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，∴，
∵，∴，
作交于点E，交于点G，如图，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，

作于点M，则，∴，∴．白1
白2
红
白
白白1
白白2
白红
红
红白1
红白2
红红
年级
平均数
中位数
最高分
众数
八年级
83
a
98
76
九年级
b
93
100
c