2024-2025学年山东省威海市荣成市16校联盟(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省威海市荣成市16校联盟(五四制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了单选题，简答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，满分30分）
1. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】根据题意得：且，
解得：且．
故选：A．
2. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】点，在反比例函数的图象上，
，，
当时，有，
，
，
故选：D．
3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是，即．
故选：C．
4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦的长，则下列按键顺序正确的是（ ）

A B.
C. D.
【答案】B
【解析】过B点作于D，

∵，，，
∴，
在中，，∴，
即按键顺序正确的是，故选：B．
5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，故B、D不正确；
当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限， 故A不正确，C正确
故选：C．
6. 在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】中，，
设，则，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）

A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为或，
故选：A．
8. 已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法错误的是（ ）
A. ，
B.
C. 不等式的解集是
D. （m为任意实数）
【答案】C
【解析】由表格可知随着的增大，的值先增大再减小，∴，
和时的函数值相同，均为，
对称轴为直线，故时，有最大值9，
∵，∴，
故A项正确，不符合题意；
当时，函数值均为0，对称轴为直线，
∴当或时，函数值均为0，即方程有两不等实数根，
∴，
故B项正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向下，当或时，函数值均为0，
∴等式的解集是，
故C正确，符合题意；
∵当时，有最大值9，
∴（m为任意实数），
整理得：（m任意实数），
故D正确，不符合题意；
故选：C．
9. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A. 球运行的最大高度是2.43mB. 球不会过球网
C. 球会过球网且不会出界D. 球会过球网且会出界
【答案】D
【解析】∵抛物线解析式为，
∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意；
在中，当时，，
∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；
在中，当时，则，
∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；
故选D．
10. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中，，每个三角形都以点O为顶点．若是第一个小于的角，则n的值为（ ）（参考数据：，，）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】由题意可得：，，则，
，，则，
，，则，
∴，，则，
∵是第一个小于的角，
∴，整理得，
取最小自然数得，故选：D．
二、填空题（每题3分，满分18分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 抛物线的顶点坐标为___.
【答案】
【解析】∵，
∴抛物线的顶点坐标为，故答案为：．
13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA，则BD的长度为_____．
【答案】
【解析】，，
，
，，，
故BD的长度为．
14. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出m的值为5，那么输入x的值为______．
【答案】-8
【解析】①时，，
整理得，
解得或（不合题意，舍去）
∴；
②时，，
整理得，
解得或，
∵，，
∴或不合题意，均舍去；
综上所述，输入x的值为，
故答案为：．
15. 如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点位置作为观测点，从M点测得山顶 P的仰角为， 在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则山顶P的海拔高度为_____________m.
【答案】2024
【解析】在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则实际距离为．
由题意画出示意图，过点M作于点C，
从点测得山顶的仰角为，
∴，
高度差为：，
点的海拔为，
山顶的海拔高度为．
故答案为：2024．
16. 如图，正方形的顶点在轴上，是的中点，反比例函数的图象经过正方形的顶点B．若，，则__________．
【答案】10
【解析】如图，作轴，垂足为，
是的中点，，，
，
，
，
∵，
，
，
，，
，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：10．
三、简答题（共8个题，满分72分）
17. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式；
（2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围．
解：（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，
把点代入解析式得，
∴．
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
随的增大而减小，
当时，．
18. 已知：y关于x的函数表达式为
（1）求证：不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点．
（2）不论k为何值，该函数的图象一定经过两个定点，请直接写出这两个定点坐标．
解：（1）y关于x的函数表达式为，当时，
得方程，
∴，
∴方程总有实数根，
∴不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点．
（2），
∴当时，与无关，过定点，
此时，
当时，，过定点0,1；
当时，，过定点；
综上所述，两个定点坐标0,1，．
19. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
解：（1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
20. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是(，且x为整数)．
（2）设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中边上找到一点D，连接，使；
（2）在图②中边上找到一点E，连接，使；
（3）在图③中边上找到一点F，连接，使．
解：（1）如图①中，点D即为所求；
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）如图②中，点E即为所求；
∵，
∴，∴直角三角形，∴，
根据（1）得：，
∴．
（3）如图③中，点F即为所求．
．
22. 如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为．
（1）当点D与点A重合时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
解：（1），


（2）如图，当时，点在上，
由题意得：







当＜时，点在上，如图，
由题意得：

同理：




综上：当时，当＜时，
23. 如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且．
（1）当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）．
（2）请比较与的大小关系，并说明理由．
解：（1）当时，，，，
，，三点在反比例函数的图象上，
，，，
∴，，，
如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，，
∴，，，
∴
；
（2），理由如下：
∵，，三点在反比例函数的图象上，
，，，
，，
∵，，
∴，
．
24. 在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
解：（1）将代入中，
得，
解得，；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，解得（不合题意，舍去）,综上所述．
（3）关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
,，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或．
x
0
1
3
5
y
0
8
9
5