山东省威海市荣成市实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共7页，共120分．考试时间120分钟．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
3．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效．
一、精心选一选（每小题3分，共36分）
1. 下列函数一定是二次函数的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的概念：如果一个整式方程经过整理后，只含有一个未知数，且未知数的次数为2的方程，其一般形式为，其中，且a，b，c为已知数；根据一元二次方程的概念即可判断．
【详解】解：A、当时，它不是二次函数，故不符合题意；
B、是一次函数，故不符合题意；
C、右边不是整式，故不符合题意；
D、由一元二次方程的概念知，是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
2. 若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是( )
A. 图像分别位于一、三象限B. 点在函数图像上
C. 当时，随的增大而增大D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，先求出，然后由反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
∴图象位于第二、四象限；故A错误；
点不在该函数图象上；故B错误；
当时，y随x的增大而增大，故C正确；
当时，或；故D错误；
故选：C
3. 如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．根据正切点定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.，故该选项不符合题意，
B. ，故该选项符合题意，
C. ，故该选项不符合题意，
D ，故该选项不符合题意，
故选：B．
4. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则关于的方程的两个实数根分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正、反比例函数图象的对称性可得出点、关于原点对称，由点的坐标即可得出点的坐标，结合、点的横坐标即可得出结论，解题的关键是根据正、反比例函数的对称性求出两交点的坐标．
【详解】∵正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象关于原点对称，
∴两函数的交点、关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴关于的方程的两个实数根分别为、，
故选：．
5. 如图，为的直径，交于E点，交于D点，且D为的中点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意连接，可得，再证，可得是等腰三角形，是等腰三角形，继而得到本题答案．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形性质及判定，等腰三角形判定及性质，圆周角定理，内角和定理．
6. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
根据和两点可以确定函数的对称轴为：，再由对称轴，即可求解．
【详解】解：抛物线经过和两点，
对称轴所在的直线为：，
，
，
，
将点代入，
则，
故选：C．
7. 如图，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，若周长为，的周长，则长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得和的长，
根据切线定理得，，，，，然后根据的周长求出和的长，再根据的周长从而求得．
【详解】如图：圆O是的内切圆，

圆O切线与、相交于点M、N，
，，，，，
，
周长为，
，即，
，
的周长，
，即，
，
，
故选：C
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点分别在轴、轴上，点在函数的图象上，边与函数的图象交于点，已知阴影部分的面积为，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义分别求出矩形和的面积，根据阴影部分的面积为，可得关于的一元一次方程，解方程后结合反比例函数的性质即可求解，掌握是解题的关键．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵函数的图象位于第二象限，
∴，
∴，
故选：．
9. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答．
【详解】化为顶点式解析式为：
二次函数的对称轴为直线，开口方向向上，
在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
实数a的取值范围是，
故选：B．
10. 如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么ABC的外接圆圆心是（ ）
A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．
【详解】解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，
则△ABC的外接圆圆心是点G，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键．
11. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论错误的是（ ）
A. 对称轴是直线B. 与x轴的交点坐标是，
C. 抛物线开口向下D. 的解是
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A.由图可知，抛物线的对称轴为直线，故A选项正确，不符合题意；
B.由表格可知，抛物线图象与x轴的一个交点为，由抛物线的对称性可知，另一个交点为，故B选项正确，不符合题意；
C.∵在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴抛物线的开口向下，则a＜0，抛物线开口方向向下，故C选项正确，不符合题意；
D.由表格可知，，即时，x的值为或2，故的解为或，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中的数据求出抛物线的对称轴为直线是解题的关键．
12. 某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：
①大树被摧折倒下的部分；
②；
③点E到钟楼底部的距离；
④钟楼的影长；
⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为．
（点C，E，B，F在一条直线上）
请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼的高度，则（ ）m．
A. B. C. D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的应用，利用特殊角，添加合适的辅助线构造直角三角形是本题的解题关键．过D作于G，则，，先求出，，则，再求出，即可求解．
【详解】解：选择：①大树被摧折倒下的部分；②；③点E到钟楼底部的距离；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为．理由如下：
过D作于G，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：B．
二．耐心填一填（每小题3分，共18分）
13. 二次函数的顶点坐标是_______________ ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了配方法求二次函数的顶点坐标，直接利用配方法将原式变形，进而求出顶点坐标．
【详解】
则二次函数图像的顶点坐标为：．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为___________ ．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质和垂径定理等，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．过作直线与，直线交轴于，根据直线的解析式求出和的长度，解直角三角形求出，求出，根据垂径定理得出即可．
【详解】解：过作直线与，直线交轴于，
，
当时，，
当时，，解得：，
所以，，
，
，
，
，
，
，
，过圆心，
，
故答案为：2．
15. 如图，中，，点在上，，若，，则的长度为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由锐角三角函数求出，再由锐角三角函数求出，利用勾股定理即可求出的长度，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 二次函数的图像如图所示，若．则的大小关系为_____．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质、不等式等，结合题目所给的二次函数图象即可求出答案．
【详解】当时，
当时，
即：．
故答案：．
17. 数学活动课上，同学们想测量出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交弧与点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出，，则轮子的半径为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，设点是圆心，根据垂径定理，则，根据垂直平分线的性质，勾股定理，则，即可．
【详解】设点是圆心，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴轮子的半径为：．
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中有一个的矩形网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例数的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形的边上的C点，反比例函数y＝的图像经过格点B，且，则k的值是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键；
先设边上的高为h，根据三角形的面积公式，由，求出，再由A、B两点关于y轴对称，可设，则，根据A、C在反比例函数的图象上，对称，计算求出k即可．
【详解】设中边上的高为h，
，，
，
反比例数的图像经过格点A，同时还经过矩形的边上的C点，反比例函数的图像经过格点B，
由对称性可知，A、B两点关于y轴对称，
设，则，
A、C在反比例函数的图象上，
，
解得，，
故答案为：．
三、解答题：（满分66分）
19. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算．直接代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
．
20. 疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，早上至之间的十分钟是学生上学的集中时间，规定时间内学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，已知这十分钟的变化情况可以看成是二次函数，并在第10分钟累计的学生数达到最多．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）为了减少排队等候的时间，在学校门口设置了两个智能体温检测点，已知每个检测点每分钟可以检测60人，已知第x分钟学校门口排队人数为z人，求z关于x的表达式，并求出z的最大值．
【答案】（1）
（2），z的最大值为300
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，是解题的关键．
（1）由顶点坐标为，可设，再将代入，求得a的值，即可得y与x之间的函数解析式；
（2）根据得到，，配方得到，得到z的最大值为300．
【小问1详解】
由图像可知：抛物线经过点，顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
将代入，得，
∴，
∴；
【小问2详解】
由题意得：



，
∵，
∴当时，z有最大值300，
故z关于x的解析式为，z的最大值为300．
21. 2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的北偏西方向上的点A处，且在C岛的南偏西方向上，已知B市在C岛的南偏西方向上，且距离C岛116km．此时，“雪龙2”船沿着方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？（参考数据：，，，，，）

【答案】“雪龙2”船大约13点钟到达C岛
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，方向角问题．根据题意过点A作，设，，列方程计算出，，继而得到本题答案．
【详解】解：过点A作，
，
由题意知，，，km，
∵， ，
∴设，，则，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，，，
答：“雪龙2”船大约13点钟到达C岛．
22. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，观察其图像特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）写出函数关系式中及表格中，的值；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并根据图像写出该函数的一条性质：
（3）已知函数的图像如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出不等式的解集．
【答案】（1），，
（2）作图见解析，函数最小值为
（3）或
【解析】
【分析】本题考查函数的知识，解题的关键是掌握函数的图象和性质，根据题意和表格，进行解答，即可．
（1）根据函数，把，代入，求出；得到函数解析式，再把，代入函数解析式，求出，的值，即可；
（2）根据函数图象，即可得到函数的性质；
（3）根据函数图象，当反比例函数在函数的下方，即，即可．
【小问1详解】
由表格可知，当时，，
∴，
解得：；
∴函数解析式为：，
∵当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
故答案为：，，．
【小问2详解】
补全函数图象，如下：
由函数图象可知，该函数的最小值为：．
【小问3详解】
∵当反比例函数在函数的下方，即，
∴由函数图象可知，当时，反比例函数，函数
∴；
当，反比例函数，函数，
∴；
∴不等式的解集为：或．
23. 如图所示，与是两个全等的直角三角形，，，，且点在同一条直线上，将沿方向平移，设边与相交于点，设，的面积为，求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【答案】或．
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，由，，得出，由等腰直角三角形的性质得出，则是等边直角三角形，然后分当点位于线段上时，当点位于BC的延长线上时，进而得出与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；得出是等边直角三角形是解题的关键．
详解】如图，当点位于线段上时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
过作于点，
∴，则，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
如图，当点位于的延长线上时，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
过作于点，
∴，则，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
综上可知：与之间的函数关系式为或．
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（1，﹣1），与y轴交于点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N．
①若N＝2，求抛物线的表达式；
②若﹣9＜a＜﹣2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．
【答案】（1）B（0，2）
（2）①；②2≤N＜3
【解析】
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征求得即可；
（2）①由题意得抛物线的顶点为（0，2），把A（1，−1）代入即可求出a的值，继而求出抛物线的表达式；
②把点A（1，−1）代入y＝ax2＋bx＋2得出a与b的关系，再把a＝−9和a＝−3代入求出对应b的值，从而求出抛物线解析式，利用解析式求出最大值，即可得到N的取值范围．
【小问1详解】
解：把x＝0代入y＝ax2＋bx＋2得，y＝2，
∴B（0，2）；
【小问2详解】
解：①依题意，当N＝2时，该抛物线的顶点为（0，2），
设抛物线的解析式为，
由抛物线过A（1，−1），得a＋2＝−1，
解得a＝−3，
∴抛物线的表达式为；
②∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（1，−1），
∴−1＝a＋b＋2，
∴b＝−3−a，
由题意得N是抛物线顶点的纵坐标，
∴，
设 ，其函数图象如下图所示，由函数图象可知时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大
∴当x＝−3时，则，此时，函数有最小值为2，
当x＝−2时，则，当x＝−9时，则，此时，函数有最大值为3，
∴2≤N＜3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质及最值的求法是解决问题的关键．
25. 如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是弧的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接，，和．
是弧的中点，，．
任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图（3），已知等腰内接于，，，点为弧上一点，，于点，的周长为，请你求出的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．
（1）在上截取，连接，，和，证明，得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可证明；
（2）在上取，连接，，证明，得到，结合，推出，，由的周长为，可得，在中，，可得．
【小问1详解】
证明：在上截取，连接，，和．
是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
【小问2详解】
在上取，连接，．

，，
，
，
，
，
，
即，
的周长为，
，
，
，
，
在中，
，
．x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
．．．
．．．
．．．