广西北海市合浦县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试卷（解析版）

这是一份广西北海市合浦县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2025
【答案】A
【解析】∵，∴的倒数是．
故选：A．
2. 剪纸是中国传统的民间艺术，下列各剪纸图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3. 截至年月日时分，中国动画电影哪吒之魔童闹海全球票房含预售及海外已破亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第位将用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】140亿，，故选：D．
4. 如图所示，直线a、b被直线c所截，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
6. 若，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，故选：C．
7. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由数轴知，这个不等式组的解集为，
故选：D．
8. 如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）

A. 156°B. 78°C. 39°D. 12°
【答案】C
【解析】∵∠BOC=78°， ∴∠BAC=∠BOC=39°．故选：C．
9. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设教育经费的年平均增长率为x，
则20经费为：万元，
2022的教育经费为：万元，
∴可得方程：．
故选C．
10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 48
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24．
故选：C．
11. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得方程组为：，
故选：A.
12. 如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（ ）
A. 0.5．B. 1．C. 2．D. 3.5．
【答案】C
【解析】∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故选C．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
14. 合浦汉代文化博物馆的“海上丝绸之路”灯塔巍然矗立．小亮在距离灯塔基座12米处测得塔顶的仰角为，则该灯塔的高度为_____米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】如图：
在中，，
∴，
∴该灯塔的高度为．
15. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的x是_____．
【答案】255
【解析】依题意，，
∴只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是256，
则只需进行3次操作后变为1所有正整数中，最大的x是255．
故答案为：255．
16. 如图，合浦汉代文化博物馆的建筑模型中，有一正方形展板，边长为6，与x轴负半轴夹角为（象征海上丝绸之路15个沿线国家），点B在抛物线上，求a的值_____．
【答案】
【解析】如图，连接，过点B作轴于点D，
∵四边形是正方形，边长为6，
∴，是等腰直角三角形，，
∴，
∵与x轴负半轴夹角为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
解得：．
三、解答题（第17题8分，第18至21题每题10分，第22、23题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解方程组：．
解：（1）；
（2），
，得，
即，
把代入②得，，
即，
故方程组的解为.
18. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图中的信息解答以下问题：
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人；
（3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
解：（1）本次抽取的学生人数共有：（人），
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是：，
等级人数为：（人），
故答案为：，，
补全条形统计图如下：
（2）书写能力等级达到优秀的学生大约有：（人），
故答案为：；
（3）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
19. 如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
解：（1）如图直线即为所求．
（2）∵垂直平分线段，∴，
设，在中，
∵，∴，
解得，∴．
20. 合浦某珍珠加工厂需采购两种型号的珍珠筛选设备，型设备单价比型贵200元，用2000元购买型设备数量与用1200元购买型设备数量相同．
（1）求型设备单价分别是多少元？
（2）工厂计划采购40台设备，型数量不超过型的3倍，且两种设备均享受“合浦产业扶持补贴”（原价打8折），问购买型和型两种设备各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
解：（1）设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元
根据题意：．
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
答：种型号设备单价是500元，种型号设备单价是300元．
（2）设购买种型号设备台，购买种型号设备台，
购买型和型设备共花费w元
由题意得：，解得：，
，，
由可知，随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为，
，
答：购买型设备10台和型设备30台时花费最少，最少花费11200元
21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，
∵点是的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，∴ ，
∵，∴，
∵是半径，∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴为等边三角形，∴，
∵，，
∴，∴，∴，
∴的长为．
22. “跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度．

（1）求抛物线的表达式；
（2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高；
（3）身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离．
解：（1）由题意知，抛物线顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，
将点代入得，解得，
．
即抛物线的表达式为．
（2）把代入
得，（m），
即小红的身高是1.6 m；
（3）当时，，
解得或，
刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m），
答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m．
23. 问题背景：在将合浦古地图中的三角形地块划分综合实践活动课上，小云发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证．小云的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
（1）尝试证明：请参照小云的思路，利用图证明：；
（2）基础训练：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长；
（3）拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长．
（1）证明：
，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，
由（）可知，
又，，，即，
，
在中，由勾股定理得：，
，即，，即.
（3）解：，即是的角平分线，
∴由（）可得，
，，，，即，
的中垂线交延长线于，，即，
，
，，即，
又，，即.