2024_2025学年_北京宣武区高二第一学期12月月考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_北京宣武区高二第一学期12月月考数学试卷[附解析]，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．已知直线：，.若，则实数（ ）
A．0或B．0C．D．或2
3．“”是“直线与互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
4．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A．是一个半径为的圆B．是一条与相交的直线
C．上的点到的距离均为D．是两条平行直线
5．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．3B．C．D．
8．已知直线过点（1，2），且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
9．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．笛卡尔、牛顿研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是（ ）
A．该曲线关于轴对称B．该曲线关于原点对称
C．该曲线不经过第三象限D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数
二、填空题（本大题共6小题）
11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为 .
12．若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 .
13．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________．
14．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ，若，则 .
15．已知双曲线，请从以下四个条件中任选两个条件，使双曲线存在且唯一确定，并根据所选条件求双曲线的渐近线方程.
①焦距为4；②经过点；③焦点到渐近线的距离为；④离心率为2.
你选择的两个条件是 ，得到的双曲线的渐近线方程是 .
16．若直线被圆所截的弦长不小于，则在下列曲线中：
① ② ③ ④
与直线一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）
三、解答题（本大题共1小题）
17．已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.
(1)求栯圆的方程；
(2)设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
答案
1．【正确答案】C
【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.
【详解】因为直线方程为，所以斜率，
设倾斜角为，所以，所以，
故选：C.
2．【正确答案】B
【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，直线：，：，满足，
当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去，综上，.
故选B.
3．【正确答案】A
【分析】判断两直线垂直的方法：设两直线为，，，代入求解参数，根据充分必要性的判断法则即可得答案.
【详解】解：由题意得：
的充要条件是
即，故解得
于是“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
4．【正确答案】C
【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.
【详解】设，由，则，
由在直线上，故，
化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.
故选C.
5．【正确答案】D
【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：

设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称点为，则
由图知：的最小值为，
故选：D
6．【正确答案】D
【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线，
可得直线与圆相切或相离，
则满足圆心到直线的距离，解得，即，
所以的最小值为.
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】由双曲线可得：，
，所以，
故选：B.
8．【正确答案】C
【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，
所以直线的方程为．
故选：C．
9．【正确答案】B
【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.
【详解】由题意可知两直线均有斜率，所以，
若取，则有，但；
若，又，
所以，而，
综上所述，“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
10．【正确答案】C
【详解】A选项，当时，显然等式不成立，故，
所以，令，
则，
故，故A错误；
B选项，，B错误；
C选项，当时，，故，
所以该曲线不经过第三象限，C正确；
D选项，，
其中，当时，为整数，
故整数点至少有8个，D错误.
故选：C
11．【正确答案】或
【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程.
【详解】设，则，则，此时，
所以或，又由已知，
直线AB的方程为或，
整理得或.
故或.
12．【正确答案】2 1（均可）
【分析】求出圆心到直线的距离，则，再由基本不等式求出面积最大值，以及此时的值.
【详解】直线，则，令，解得，
所以直线恒过点，
的圆心为，半径，
显然点在上，
圆心到直线的距离，，
则，
当且仅当，即时取等号，
即，解得或.
故；（均可）.
13．【正确答案】
【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数p的值.
【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，
所以，即.
故
14．【正确答案】 20 8
【详解】椭圆，∴，
的周长是，
所以
故答案为∶20，8
15．【正确答案】 答案见解析
【详解】由为双曲线方程，可知，化为标准方程：，
此时，渐近线方程为：，
若选①②，则，，所以，双曲线方程为：，
此时渐近线方程为：；
若选①③，由焦点到渐近线的距离为，可知，又，双曲线方程为：，此时渐近线方程为：；
若选①④，则，，则，双曲线方程为：，
此时渐近线方程为：；
若选②③，则，，双曲线方程为：，
此时渐近线方程为：；
若选②④，则，，双曲线方程为：，
此时渐近线方程为：；
若选③④，则，又，则，双曲线方程为：，
此时渐近线方程为：；
故①②，；或①③，；或①④，；或②③，；或②④，；或③④，；
16．【正确答案】①③
【详解】∵直线被圆：所截的弦长不小于，
设圆心到直线的距离为，则，
所以，
即圆心到直线的距离小于或等于，
故直线一点经过圆面内的点，
如图所示：
观察图象可得满足关系，
圆面在椭圆内，
故与直线一定有公共点的曲线的序号是①③.
故①③.
17．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得且，即可求解得解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得，进而根据菱形的性质可得的方程为，即可求解，.进而根据点斜式求解直线方程，即可求解.
【详解】（1）由题意可设椭圆的方程为.
因为以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为，
所以且，
所以.所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
令，得，即.
由得.
设，则，
设的中点为，则，
所以.
因为四边形为菱形，
所以为的中点，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令得.所以，
设点的坐标为，则，
即，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点.
【方法总结】圆锥曲线中定点问题的两种解法：
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.