2024_2025学年北京市海淀区高三上学期12月月考数学试卷

这是一份2024_2025学年北京市海淀区高三上学期12月月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了 已知集合，则， 设，且，则， 在中，，则的面积为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 14
5. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中.当不变，与均变为原来的倍时，下面结论中正确的是（ ）
A. 存在和，使得不变
B. 存在和，使得变为原来的倍
C. 若，则最多可变为原来的倍
D. 若，则最多可变为原来的倍
10. 在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
二､填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）
11. 函数的定义域为__________．
12. 已知等差数列的公差为为其前项和，且成等比数列，则__________，__________．
13. 设，函数.若曲线关于直线对称，则一个取值为______.
14 设函数
①若，则的最小值为__________；
②若有最小值，则实数的取值范围是__________．
15. 一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：
①对于数列，若，则为周期数列；
②若满足：，，则为周期数列；
③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；
④已知数列各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．
其中所有正确判断的序号是__________．
三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数的一个零点为．
（1）求的值及的最小正周期；
（2）若对恒成立，求的最大值和的最小值．
17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18. 在中，
（1）求；
（2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：的周长为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 如图，在四棱锥中，，侧面底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知，，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值.
条件①：；条件②：；条件③：直线与平面所成角的正切值为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求单调区间；
（3）当且时，判断与的大小，并说明理由．
21. 已知是各项均为正整数无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定．
（1）若，写出及的值；
（2）若数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）设集合，求证：且．