2024-2025学年北京市高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市高二上册12月月考数学检测试题（含解析），共17页。
A．B．C．D．
2．圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．B．C．D．4
6．过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知三棱锥中，两两垂直，且，则点P到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
9．若动点A，B分别在直线：和：上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且是等边三角形，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．5D．10
12．已知正方体的棱长为1，点为侧面的中心，点在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点所构成图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.
13．若直线与直线垂直，则 .
14．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为 .
15．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 .
16．已知实数，满足方程，则的取值范围为 .
17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：
①A1F⊥BE；
②A1F＝3；
③S△ADF＝2S△ABF.
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
18．已知实数、、、满足：，，，设，，则 ，的最大值为 .
三、解答题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．在平面直角坐标系中，，是一条直径的两个端点：
(1)求的标准方程；
(2)若直线过点，与相交于，两点，且，求直线的方程.
20．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是正方形，点，分别是棱，的中点，，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若点在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由.
21．已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆P的方程；
（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；
（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．
1．B
【分析】写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小.
【详解】由题设，设倾斜角为且，则，
所以.
故选：B
2．C
【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数.
【详解】因为两个圆：和：，
即，，
所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，
因为，所以两圆外切，有3条公切线，
故选：C.
3．B
【分析】利用线面垂直的性质及其法向量与方向向量的关系，即可判断得出结论.
【详解】根据题意可知，如下图所示：
若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立；
若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立；
所以可得“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．A
【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程；
【详解】设，,，则,．
为线段的中点，
，即，．
又点在圆上，
，即．
故点的轨迹方程为．
故选：A
5．A
【分析】根据条件求得点的坐标，利用空间中两点间的距离公式计算即可.
【详解】因为点关于轴的对称点,
所以，
故选：A.
6．A
【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程.
【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为，
而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.
故选：A
7．C
【分析】可根据等体积求解，即，根据三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得
【详解】设点到平面的距离为，
∵两两垂直，且，
∴，，
∴，
∵，即
∴，
∴，即点到平面的距离为，
故选：C
8．D
【分析】求出直线所过定点坐标,设定点是,求出斜率,由图形可得结论.
【详解】由已知直线恒过定点,
如图所示,若与线段相交,则,

因为,
所以.
故选:D.
9．C
【分析】根据题意易得，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l，求出其方程，再利用点到直线的距离公式可得出结果．
【详解】由题意知，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l，
可设直线l方程为，
直线、与y轴的交点分别为、，则直线l与y轴的交点分别为，
将代入直线l的方程得，
故其方程为，
到原点的距离的最小值为．
故选C．
10．D
【分析】根据题意推出，继而由是等边三角形求得，再利用椭圆定义即可求得答案.
【详解】由题意知，O为的中点，故，
是等边三角形，即有，
又P在椭圆上，故，即，
即椭圆E的离心率为，
故选：D
11．C
【分析】由直线方程求出定点，确定，即在以为直径的圆上，由圆的性质得点到的距离最大值为圆半径，由此可得面积最大值．
【详解】由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点，
又，所以，即在以为直径的圆上，
，由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径，即，
所以面积的最大值为．
故选：C．
12．D
【分析】根据题意可知四点共面，设为，则平面与平面的交线与平行.分点与点重合，点与点重合，探求轨迹，进而确定符合条件的点所在区域，计算面积即可.
【详解】根据条件可知，四点共面，
设四点确定的平面为，则平面与平面的交线与平行，
当点与点重合时，取的中点,连接,
则点的轨迹为线段；

当点与点重合时，则点的轨迹为线段,

则当点在棱上运动时，点所在的区域为直角梯形,
其面积为,
故D.
13．或
【分析】根据直线垂直列出方程，解出即可.
【详解】因为两直线垂直，则，
解得或，
故或.
14．4
【分析】先根据点到直线的距离求出弦心距，然后利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以所求弦长为，
故4
15．6
【分析】根据焦点三角形的周长结合椭圆的定义及方程即可求解.
【详解】依据题意及椭圆方程，
则，
又，
所以，
故6.
16．
【分析】把给定方程化成圆的标准方程，求出的范围即可得解.
【详解】方程化为：，于是，解得，
所以.
故
17．若，则；(若，则)．写出其中一个即可.
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】解：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则，0，，，2，，，1，，，，，
设，，，，，则，，，
，
，
，
，
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，能写出两个正确的命题：
若，则；若，则．
故若，则；(若，则)．写出其中一个即可.．
18． 1 ##
【分析】作出圆与直线，可得，都在圆上，利用两点间的距离公式求得，可得，取、的中点，过作，垂足为，把转化为，求出，再求出到直线的距离，则答案可求．
【详解】作出圆，与直线，
由题意，，都在圆上，
∴且，又由，
∴；
∴,即为正三角形，
∴，
表示和到直线的距离和，
由图可知，只有当、都在直线的左侧，距离之和才会取得最大值．
取、的中点，过作，垂足为，则，
因为为等边三角形，为的中点，，
则在圆上运动，
故到直线距离的最大值为圆心到直线的距离+半径，
的最大值为．
故1；.
.
本题解决的关键是利用所求与已知式子的几何意义，将问题转化为圆心到直线的距离问题
19．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，求出的圆心坐标及半径即可得解.
（2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求出直线方程.
【详解】（1）依题意，的圆心，半径，
所以的标准方程是.
（2）由（1）知的圆心，半径，而，
因此圆心到直线的距离，
点到过点的直线的距离为1，因此直线符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由，解得，方程为，
所以所求直线的方程为或.
20．（1）证明见解析（2）（3）平面与平面不平行；详见解析
【分析】
（1）根据平面平面和得平面.，得；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据两个半平面的法向量可求得结果；
（3）根据平面的法向量与向量不垂直可得结论.
【详解】（1）证明：因为四边形是正方形，所以.
又因为平面平面，
平面平面，
所以平面.
又因为平面，
所以.
（2）由（1）知，，，所以.
又，，，
所以.所以.
如图，以为原点，建立空间直角坐标系.
所以，，，.
则有，，，
平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
又，，
由得
令，则，.所以.
设二面角的平面角为，则.
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.
（3）平面与平面不平行.理由如下：
由（2）知，平面的一个法向量为，，
所以，所以与平面不平行.
又因为平面，
所以平面与平面不平行.
本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求法，考查了用法向量判断面面平行，属于中档题.
21．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）由题意布列关于a，b的方程组，即可得到结果；
（2）由与垂直得,结合点在曲线上，可得M点坐标，结合两点间距离公式可得结果；
（3）设，，由题意，设直线的方程为，利用韦达定理即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以
因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，
所以 ,
又 ,
所以 ，
所以椭圆方程为 .
（2）方法一：
设,
， ,
,
,
，（舍）
所以.
方法二：
设，
因为与垂直，
所以点在以为直径的圆上，
又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为,
，
，（舍）
所以
方法三：
设直线的斜率为， ，其中

化简得
当时，
得 ，
显然直线存在斜率且斜率不为0.
因为与垂直，
所以 ,
得，， ,
所以
（3）直线恒过定点,
设，，
由题意，设直线的方程为，
由 得，
显然，，则，，
因为直线与平行，所以，
则的直线方程为，
令，则，即 ,
，
直线的方程为,
令，得,
因为，故，
所以直线恒过定点.
圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．