2024~2025学年北京丰台区高二第一学期12月月考数学试题[含解析}

这是一份2024~2025学年北京丰台区高二第一学期12月月考数学试题[含解析}，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．4B．2C．D．
4．高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（ ）
A．100名学生是个体
B．样本容量是100
C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本
D．1000名学生是样本
5．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40 百分位数分别是（ ）
A．8， 8.5B．8， 8C．9， 8D．8， 9
6．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知圆与圆的公切线条数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：
①四边形为平行四边形；
②若四边形面积,则有最小值；
③若四棱锥的体积，，则常函数；
④若多面体的体积，，则为单调函数．
其中假命题为（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的图象不关于原点对称
B．曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
二、填空题（本大题共6小题）
11．若点，，则以为直径的圆C的方程是 ．
12．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ．
13．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为
14．已知长方体中，，，则平面与平面所成的角的余弦值为 .
15．若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为 ．
16．已知曲线的方程，给出下列个结论：
①曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分；
②曲线关于轴、轴、坐标原点对称；
③若点在曲线上，则，；
④曲线围成的图形的面积是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题）
17．已知，，分别为的三个内角，，的对边，且.
(1)求角；
(2)若，的面积.
18．为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：
(1)求的值；
(2)求这100户居民问卷评分的中位数；
(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在内的概率．
19．已知圆，直线过点.
(1)求圆的圆心坐标及半径长；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程；
(3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.
20．如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点．
(1)求证:⊥平面;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的离心率为，直线：与椭圆C相交于A、B两点，且．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设平行于直线的直线l交椭圆C于E，F两点，且，求直线l的方程．
(3)直线：与椭圆C相交于M、N两点，点P为椭圆C上不同于M、N的一动点，直线MP的斜率记作，直线NP的斜率记作，当与存在时，求证：与的乘积为定值．
22．已知集合（）对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．
(1)当时，设，，求，；
(2)证明：，有，且；
(3)证明：，，，三个数中至少有一个是偶数．
答案
1．【正确答案】D
【详解】得到，则焦点坐标为．
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】根据题意，.
故选：A.
3．【正确答案】A
【详解】椭圆方程可化为，故，长轴长为4.
故选：A.
4．【正确答案】B
【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，
根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误．
C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．
B：样本的容量是100正确．
故选:B．
5．【正确答案】A
【详解】党员人数一共有，
学习党史时间为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，
因为，所以第40百分位数是第16和17个数的平均数，
把学习党史时间从小到大进行排序，根据所给数据可知第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是
故选：A.
6．【正确答案】D
【详解】因为个数据的平均数为，方差为，
所以（其中四个数分别为，）
故，
加入一个数据后，个数的平均数还是,
则方差为，
即这个数据的方差为.
故选：D
7．【正确答案】A
【详解】若，则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
8．【正确答案】C
【详解】圆的标准方程为，圆心，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，所以两圆外切，
所以圆与圆的公切线有3条.
故选：C
9．【正确答案】D
【详解】解：对①，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，正确；
对②，因为平面，，所以平面，平面，所以，所以四边形的面积，因为为定值，所以当，分别为，的中点时有最小值，正确；
对③，，因为为定值，，到平面的距离为定值，所以的体积为定值，即为常函数，正确
对④，如图
过作平面平面，分别交，，于，，，
则多面体的体积为，
而，，
，
所以，常数，错.
所以错误命题的序号为④.
故选:D．
10．【正确答案】C
【详解】对于A，将关于原点对称的点代入曲线的方程可得：，
即，满足曲线方程，
在曲线上，即曲线的图象关于原点对称，A错误；
对于B，将代入曲线方程知：曲线经过坐标原点，，
由A知：曲线的图象关于原点对称，
曲线经过的整点关于原点对称，又曲线经过整点，
曲线经过的整点个数必为奇数个，B错误；
对于C，当时，由得：，
曲线上的点到原点的距离（时也成立），
曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过，C正确；
对于D，由得：，
必为与曲线的一个交点，有且仅有一个实根或无实根，
，解得：或，
即实数的取值范围为，D错误.
故选：C.
11．【正确答案】
【详解】易知，所以圆C的半径为，
圆心为的中点，坐标为；
因此圆C的方程为.
故
12．【正确答案】
【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为，
，
，
故．
13．【正确答案】
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
故和BN的夹角的余弦值为.
故
14．【正确答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则平面与平面所成角的余弦值．
故．
15．【正确答案】
【详解】由已知，设关于直线的对称点为，
则解得，即，
所以．
故答案为.
16．【正确答案】②④
【详解】①根据题意，方程，即，表示四条线段，其图形如图所示，故①错误；
②由图可知，曲线关于轴，轴，坐标原点对称，故②正确；
③若点在曲线上，则，，故③错误；
④曲线围成的面积，故④正确．
综上所述，正确结论的序号是②④．
填②④
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知根据余弦定理求解，然后根据特殊角的函数值求解即可；
（2）结合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由余弦定理，
所以，又，所以.
（2）因为，所以，
因为，由已知得，故，故，
所以.
18．【正确答案】(1)0.02；
(2)77.5分；
(3).
【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得 .
（2）由频率分布直方图，得数据落在的频率为，
数据落在的频率为，
因此中位数，有, 解得，
所以中位数为77.5分.
（3）评分在对应的频率为0.1，0.2，
从评分在和内的居民中共抽取6人，
则评分在占2人，记为，评分在占4人，记为A,B,C,D，
从6人中选取4人的样本空间
，共15个样本点，
这4户居民中恰有1户的评分在内的事件
，其8个样本点，
所以这4户居民中恰有1户的评分在内的概率.
19．【正确答案】(1)圆的圆心坐标为，半径长为；
(2)或；
(3).
【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为.
（2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即.
由圆心到直线的距离等于半径得，，解得，
此时直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
（3）
∵圆的圆心坐标为，，
∴.
如图，由相切得，，，
∴.
20．【正确答案】(1)证明见解析
(2);
(3)存在,且点为线段的中点．
【详解】（1）因为四边形为正方形,则,,
因为 , ,,且两直线在平面内，
∴⊥平面,
∵平面,
∴,因为,,,且两直线在平面内
∴⊥平面,
∵平面,
∴,
∵,且两直线在平面内
∴⊥平面.
（2）因为⊥平面,,不妨以点为坐标原点, 、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
设平面的法向量为,则,,,
由,取,可得,
,
所以,与平面所成角的正弦值为;
（3）设点,设平面的法向量为,
,,
由,取,则,
所以,点到平面的距离为,
∵,
∴．
因此,当点为线段的中点时,点到平面的距离为．
21．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，则，得，
所以，解得：，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设直线，
联立，得，
设，，
，得，
其中，，
因为，所以，
即，
即，解得：，
所以直线的方程；
（3）联立，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，则，
，，
设Px0,y0，
，
.
22．【正确答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【详解】（1）由题意可知；
；
（2）证明：设，，
由题意知，所以；
从而，
由题意可知，
当时，，
当时，，
所以；
（3）证明：设，，
记，，，记；
由（2）可知；
，
，
因为，，
所以中1的个数为；中1的个数为；
设是使成立的的个数，则，
由此可得三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中至少有一个是偶数．党史学习时间 (小时)
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7