2024_2025学年_北京宣武区高二第一学期11月期中数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_北京宣武区高二第一学期11月期中数学试卷[附解析]，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若向量，，则向量与
A．不共线B．垂直C．平行D．以上都不对
二、多选题（本大题共1小题）
2．直线的一个方向向量（ ）
A．B．
C．D．
三、单选题（本大题共8小题）
3．直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
4．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．4B．2C．D．
6．如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ）
A．1B．C．4D．
7．如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．定义一个集合，集合中的元素是空间中的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为空间直角坐标系中的原点）.若，则的一个充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知曲线，则下列说法正确的有几个（ ）
（1）关于原点对称；
（2）只有两条对称轴；
（3）曲线上点到原点最大距离是1；
（4）曲线所围成图形的总面积小于；
A．1B．2C．3D．4
四、填空题（本大题共5小题）
11．直线与直线之间的距离为 .
12．已知椭圆的一个焦点为，则 .
13．如图，空间四边形中，6条棱长都为，且，，则 （用，，表示）.

14．如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则 .

15．已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是 ．
①点到原点的最大距离是4；
②若是等腰三角形，则其周长为10；
③点的轨迹是一个圆；
④的最大值是．
五、解答题（本大题共6小题）
16．已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点.
(1)求出圆C的标准方程；
(2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程.
17．如图三棱柱中，侧面为菱形，对角线，相交于O，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，，棱的中点为D，以棱CD，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）.
①直接写出，的坐标；
②求异面直线与所成角的余弦值.
18．在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B.
(1)求轨迹C的方程；
(2)求斜率k的取值范围；
(3)当时，求A，B两点坐标.
19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，.
(1)若为棱的中点，求证：直线平面；
(2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值.
20．已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)P是椭圆上不同于，的一个动点.
①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值；
②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明.
21．设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，设，令是，，…，中的最大值．
(1)若，，且，求，，及；
(2)若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
(3)若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
答案
1．【正确答案】C
【详解】 ，所以向量与平行.
2．【正确答案】CD
【详解】由直线方程可得直线斜率，故直线的一个方向向量为.
由向量与向量平行，可知也是直线的方向向量.
故选：CD.
3．【正确答案】C
【分析】令，解得，即可得直线在轴上的截距.
【详解】由题意可知，直线方程为，
令，解得，
所以直线在轴上的截距为.
故选C.
4．【正确答案】B
【详解】
圆的圆心为，半径.
设点关于直线的对称点为，则，解得，故，圆方程为.
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】椭圆方程可化为，故，长轴长为4.
故选：A.
6．【正确答案】C
【详解】长方体， 平面，
平面，，，
.
故选：C.
7．【正确答案】C
【详解】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为，
由题意得，，
则，，，
由，得，，故.
解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆，
由此可得.
故选：C.
8．【正确答案】A
【详解】由题意得，圆心，半径，
点和在变化过程中，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，
圆心到直线的距离为，
由得，，故，
当时，.
故选：A.
9．【正确答案】B
【详解】由题意知，，三个向量共面，
则的一个充分条件即为三个向量不共面，
对于A，与共线，所以，，三个向量共面，故A错误；
对于B，由空间直角坐标系易知，，三个向量不共面，故B正确；
对于C，，所以，，三个向量共面，故C错误；
对于D，与共线，所以，，三个向量共面，故D错误.
故选：B.
10．【正确答案】C
【详解】对于（1），不妨设点在曲线上，则也在该曲线上，所以曲线关于原点对称，故（1）正确；
对于（2），易知也都在该曲线上，所以曲线关于轴、轴、对称，故（2）错误；
对于（3），因为，所以，即，所以曲线上点到原点最大距离是1，故（3）正确；
对于（4），由（3）得，曲线所围成的图形落在圆内，且显然是圆内的部分图形，而圆的面积为，所以曲线所围成图形的总面积小于，故（4）正确；
综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.
故选：C.
11．【正确答案】
【详解】两直线方程化成一般式得：，距离为.
故
12．【正确答案】
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，且，
所以，，则，.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】
.
故答案为.
14．【正确答案】15
【详解】
设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，.
由图形对称得，.
由椭圆定义得，，故，
所以.
故15.
15．【正确答案】②③④
【详解】设由中点坐标公式得,
所以,因为在圆上,
所以,即,即,
所以点的轨迹是一个圆,方程为,
是以为圆心,为半径的圆,
所以点到原点的最大距离是,故①错误；
因为，所以,
若为等腰三角形，若,则,
此时三点共线，不满足题意，
若,则,满足题意，
所以的周长等于，故②正确；
由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为,
所以③正确；
设，当时，，不是最大角，
不为时，中，
,
当且仅当,即时取得等号，
所以，故④正确.
故②③④.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）圆的圆心在y轴上且与切于点，
可设圆心坐标为，则，解得，.
所以圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）由直线l过点且被圆C截得的弦长为，
根据圆的弦长公式，可得，即，解得，
当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件；
当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即，
可得，解得或，
所以直线方程为或.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)①，；②.
【详解】（1）证明：在菱形中，，又，，
所以平面，平面，所以，
侧面为菱形，对角线，相交于O，
所以O为的中点，因为，所以，
又，所以平面.
（2）由（1）可知，，所以，，，
所以，又，所以为等边三角形，
所以，的中点为D，，
所以，，，，，，
故，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【详解】（1）设，则，
所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，
其中，故，
故轨迹C的方程为；
（2）过点且斜率为k的直线l的方程为，
联立与得，，
，解得或，
故斜率k的取值范围是或；
（3）时，，联立得，
，解得或，
当时，，当时，，
故或.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
取中点，连结，，
因为为的中点，所以，，
由，得，
又，所以，，
则四边形为平行四边形，有，
又平面，平面，故平面；
（2）
平面平面，由已知得，设，
以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，，
，，BC=0,1,0，
设，
则，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则，即，
取，则，，所以.
易知底面的一个法向量为，
由于二面角的大小为，
所以，
解得或（舍去），则，
设直线与底面所成的角为，
则，
所以直线与底面所成角的正弦值为.
20．【正确答案】(1)
(2)①证明见解析；
②过定点
【详解】（1）由题意可得，解得，所心椭圆的方程为；
（2）①设，所以，则，
由（1）可得，，
则直线的方程为，
令，解得，则，
则直线的方程为，
令，解得，则，
所以，
所以为定值1；
②由①知直线的方程为，
令，得，则，
则直线的方程为，
令，解得，则，
又，
所以的中点，
又，
所以圆的半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
令，得
，
所以，
故以线段为直径的圆经过定点.
21．【正确答案】(1)，
(2)4
(3)见解析
【分析】（1）根据和即可求解，
（2）将问题转化为至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对中的元素个数进行列举讨论，即可求解，
（3）由的定义以及，即可结合，，…，中的元素个数均为3，进行求解.
【详解】（1）根据和可得，故，
（2）设使得，
则，所以．
所以至少有3个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，不符题意．
当时，，元素个数为1的非空子集有，
元素个数为2的非空子集有．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，
则，．
所以的最小值为
（3）由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第列之和．
因为是数表第行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，
时，
，
．
所以的最小值为.
求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.