2024_2025学年_甘肃兰州高二第一学期11月月考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_甘肃兰州高二第一学期11月月考数学试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．设向量、、不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，是空间单位向量，且满足，若向量.则在方向上的投影的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则lgab的值为 ( )
A．B．2C．lg26D．0
6．以,为端点的线段的垂直平分线方程是
A．B．
C．D．
7．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积S为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
B．若非零向量，，满足，，则有∥；
C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
11．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
12．（多选题）两条平行直线l1，l2分别过点P(-1，3)，Q(2，-1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
三、填空题（本大题共4小题）
13．在空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则 .
14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，，，，A1C1与B1D1的交点为E，则= .
15．在斜三棱柱中，的中点为，，则 可用表示为 ．
16．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件:
①△AOB的周长为12;
②△AOB的面积为6.
18．已知长方体中，，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
19．已知圆：和：
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
20．椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于．直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点．
(1)求的标准方程；
(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()．
21．设直线与.
（1）若∥，求、之间的距离；
（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.
22．如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过，，的平面交于点．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
答案
1．【正确答案】C
【详解】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．
故选C．
2．【正确答案】C
【详解】对于A选项，因为，所以，、、共面，
所以，不能作为空间的一个基底，A不满足；
对于B选项，因为，所以，、、共面，
所以，不能作为空间的一个基底，B不满足；
对于C选项，设、、共面，
则存在、使得，
所以，、、共面，与题设条件矛盾，故假设不成立，
所以，、、不共面，即能作为空间的一个基底，C满足；
对于D选项，因为，所以，、、共面，
所以，不能作为空间的一个基底，D不满足.
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，则，
因为点在上，且，则，
因为，
故选：B.
4．【正确答案】D
根据投影的计算公式，将投影化为关于的函数，然后再求函数的最大值即可.
【详解】因为，
∴，
，
∴①，
因为要求最大值，故不妨取，
令，则，
代入①式得②，
令，
故②式小于等于.
故选：D.
5．【正确答案】B
【详解】∵ 直线的方程为
∴直线的斜率为2，在轴上的截距为4，即
∴
故选B
6．【正确答案】D
【详解】 由，所以点中点坐标为，
又由斜率公式可得，所以垂直平分线的斜率为，
所以垂直平分线的方程为，即.
7．【正确答案】D
【详解】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，
令x＝0，得y＝，
∴三角形的面积S＝.选D.
8．【正确答案】A
【分析】解方程即得解.
【详解】由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得．
故选A.
9．【正确答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可
【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确，
对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误，
对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确，
对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确，
故选：ACD
10．【正确答案】ABD
【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面，
对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；
对于B，若共面，
则存在唯一实数对，使得，
则，无解，
所以不存在实数满足，
因此不共面，能构成空间一个基底；
对于C，由于，故这三个向量是共面的，不能构成基底；
对于D，若共面，
则存在唯一实数对，使得，
则，无解，
所以不存在实数满足，
因此不共面，能构成空间一个基底.
故选：ABD.
11．【正确答案】AB
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.
【详解】由题意，，，所以，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或，
所以或.
故选：AB.
本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
12．【正确答案】ABC
【详解】当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，最大距离为：
，所以l1，l2之间的距离的取值范围是.
故选：ABC
13．【正确答案】
【详解】如下图所示，连接，
，
所以，.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】矩形中，对角线、相交于点，
向量，
矩形中，；矩形中，，
，
又，
．
故

15．【正确答案】
【详解】
.
故答案为.
16．【正确答案】
【分析】
设分别为和的中点，把异面直线与所成角转化为直线与所成的角，根据中位线定理，结合余弦定理求得和的余弦值，即可求解.
【详解】
如图所示，设分别为和的中点，
可得，，且，
所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，
作的中点为，则为直角三角形，
因为，
在中，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，，
在中，
可得，
又因为异面直线所成角的范围是，
所以与所成的角的余弦值为.
故答案为.
17．【正确答案】存在，.
【详解】解：设直线方程为，
若满足条件（1），则=12.①
又因为直线过点所以.②
由①②可得，
解得，
∴所求直线的方程为=1或=1，
即或.
若满足条件（2），则，③
由题意得=1，④
由③④整理得，
解得
∴所求直线的方程为=1或=1，
即或.
综上所述，存在同时满足（1）（2）两个条件的直线，其方程为.
18．【正确答案】（1）；（2）；
【分析】
（1）由点为坐标原点及，即可求得点的坐标；
（2）由两点距离公式，即可求得和的长度.
【详解】
（1）由题意，点为坐标原点，所以
因为，可得
又因为点N是AB的中点，点M是的中点，所以.
（2）由两点距离公式得：，
.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；
（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长．
【详解】（1）标准方程是，，，
标准方程是，，，
，显然，
所以两圆相交．
（2）两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程，
到直线的距离为，
所以公共弦长．
20．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得，∴，∵，∴，∴ ，
故椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，直线的斜率存在且不为零，
故设直线：，则直线：，
由，得，恒成立，
设、，则，，
∴，
∵圆心到直线：的距离，
又，∴，
∵，∴四边形的面积，
由，解得或，由，得．
21．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）若l1∥l2，则，
∴，∴m＝6，
∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0
∴l1，l2之间的距离d；
（2）由题意，，∴0＜m＜3，
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3﹣m），
∴m时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．
22．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由正方体的性质得到，即可得到平面，根据线面平行的性质证明即可；
（2）由（1）知为的中点，设，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：连接，由正方形的性质可知，且，
所以四边形为平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面．
因为平面，且平面平面，所以．
（2）解：由（1）知为的中点，设，
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，得．
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，得．
设二面角为，则为锐角，
，
所以二面角的余弦值为．