2024_2025学年_福建三明高一第一学期期中联考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建三明高一第一学期期中联考数学试卷[附解析]，共24页。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合或，，则集合中元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，得到集合，即可求解.
【详解】由集合或，可得，
又由，可得，所以集合中元素的个数为.
故选：B.
2. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】解不等式化简集合，根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，，，
由是的充分不必要条件，得集合真包含于集合，
所以，即.
故选：A
3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案．
【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题，
则方程有实数根，即．
故选：A．
4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可
【详解】由函数（其中）的图象可得，
所以，所以排除BC，
因为，所以为增函数，所以排除A，
故选：D
5. 下列大小关系正确的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③
【正确答案】C
【分析】利用指数函数、幂函数的性质比较大小.
【详解】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误；
对②，因为指数函数单调递减，所以，
又因为幂函数在单调递增，所以，
所以，②正确；
对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确；
对④，因为幂函数在单调递减，所以，
即，④错误；
故选:C.
6. 已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设，证明是奇函数，则的最大值与最小值互为相反数，可求.
【详解】，
设，，
，则是上的奇函数，
最大值为，最小值为，则有，
所以.
故选：B
7. 已知函数是单调减函数，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据指数函数单调递减，得;对分离常数变形，根据在单调递减，得;由在上单调递减，得计算化简即可得出结果.
【详解】由题知在单调递减，所以
由在单调递减，得即
由在上单调递减，得即
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
8. 已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】用分段函数表示出函数，利用函数零点的意义变形，构造函数并画出函数图象，数形结合求出的范围.
【详解】令函数，显然函数上单调递增，
而，则当时，，当时，，
于是函数，则，
令函数，由，得，
因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，
当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，

当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以函数有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合,则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据不等式运算化简集合,再根据集合的交、并、补运算规则计算即可.
【详解】
故正确,错误；
又故正确.
故选：ABD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知函数的单调递增区间是
B. 已知，则
C. 若，则
D. 是的充要条件
【正确答案】BC
【分析】判断函数的单调性判断A；配凑法求出解析式判断B；利用不等式性质判断C；利用充要条件的定义判断D.
【详解】对于A，函数在上单调递减，函数在R上单调递增，
因此函数在上单调递减，A错误；
对于B，，因此，B正确；
对于C，由，得，C正确；
对于D，取，显然满足，而不成立，D错误.
故选：BC
11. 设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数B. 的最大值是，最小值是
C. 直线是函数的一条对称轴D. 当时，
【正确答案】ACD
【分析】根据得，的图像关于直线对称，再结合的奇偶性和单调性，即可得到的最值；当时，构造，，再结合的周期性和奇偶性，即可得到的解析式.
【详解】因为是上的奇函数，所以，又因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；
因为即，从而，所以，所以，所以是周期为4的周期函数，又因为当时，单调递增，所以在上也单调递增，从而在上单调递增，又因为的周期为4，所以在上单调递增，故A正确；
因为在上单调递增，且的图像关于直线对称，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，最小值，故B错误；
当时，，所以，因为周期为4，所以 ，
又因为为奇函数，所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知，且，则（ ）
A. 的最小值是B. 的最小值是
C. 的最小值是D. 的最小值是
【正确答案】BC
【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D.
【详解】已知，且，
则，所以，当且仅当时，等号成立，A选项错误；
，当且仅当时，等号成立，B选项正确；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，C选项正确；
由题意可得，此时，
因为，而不存在使得，则D选项错误.
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的定义域是，则函数 的定义域是_____________．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用复合函数、抽象函数定义域列出不等式组求解即得.
【详解】在函数 中，，解得且，
所以函数 的定义域是.
故
14. 函数 在时的值域是______________．
【正确答案】
【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得.
【详解】当时，，函数，
显然当，即时，，当，即时，，
所以所求值域是.
故
15. 已知函数为上的偶函数，当时，，则的解集为_________．
【正确答案】
【分析】由为偶函数，求出函数解析式，分类讨论解不等式即可.
【详解】函数为上的偶函数，当时，，
当时，，，
①当，即时，，
由，时，符合题意；
时，有，解得，此时；
时，有，解得，此时；
所以符合题意.
②当，即时，，
由，，得，解得，
所以.
综上所得，的解集为.
故
16. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是__________．
【正确答案】
【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】当时，，在上单调递增，无最小值，舍去；
当时，由于，故，
令，则，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
要想在上存在最小值，则，解得，满足；
当时，在上单调递增，
令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
要想在上存在最小值，则，
解得，满足；
综上，实数的取值范围为.
故
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求值：
（1）；
（2）．
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数运算及换底公式计算即得.
小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式 .
18. 已知二次函数．
（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；
（2）若，，解关于的不等式．
【正确答案】（1），；
（2）答案见解析.
【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得.
（2）分类讨论解一元二次不等式即得.
【小问1详解】
由不等式的解集是，
得和是一元二次方程的两个实数根，且，
于是，解得，，
所以，.
【小问2详解】
，不等式化为，即，
当，即时，解不等式，得或；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，解不等式，得或，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 已知偶函数定义域为，当时，．
（1）求出函数的解析式；
（2）判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明.
【正确答案】（1）；
（2）在上是增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式即得.
（2）判断函数单调性，再利用单调性定义推理判断即可.
【小问1详解】
偶函数定义域为，当时，，
当时，，则，
所以函数的解析式是.
【小问2详解】
当时，，在上是增函数.
任取，则，
而，，且，则，因此，
所以在上是增函数.
20. 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在万到万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金单位：万元随着业绩值单位：万元的增加而增加，但不超过业绩值的．
（1）若某业务员的业绩为万，核定可得万元奖金，若公司用函数（为常数）作为奖励函数模型，则业绩万元的业务员可以得到多少奖励？
（2）若采用函数，求的范围．
（参考数值：）
【正确答案】（1）万元奖励；
（2）.
【分析】（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.
（2）根据题意列出关于x的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数a的取值范围.
【小问1详解】
函数模型为常数，
当时，，代入解得，即，当时，，
当时，，
所以业绩万元的业务员可以得到万元奖励．
【小问2详解】
函数模型，
因为函数在单调递增，则，，
由奖金不超过业绩值的，得，
于是对恒成立，
令，显然二次函数的图象开口向上且，
函数图象的对称轴，则只需，
即，解得，因此，
所以实数的取值范围是.
21. 设为实数，函数，．
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现在（1）的条件下，函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）用偶函数的性质得出即可；
（2）转化为“存在，使得，即关于的方程在内有解”问题．
【小问1详解】
是偶函数，在上恒成立，
即，
即，得，，
；
【小问2详解】
因为，所以函数是区间上的平均值函数，
所以存在，使，而，即存在，使得，即关于的方程在内有解；
所以解得，或，
∴，
解得.
22. 已知奇函数，且的图象过点.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）存在，.
【分析】（1）利用奇函数定义及图象所过的点求出函数，再利用单调性脱去法则，分离参数求解即得.
（2）求出函数，并令，转化为二次函数在闭区间上的最大值问题求解即得.
【小问1详解】
函数是奇函数，由，得，
由函数的图象过点，得，而，解得，
经检验符合题意，即，函数在R上分别是增函数和减函数，
因此函数在R上是增函数，由，得，
于是对一切恒成立，即对一切恒成立，
则对一切恒成立，而在上单调递增，即，
所以，即.
【小问2详解】
，设，则，
由，，记，则函数在上有最大值，
当，即时，，解得，矛盾，
当，即时，，解得，符合题意，
所以存在实数，使函数在上的最大值为.