2024_2025学年_福建三明高一第一学期10月联考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建三明高一第一学期10月联考数学试卷[附解析]，共21页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列关系中正确的个数为（ ）
①，②，③④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设，则下列命题正确是（ ）
A 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4 已知集合，则（ ）
B.
C. D.
5. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ）
A. 或B.
C. D.
7. 已知集合、集合，若，则实数取值集合为（ ）.
A. B.
C. D.
8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个结论中正确的是（ ）
A
B. 命题“”的否定是“”
C. “”的充要条件是“”
D. “”是“”的必要不充分条件
10. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为2
D. 若，且，那么的最小值为
11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ）

A. 已知，则
B. 已知或，则或x≥4
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______．
13. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________
14. 已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 设，已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
18. 已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求a，b的值.
（2）求关于x的不等式（其中）的解集．
19. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
（1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）
（2）研究上的最小值；
（3）当时，求的最小值.
2024-2025学年福建省三明市高一上学期10月联考数学学情检测试题
试卷分和两部分
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列关系中正确的个数为（ ）
①，②，③④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【正确答案】C
【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得.
【详解】对于①，显然正确；
对于②，是无理数，故②正确；
对于③，是自然数，故③正确；
对于④，是无理数，故④错误.
故正确个数3.
故选：C.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】分别求出不等式的解，在判断是什么条件即可.
【详解】由得，
由得，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
3. 设，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】D
【分析】
利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可.
【详解】当时，不成立，故A错误；
当时，不成立，故B错误；
当时，不成立，故C错误；
，由不等式性质知，故D正确.
故选：D
4. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将集合的描述化为相同的形式，即可判断它们的关系.
【详解】由，
由，，
所以或，
而，
当时，；当时，,
其中元素表达式中分子都表示奇数，所以.
故选：A
5. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可.
【详解】令，
则，
由，，
所以，即.
故选：B
6. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ）
A. 或B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可.
【详解】因为“，使得”为假命题，
所以“，使得”为真命题，
即在内有解，即，
因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围为．
故选：C.
7. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.
【详解】，
∵，∴，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
当时，有，方程组无解，
当时，有，方程组无解，
综上所述，实数的取值集合为.
故选：C.
8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值．
【详解】令，则，
代入得，
由基本不等式：所以，可得，
当且仅当时取等号，
所以时，面积取得最大值．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个结论中正确的是（ ）
A.
B. 命题“”否定是“”
C. “”的充要条件是“”
D. “”是“”的必要不充分条件
【正确答案】ACD
【分析】根据等式性质判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断CD.
【详解】对于A，，解得，
即，正确；
对于B，根据全称量词命题否定为存在量词命题知：
命题“”的否定为：，错误；
对于C，若，则，反之若，则，
所以“”的充要条件是“”，正确；
对于D，若，则不一定成立，如，但，
反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确.
故选：ACD
10. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为2D. 若，且，那么的最小值为
【正确答案】BC
【分析】A利用二次函数性质判断；B、C应用基本不等式判断即可；D应用基本不等式“1”的代换判断.
【详解】A：，显然时取到最大值，对；
B：由，则
，当且仅当时等号成立，错；
C：，
当且仅当时等号成立，而，取不到最小值2，错；
D：，
当且仅当时等号成立，对.
故选：BC
11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ）

A. 已知，则
B. 已知或，则或x≥4
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
【正确答案】BCD
【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论.
【详解】根据差集定义即为且，
由，可得，所以A错误；
由定义可得即为且，
由或，可知或x≥4，即B正确；
若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确；
易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______．
【正确答案】－3
【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值.
【详解】由题意可得，且，
当时，解得，
此时，，，不符合题意，舍去；
当时，解得，
当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，
当时，，，，符合题意，
综上所述，，
故－3.
13. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________
【正确答案】
【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可.
【详解】当时，，与客观事实矛盾，
故此时不等式的解集为，符合；
当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为，
则有，
综上，实数m的取值范围是.
故答案为.
14. 已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为.
【详解】由，得或，
所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解.
当时，的解集为，此时，即，满足要求；
当时，的解集为，此时不满足题设；
当时，的解集为，此时，即，满足要求.
综上，的取值范围为.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）或；
（2）.
【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解即得.
（2）利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得.
【小问1详解】
当时，，而，因此，
所以或.
【小问2详解】
由，得，
当时，则，解得，满足，因此；
当时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 设，已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得；
（2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可.
【小问1详解】
，解得，
当时，得，
所以.
【小问2详解】
若“”是“”的必要不充分条件，所以AB，
解方程得或，
当时，，不满足题意；
当，即时，，
因为AB，所以，解得；
当，即时，，显然不满足题意.
综上，的取值范围为.
17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
【正确答案】（1）
（2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元
【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解；
（2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解.
【小问1详解】
设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元，
则月销量为万瓶，
所以提价后月总销售利润为万元，
因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润，
所以，即，解得，
所以售价最多为元，
故该饮料每瓶售价最多为元；
【小问2详解】
由题意，每瓶利润元，
月销售量为万瓶，
设下月总利润为，，
整理得：，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时取等号，
故当售价元时，下月的月总利润最大为万元.
18. 已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求a，b的值.
（2）求关于x的不等式（其中）的解集．
【正确答案】（1）；
（2）答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，结合对应方程根与系数关系列方程组求参数；
（2）分类讨论参数a，求对应不等式解集即可.
【小问1详解】
由题设，易知且是方程两个不同根，
则，经验证满足题设，
所以.
【小问2详解】
由题设，且，所以，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
19. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
（1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）
（2）研究上的最小值；
（3）当时，求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据例题，将变形为，再利用求解即可；
（2）根据例题，将变形为，再利用求解即可；
（3）根据例题，将变形为，再利用求解即可；
【小问1详解】
因为，
利用，得到，
于是，，
当且仅当时，取得最小值.
【小问2详解】
因为，
利用，得到，
于是，，
当且仅当时，取得最小值.
【小问3详解】
因为，
利用，得到，
于是，，
当且仅当时，取得最小值.
例：求的最小值.
解：利用，得到，
于是，，
当且仅当时，取到最小值.
例：求的最小值.
解：利用，得到，
于是，，
当且仅当时，取到最小值.