2024_2025学年_福建三明高二第一学期期中联考数学试卷

这是一份2024_2025学年_福建三明高二第一学期期中联考数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共48分）
一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
1．直线的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点、，直线经过的中点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的倾斜角等于（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题。（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知曲线Γ：（），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则
C．Γ可能是半径为的圆
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则
10．在正方体中，，，则（ ）
A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C．若，则三棱锥的体积为定值
D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（ ）
A．曲线有4条对称轴B．曲线围成的图形面积为
C．的最大值为D．的最小值为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知，分别为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，则的面积为 .
13．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．

14．若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．在∆ABC中，，，边的中点在轴上，边的中点在轴上．
(1)求边上的高所在直线方程；
(2)设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求直线的方程．
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.
求直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值；
17．已知圆．
(1)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求．
(2) 在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值．
18.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点P3,1，焦距为42；斜率为−13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直.
(1)求椭圆C的方程； (2)若MN=10，求MN的方程；
(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值.
19．《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．
(1)若，求曲线H的方程；
(2)若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由；
(3)若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．