北师版必修第二册高一（下）数学-第六章 立体几何初步 单元测试卷【含答案】

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北师版必修第二册高一（下）数学-第六章 立体几何初步 单元测试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是(    )A. B. C. D. 2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C'，且O'A'//B'C'，O'A'=2B'C'=4,A'B'=2，则该平面图形的高为(    ) A. 2 2B. 2C. 4 2D. 23.空间三条直线交于一点，则它们确定的平面数可为(    )A. 1B. 1或2或3C. 1或3D. 1或2或3或44.正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的高为(    )A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，A1B1C1−ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(    ) A. 3010B. 12C. 32D. 15106.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别为线段PC、PB上一点，若PM：MC=3：1，且AN //平面BDM，则PN：NB=(    )A. 4：1B. 3：1C. 3：2D. 2：17.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(    )A. AG⊥△EFH所在平面B. AH⊥△EFH所在平面C. HF⊥△AEF所在平面D. HG⊥△AEF所在平面8.榫卯结构是中国古建筑的一种结构方式，榫卯连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧.图(1)所示的木楔是榫卯结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图(2)所示.在几何体ABC−A1B1C1中，四边形BB1C1C为矩形，AA1，BB1，CC1都与底面ABC垂直，BC=2，AA1=3，BB1=CC1=4，直线AA1到平面BB1C1C的距离为3，则几何体ABC−A1B1C1的体积为(    )A. 8B. 11C. 14D. 189.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n/​/α，则m⊥n；②若m/​/n，n/​/α，则m/​/α；③若m/​/n，n⊥β，m/​/α，则α⊥β；④若m∩n=A，m/​/α，m/​/β，n/​/α，n/​/β，则α//β．其中真命题的个数是(    )A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AB，BC，BB1的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是(    ) A. 在平面BDD1B1内存在直线与平面EFG平行B. 在平面BDD1B1内存在直线与平面EFG垂直C. 平面AB1C//平面EFGD. 直线AB1与EF所成角为45∘11.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是(    )A. 异面直线AB与CD所成的角为90°B. 直线AB与平面BCD成的角为60°C. 直线EF/​/平面ACDD. 平面AFD⊥平面BCD12.在棱长为2的正方体AC1中，点M是对角线AC1上的点(点M与A、C1不重合)，则下列结论正确的个数为(    )①存在点M，使得平面A1DM⊥平面BC1D； ②存在点M，使得DM//平面B1D1C；③若△A1DM的面积为S，则S∈2 33,2 3；④若S1、S2分别是▵A1DM在平面A1B1C1D1与平面BB1C1C的正投影的面积，则存在点M，使得S1=S2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、多选题：本题共5小题，共30分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。13.如图所示，在正方体ABCD − A1B1C1D1 中，M，N分别为棱C1 D1 ，C1C的中点，其中正确的结论为(    )A. 直线AM与C1C是相交直线B. 直线AM与BN是平行直线C. 直线BN与MB1是异面直线D. 直线MN与AC所成的角为60°14.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则(    )A. R=3rB. R=4rC. V2=9V1D. 2V2=27V115.如图所示，在四棱锥E−ABCD中，△CDE是边长为2的正三角形，点N为正方形ABCD的中心，M为线段DE的中点，BC⊥DE，则下列结论正确的是(    )A. 直线BM与EN是异面直线B. 线段BM与EN的长度不相等C. 直线DE⊥平面ACMD. 直线EA与平面ABCD所成角的正弦值为 6416.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC1上的动点(含端点)，则下列命题正确的是(    )A. 三棱锥P−A1QC的体积为23B. 直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球半径为2 3C. A1P+PQ的值可以为 14D. 在直三棱柱ABC−A1B1C1内部能够放入一个表面积为π的球17.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A−BCD，设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是(    )A. 存在某个位置，使AB⊥CDB. 存在某个位置，使BC⊥ADC. 当三棱锥A−BCD体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为 63D. 当AB=AD时，CM+FM的最小值为 4+2 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。18.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则Rr=           ．19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=8，∠APB=∠APC=∠BPC=40∘，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为          ．20.已知正方体ABCD−A1B1C1D1是边长为1的正方体，点M为正方体棱上的一动点，则使得|MB|+|MD1|=125的点M有          个。(用数字作答)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题13分)已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和AB的中点，求证：(1)D1，M，N，C四点共面；(2)D1M、DA、CN三线共点．22.(本小题15分)在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=PC= 2．(1)求三棱锥P−ABC的表面积;(2)求P到平面ABC的距离．23.(本小题15分)在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计。灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性。现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为2a，下底边长为4a，高度为2a;中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为4a，高度为4a;底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同。(1)求灯笼总体积。(2)灯笼所需纸张的总表面积。(备注：灯笼上下底不糊纸。)24.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上一点．(1)若F为BC中点，求证：PM//平面AEF；(2)设直线EF与底面ABCD所成角的大小为α，二面角E−AF−B的大小为β，若tanβ= 10tanα，求BF的长度．25.(本小题17分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=1,AB=BB1=2,∠BCC1=π3，(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长；(3)若E为BB1的中点，求二面角C1−AE−A1平面角的余弦值．答案和解析1.【答案】B 【解析】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合．故选：B．2.【答案】C 【解析】在直角梯形O'A'B'C'中，O'A'//B'C'，O'A'=2B'C'=4,A'B'=2，则O'C'= 4−22+22=2 2，直角梯形O'A'B'C'对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，BC//OA,OC⊥OA,OA=2BC=4,OC=2O'C'=4 2，所以该平面图形的高为4 2．故选：C．3.【答案】C 【解析】①如图，若平面α、β、γ两两相交，有三条交线，设三条交线分别为a、b、c，则直线a、b、c交于一点O，此时三条直线确定3个平面； ②如图，若直线a、b、c交于一点O，且直线a、b、c是平面α的相交直线，此时直线a、b、c只能确定平面α，三条直线确定1个平面；综上所述，空间三条直线交于一点，可能确定的平面有1个或3个．故选C．4.【答案】D 【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为 62−32=3 3, 182−92=9 3，由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为r，则有 (2 3)2+2r2=4 3 ，解得r=3，所以正三棱台的高为6．故选：D．5.【答案】A 【解析】取BC的中点D，连接D1F1，F1D，∴D1B // D1F，∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角，设BC=CA=CC1=2，则AD= 5，AF1= 5，DF1= 6，在△DF1A中，cos∠DF1A= 3010．故选A．6.【答案】D 【解析】如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，连接OG，由AN/​/平面BDM，AN⊂平面ANC，平面ANC∩平面BDM=OG，可得AN/​/OG，∵OA=OC，∴CG=NG，∴G为CN的中点，作HN/​/BM交PC于点H，∴CM=HM，∵PM：MC=3：1，∴PH=HC，∴PN：NB=PH：HM=2：1，故选：D．7.【答案】B 【解析】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，HE∩HF=H,HE,HF⊂平面HEF，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；根据题意可知，AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH=G,AG,GH⊂平面AGH，∴EF⊥平面AGH，∵EF⊂平面AEF，∴平面AGH⊥平面AEF，△AHG是以∠AHG为直角的直角三角形，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面AGH内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG不垂直于平面AEF，∴D不正确．故选：B．8.【答案】B 【解析】如图，作A1E//AB，A1F//AC，E，F分别在棱BB1，CC1上，连接EF，则几何体ABC−A1B1C1被分割为四棱锥A1−EB1C1F与直三棱柱ABC−A1EF．∵点A1到平面BB1C1C的距离为3，∴四棱锥A1−EB1C1F的高为3，又四边形EB1C1F的面积为SEB1C1F=(4−3)×2=2，∴VA1−EB1C1F=13×3×2=2．∵AA1，BB1，CC1都与底面ABC垂直，∴AA1=3即为直三棱柱ABC−A1EF的高，而S△ABC=12×3×2=3，∴VABC−A1EF=AA1×S△ABC=3×3=9，故几何体ABC−A1B1C1的体积为2+9=11．9.【答案】C 【解析】①因为n/​/α，所以在α内必存在一条直线n0，使得n//n0．又因为m⊥α，所以m⊥n0，因此m⊥n，因此①为真命题；②因为m//n,n//α，则m//α或m⊂α，因此②不是真命题；③因为m//n,n⊥β，所以m⊥β．又因为m//α，所以在α内存在m0/​/m．由m⊥β得m0⊥β，所以α⊥β，因此③是真命题；④因为m∩n=A，由n/​/α，m/​/α，得在α内必存在n1，m1，且n1与m1相交，使得n1/​/n，m1/​/m．又因为m/​/β，n/​/β，所以n1/​/β，m1/​/β，所以α//β.，因此④是真命题．故答案为C．10.【答案】D 【解析】设AC，BD的交点为O，BD与EF的交点为P，连接PG，OB1，则P是OB的中点，∴PG//OB1，又PG⊂平面EFG，OB1⊄平面EFG，∴OB1//平面EFG，故A正确；在平面BDD1B1内过点O作直线OB1的垂线a，则a⊥PG，∵AC⊥BD，易得AC⊥DD1，BD∩DD1=D，BD、DD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1，又a⊂平面BDD1B1，∴AC⊥a，∵EF/​/AC，∴EF⊥a，又PG∩EF=P，PG，EF⊂平面EFG，故而a⊥平面EFG，故B正确；∵EF/​/AC，EF⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，∴AC//平面EFG，∵EG//AB1，EG⊂平面EFG，AB1⊄平面EFG，∴AB1/​/平面EFG，又AC∩AB1=A，AC、AB1⊂平面AB1C，∴平面AB1C/​/平面EFG，故C正确；∵AC/​/EF，∴∠CAB1(或其补角)为直线AB1与EF所成角，又△AB1C是等边三角形，故∠CAB1=60°，即直线AB1与EF所成角为60°，故D错误．故选D．11.【答案】B 【解析】如图，过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接BG，DF，则BG⊥CD，DF⊥BC，又∵BG∩AG=G，AG,BG⊂平面ABG，∴CD⊥平面ABG，AB⊂平面ABG，则CD⊥AB，即异面直线AB与CD所成的角为90°，故A正确；设BG和DF的交点为O，O为等边三角形ABC的重心，由四面体ABCD为正四面体，易知AO⊥平面BCD，所以AB与平面BCD所成的角即∠ABG，又AG=BG≠AB，所以∠ABG≠60°；故B错误；正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF/​/AC，∵EF不在平面ACD上，AC⊂平面ACD，∴EF/​/平面ACD，故C正确；∵AO⊥平面BCD，而AO⊂平面AFD，∴平面AFD⊥平面BCD，故D正确．∴结论错误的是B．故选：B．12.【答案】C 【解析】连接B1C，设平面A1B1CD与体对角线AC1交于点M，由B1C⊥BC1，DC⊥BC1，B1C∩DC=C，B1C,DC⊂平面A1B1CD，可得BC1⊥平面A1B1CD，即BC1⊥平面A1DM，又BC1⊂平面BC1D，∴平面A1DM⊥平面BC1D，∴存在点M，使得平面A1DM⊥平面BC1D，故①对；由BD/​/B1D1，AD1/​/BC1，由面面平行的判定容易得：平面A1DB/​/平面CB1D1，设平面A1DB与AC1交于点M，可得DM//平面B1D1C，故②对；连接AD1交A1D于点O，过O作OM⊥AC1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABC1D1，OM⊂平面ABC1D1，∴A1D⊥OM，∴OM为异面直线A1D与AC1的公垂线，根据△AOM∽△AC1D1，则OM C1D1 = OA AC1，即OM= OA⋅C1D1 AC1 = 2 ×2 2  3 =  6 3，∴△A1DM的最小面积为S△A1DM= 1 2 ×AD1×OM= 1  2×2 2 × 6 3 = 2 3 3，故③错；在点M从AC1的中点向着点A运动过程中，S1从1减少趋向于0，即S1∈(0,1)，S2从0增大到趋向于2，即S2∈(0,2)，在这过程中，必存在某个点M使得S1=S2，故④对．故选：C．13.【答案】CD 【解析】∵CC1⊂平面CC1D1D，AM∩平面CC1D1D=M，M∉CC1，∴直线AM与直线CC1异面，故A不正确，同理可证：直线AM与直线BN异面，故B不正确；直线BN与直线MB1异面，故C正确，利用平移法，可得直线MN与AC所成的角即为D1C和AC所成角，即为60°，故D正确，故选CD．14.【答案】AD 【解析】由图知R=3r，故A正确，B错误;易知包装盒的高为2r，故V2=πR2×2r=18πr3，又V1=43πr3，所以2V2=27V1故C错误，D正确．故选：AD．15.【答案】BD 【解析】对于A选项，连接BD，由正方形的性质可知，N为BD的中点，又M为线段DE的中点，所以BM，EN⊂平面BED，故A错误；对于B选项，因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD．又因为BC⊥DE，CD⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，CD∩DE=D，所以BC⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，所以BC⊥CE，因为△CDE是边长为2的正三角形，底面ABCD是正方形，所以BE=BD=2 2，DE=2，又BM、EN分别是等腰三角形△BDE的底边DE和腰BD上的中线，所以线段BM与EN的长度不相等(否则，△BDE是正三角形)，故B正确；对于C选项，由B选项的分析可知，DE⊥BM，显然BM不在平面ACM内，所以直线DE不垂直于平面ACM，故 C错误；对于D选项，取CD的中点H，连接EH、AH．因为△CDE是边长为2的正三角形，所以EH⊥CD，且EH= 3，由A选项的分析可知BC⊥平面CDE，且BC⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面CDE，而平面CDE∩平面ABCD=CD，EH⊂平面CDE，因此EH⊥平面ABCD，因此∠EAH是直线EA与平面ABCD所成的角．在边长为2的正方形ABCD中，AH= 5．在Rt△EHA中，EA= EH2+AH2= 8，所以sin∠EAH=EHEA= 3 8= 64，故D正确；故选BD．16.【答案】AD 【解析】对于A选项，如下图所示，连接AC1交A1C于点E，连接EQ，因为四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为AC1的中点，又因为Q为AB的中点，所以EQ//BC1，因为EQ⊂平面A1CQ，BC1⊄平面A1CQ，所以BC1/​/平面A1CQ，因为P∈BC1，所以点P到平面A1CQ的距离等于点B到平面A1CQ的距离，为定值，又因为△A1CQ的面积为定值，故三棱锥P−A1QC的体积为定值，VP−A1QC=VB−A1QC=VA1−BCQ=12VA1−ABC=12×13×12×2×2×2=23，故A正确；对于B选项，直三棱柱ABC−A1B1C1可以补形为棱长为2的正方体，其外接球半径为 3，故B错误；对于C选项，将平面A1BC1和平面BQC1延展为一个平面，如下图所示：可知A1C1=2，A1B=2 3，BC1=2 2，C1Q= 6，BQ= 2，则A1C1⊥BC1，BQ⊥C1Q，∠BC1Q=30°，在△A1C1Q中，A1C1=2，C1Q= 6，∠A1C1Q=90∘+30∘=120∘，由余弦定理可得A1Q2=A1C12+C1Q2−2A1C1⋅C1Qcos120∘=4+6−2×2× 6×(−12) =10+2 6，当且仅当A1，P、Q三点共线时，PA1+PQ取最小值，为A1Q= 10+2 6> 14，故PQ+PA1不可能为 14，故C错误；对于D选项，因为AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，所以AB= AC2+BC2=2 2，ΔABC的内切圆半径为r=2S△ABCAB+AC+BC=2×24+2 2=22+ 2=2− 2，由于直径2×(2− 2)0，所以这个直三棱柱ABC−A1B1C1内部可以放入半径为R=0.5的球，故D正确．故选：AD．17.【答案】ACD 【解析】对于A：存在平面ABC⊥平面BCD，使得AB⊥CD，证明如下：因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，BC⊥CD，CD⊂平面BCD，则CD⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以AB⊥CD，故存在平面ABC⊥平面BCD，使AB⊥CD，故A正确；对于B：若BC⊥AD，又BC⊥CD,AD∩CD=D，则BC⊥平面ACD，AC⊂平面ACD，得出BC⊥AC矛盾，故B错误；对于C：当三棱锥A−BCD体积取得最大值时，平面ACB⊥平面BCD，即AE是三棱锥A−BCD的高，又CD⊥BC，平面ACB∩平面BCD=BC，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABC，所以∠DAC是直线AD与平面ABC所成的角，所以tan⁡∠DAC=2 6= 63，故C正确；对于D：当AB=AD时，因为F为BD的中点，所以AF⊥BD，则AF= 6−4= 2，又因E为BC的中点，所以EF=12CD=1，又AE= 3，所以EF2+AF2=AE2，所以AF⊥EF，如图将△AEF沿AE旋转，得到△AEF'，使其与△ACB在同一平面内且F'在△AEB内，则当C,M,F'三点共线时，CM+FM=CM+F'M最小，即CM+FM的最小值为CF'，在Rt△AEF '中，sin∠AEF '=AF 'AE= 63，则cos∠CEF '=cos(∠AEF '+∠AEC)=−sin∠AEF '=− 63，所以在△CEF'中，由余弦定理得CF'= 1+3−2×1× 3×(− 63)= 4+2 2，所以CM+FM的最小值为 4+2 2，故D正确，故选ACD．18.【答案】2 33 【解析】【分析】本题考查球、圆柱的体积公式，为基础题．由题意知小球的体积等于水面上升的的体积，根据几何体的体积公式列式求解即可得到结果．【解答】由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有43πr3=πR2r，化简可得，Rr=2 3=2 33．故答案为：2 33．19.【答案】8 3 【解析】如图，沿着侧棱PA把三棱锥P−ABC展开在一个平面内，如图所示：则AA'即为▵AEF的周长的最小值，在▵PAA'中，∠APA'=3×40∘=120∘，PA=A'P=8，由余弦定理得：AA'= PA2+A'P2−2PA⋅A'Pcos120∘= 82+82−2×8×8×−12=8 3．故答案为：8 3．20.【解析】如图，①若M在BA,BB1,BC,D1A1,D1D,D1C1时，由正方体的结构特征，只分析其中一条棱即可．如图，当点M在BA上时，取BA的中点E，因为EA⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以EA⊥AD1．又AD1= 2，所以ED1= 122+ 22=32，则BE+ED1=2．又BA+AD1= 2+1，2