高教版（2021·十四五）基础模块 下册指数函数优秀随堂练习题

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考点一：根式、分数指数幂及其运算
1．根式
(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 eq \r(n,a) 表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 eq \r(n,a) 表示，负的n次方根用符号 －eq \r(n,a) 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±eq \r(n,a)．
③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 eq \r(n,0)＝0．
(2)根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)根式的性质：n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|.
【点拨】1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的进一步认识
(1)对(eq \r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq \r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq \r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq \r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq \r(n,a))n＝a(a≥0)．
(2)对eq \r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0,－aa＜0)).
2．幂的有关概念及运算
(1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0.
(2)负整数指数幂：a－n＝ eq \f(1,an) (a≠0，n∈N*)．
(3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(4)负分数指数幂：aeq \s\up6(-\f(m,n))＝ eq \f(1,\r(n,am)) (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(6)有理指数幂的运算性质：
①；
②；
③．
【点拨】进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式 (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，同时应注意以下几点：
(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式；
(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．
考点二：指数函数及其图像和性质
1．定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2．指数函数的图象及性质
考点三：对数及其运算
1．对数
(1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)两类重要的对数
①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记作lgN；
②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把lgeN记作lnN．
注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)lga1＝0，lgaa＝1.
(3)对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝lgaN.
(4)对数运算的性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM；一般地，＝ eq \f(n,m)lgaM；
(5)换底公式及对数恒等式：
①对数恒等式：＝N；
②换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca) (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．
特别地，lgab＝eq \f(1,lgba):
【点拨】1.对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
2. 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
考点四：对数函数及其图像和性质
1．定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
2．对数函数的图象与性质
【点拨】比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
考点一 根式、分数指数幂及其运算
【例1】若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（1）（）； （2）； （3）.
【变式2】若，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．2
【例2】用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）； （2）； （3）；
【变式1】将写成分数指数幂的形式为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】计算：（1）；（2）；（3）；（4）.
【变式3】 化简下列各式（，，，）：
（1）； （2）； （3）； （4）.
考点二 指数函数及其图像和性质
【例1】已知指数函数，求.
【变式1】函数，，，，其中指数函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】已知指数函数的图象经过点，求和．
【例2】函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【变式2】函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【例3】若，则函数与的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】若函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式2】函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【例4】已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【变式1】请将三个数，，，按照从小到大的排序排列 ．
【变式2】已知，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
考点三 对数及其运算
【例1】有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
【变式1】计算：（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2】已知方程的两根为，，则（ ）
A．B．1C．2D．
【例2】函数的定义域是 .
【变式1】函数的定义域为
【变式2】函数的定义域为 .
【例3】已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【变式】若，，则的值是（ ）
A. 2 B. 5 C. 20 D. 10
【例4】已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式】已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点四 对数函数及其图像和性质
【例1】下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】函数曲线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式】函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（ ）
A．9B．8C．6D．
【例3】在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式】函数与的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【例4】利用对数的换底公式计算：．
【变式】利用对数的换底公式计算：．
【例5】已知函数.
（1）求函数的定义域;
（2）若，求的取值范围.
【变式】已知函数=．
（1）判断的奇偶性；
（2）求在的值域．
时图象
时图象
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤时，
时，
⑤时，
时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，